1、江苏省无锡市普通高中20212022学年高一下学期期终调研考试数学试题命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数z满足，则 A B C1 D22若直线l不平行于平面，且l，则下列结论成立的是A内的所有直线与l是异面直线 B内的所有直线与l都相交C内存在唯一一条直线与l相交 D内存在无数条直线与l相交3已知向量(1，0)，(1，1)，若与共线，则实数的值为 A1 B1 C1 D04掷两枚质地均匀的骰子，设A“第一枚出
2、现奇数点”，B“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为A相互独立 B互斥 C互为对立 D相等5某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示： 则第85百分位数是A3325 B3130 C3050 D29506一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表面积为A B C D7已知ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量 上的投影向量为A B C D8设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若b2，a2sinC6sinA，则ABC面积的最大值为A B C D3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，
3、部分选对的得2分，有选错的得0分。9有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同10ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是A若sinAsinB，则ABB若a2b2c20，则ABC是锐角三角形C若acosBbcosAa，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形11四棱台A1B1C1D1ABCD的底面ABCD是正方形，A1A平面ABCD，AB2AA12A1B12，则下列说法正确的有A直线B1B与直线D1D异面B平面BB1D1D平面AA1C1
4、CC直线B1D1与直线CD所成角的大小为45D该四棱台的体积为12一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，现分别用三种方案进行摸球游戏方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球记三种方案选到3号球的概率分别为P1，P2，P3，则 AP1P2 BP1P3 CP2P3 DP1P2P3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知P(A)0.5，P(B)0.4，且A，B互斥，则P(AB) 14ABC的内角A，B，C所对边分别
5、为a，b，c，已知C60，a1，c，则b 15点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一点，则的最小值为 16四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，ABC和ADC是边长为2的等边三角形，BD，则球的体积为 ；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ （本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知复数，（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；（2）若复数(R)为纯虚数，求z的虚部18（12分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三
6、位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道假设每道灯谜被猜对的可能性都相等（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值19（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，为两个夹角成60的单位向量，（1）求；（2）设，问是否存在实数t，使得ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由20（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照0，
7、4)，4，8)，32，36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按3元/m3收费，第二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按5元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按8元/m3收费（1）求直方图中a的值；（2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？21（12
8、分）如图，在四棱锥ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB2，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点（1）若F为BC中点，求证：PM平面AEF；（2）设直线EF与底面ABCD所成角的大小为，二面角EAFB的大小为，若tantan，求BF的长度22（12分）ABC中，已知AB1，BC，D为AC上一点，AD2DC，ABBD（1）求BD的长度；（2）若点P为ABD外接圆上任意一点，求PB2PD的最大值江苏省无锡市普通高中20212022学年高一下学期期终调研考试数学试题命题单位：宜兴市教师发展中心 制卷单位：宜兴市教师发展中心注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷
9、满分为150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数z满足，则 A B C1 D2【答案】B【解析】，2若直线l不平行于平面，且l，则下列结论成立的是A内的所有直线与l是异面直线 B内的所有直线与l都相交C内存在唯一一条直线与l相交 D内存在无数条直线与l相交【答案】D【解析】设直线lP，平面内不过点P的直线与l是异面直线，平面内过点P的直线与l是相交直线，且有无数条，故D正确3已知向量(1，0)，(1，1)，若与共线，则实数的值为 A1 B1 C1 D0【答案】C【解析】(1，)，(1，1)，与共线，1 (1)0，解得14掷
10、两枚质地均匀的骰子，设A“第一枚出现奇数点”，B“第二枚出现点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为A相互独立 B互斥 C互为对立 D相等【答案】A【解析】显然事件A和事件B可以同时发生，故选A5某高校12名毕业生的起始月薪如下表所示： 则第85百分位数是A3325 B3130 C3050 D2950【答案】B【解析】先将12个数从小到大排列，2710，2755，2850，2880，2880，2890，2920，2940，2950，3050，3130，3325，计算1285%10.2，故第11个数即为第85百分位数，即为31306一个斜边长为2的等腰直角三角形绕斜边旋转一周，所形成的几何体的表
11、面积为A B C D【答案】D【解析】该几何体是由两个共底面的圆锥组合而成，圆锥底面半径为1，母线为，故一个圆锥的侧面积为，该组合体的表面积为7已知ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量 上的投影向量为A B C D【答案】A【解析】，O为BC的中点，即BC为直径，又，易知OAB为正三角形，过A作AEOB于点E，则E为OB中点，故得，即向量在向量上的投影向量为8设ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若b2，a2sinC6sinA，则ABC面积的最大值为A B C D3【答案】B【解析】a2sinC6sinA，ac6，cosB，当且仅当ac时取“”，sinB，故S二、选择题：本题共4小
12、题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则A两组样本数据的样本平均数相同 B两组样本数据的样本中位数相同C两组样本数据的样本标准差相同 D两组样本数据的样本极差相同【答案】AD【解析】根据平均数的计算公式可知，两组样本数据的样本平均数相同，故A正确；无法判断两组数据的中位数情况，故B无法判断；由于第一组数据在计算标准差的过程中，新样本数据在计算标准差的过程中，故标准差不相同，C错误；由于两组数据的最大值和最小值相等，故极差相同，D正确10ABC的内角A，B，C所对边
13、分别为a，b，c，下列说法中正确的是A若sinAsinB，则ABB若a2b2c20，则ABC是锐角三角形C若acosBbcosAa，则ABC是等腰三角形D若，则ABC是等边三角形【答案】AC【解析】sinAsinB，ab，AB，故A正确；a2b2c20，即cosC0，则C是锐角，仅一个角是锐角无法得出ABC是锐角三角形，B错误；acosBbcosAa，ca，ABC是等腰三角形，C正确；根据可得tanBtanC1，故BC45，所以ABC是等腰直角三角形，D错误11四棱台A1B1C1D1ABCD的底面ABCD是正方形，A1A平面ABCD，AB2AA12A1B12，则下列说法正确的有A直线B1B与直
14、线D1D异面B平面BB1D1D平面AA1C1CC直线B1D1与直线CD所成角的大小为45D该四棱台的体积为【答案】BCD【解析】由于四棱台延长四条侧棱交于同一点，则可知直线B1B与直线D1D相交，故A错误；A1A平面ABCD，BDA1A，底面ABCD是正方形，BDAC，A1AACA，BD平面AA1C1C，BD平面BB1D1D，平面BB1D1D平面AA1C1C，B正确；根据四棱台可知B1D1BD，BDC就是直线B1D1与直线CD所成的角，由于BDC45，直线B1D1与直线CD所成角的大小为45，C正确；设四棱台体积为V，则V，D正确12一个袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，
15、3，现分别用三种方案进行摸球游戏方案一：任意摸出一个球并选择该球；方案二：先后不放回的摸出两个球，若第二次摸出的球号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球；方案三：同时摸出两个球，选择其中号码较大的球记三种方案选到3号球的概率分别为P1，P2，P3，则 AP1P2 BP1P3 CP2P3 DP1P2P3【答案】ABD【解析】P1，先后不放回的摸出两个球，共有6种情况，其中选到3的有三种情况，故P2，同时摸出两个球，共有3种情况，其中选到3的有两种情况，故P3，P1P2，A正确；，P1P3，B正确；，P2P3，C错误；，故D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1
16、3已知P(A)0.5，P(B)0.4，且A，B互斥，则P(AB) 【答案】0【解析】A，B互斥，事件A，B不可能同时发生，P(AB)014ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知C60，a1，c，则b 【答案】3【解析】根据余弦定理，即，b0，b315点P是边长为2的正三角形ABC的三条边上任意一点，则的最小值为 【答案】【解析】若P在AB边上，则，当点P是AB中点时取“”，的最小值为，点P在BC边和AC边也一样16四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，ABC和ADC是边长为2的等边三角形，BD，则球的体积为 ；若P，Q分别为线段AO，BC的中点，则PQ （本题第一空2分，第二空3
17、分）【答案】；【解析】很明显ABD和BCD是等腰直角三角形，且BD是公共的斜边，故四面体的接球球心O是BD中点，且该球的半径R，所以球O体积V；由于AO平面BCD，AOOQ，故OPQ是直角三角形，OP，OQ1，则PQ四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知复数，（1）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；（2）若复数(R)为纯虚数，求z的虚部【解析】解：（1），复数在复平面内对应的点在第二象限，则（2）z为纯虚数，则，此时z20i，所以z的虚部为2018（12分）猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动在一次
18、元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道假设每道灯谜被猜对的可能性都相等（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值【解析】解：设A“任选一道灯谜，甲猜对”，B“任选一道灯谜，乙猜对”，C“任选一道灯谜，丙猜对”，则由古典概型概率计算公式得：所以（1）“甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且互斥，因为每位同学独立竞猜，所以A，B互相独立，则均相互独立，所以答：任选一道灯谜，甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为（2）设D“甲，乙，丙三个人中至少有
19、一个人猜对”，则所以解得n1019（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，为两个夹角成60的单位向量，（1）求；（2）设，问是否存在实数t，使得ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由【解析】解：（1）（2）若ABC是以AB为斜边的直角三角形，则，化简得：，解得t4，存在t4满足条件20（12分）我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了了解全市居民生活用水量分布情况，通过抽样，获得100户居民月均用水量（单位：m3），将数据按照0，4)，4，8)，32，36)分成9组，制成如图所示的频率分布直方图为了鼓励居民节约用水，该市政府在本市实
20、行居民生活用水“阶梯水价”：第一阶梯为每户每月用水量不超过20m3的部分按3元/m3收费，第二阶梯为超过20m3但不超过28m3的部分按5元/m3收费，第三阶梯为超过28m3的部分按8元/m3收费（1）求直方图中a的值；（2）已知该市有20万户居民，估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数，并说明理由；（3）该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准，请根据样本数据判断，现行收费标准是否符合要求？若不符合，则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少m3？【解析】解：（1）由频率分布直方图可得(0.0100.020a0.0500.065a0.0150.0100.005
21、)40.98，解得a0.0375；（2）由“阶梯水价”知“用户月均用水费用不超过60元”即“用户月均用水不超过20m3”，则100户居民中有(0.0100.0200.03750.0500.065)410073，由此可以估计全市20万户居民中月均用水费用不超过60元的用户数为200000146000；（3）抽取的100户居民月均用水量不超过28 m3的频率为：(0.0100.0200.03750.0500.0650.3750.015)40.94，0.940.95，所以现行收费标准不符合要求，抽取的100户居民月均用水量不超过32 m3的频率为：(0.0100.0200.03750.0500.06
22、50.3750.0150.010)40.98，现行收费标准不符合要求，需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29m321（12分）如图，在四棱锥ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAB2，E为PB中点，M为AD中点，F为线段BC上一点（1）若F为BC中点，求证：PM平面AEF；（2）设直线EF与底面ABCD所成角的大小为，二面角EAFB的大小为，若tantan，求BF的长度【解析】解：（1）连接BM交AF于点O，连接OE，底面ABCD为正方形，F为BC中点，AMBF且AMBF，四边形ABFM为平行四边形，O为BM中点，又E为PB中点，EOPM，又PM平面AEF，EO平面AEF，
23、PM平面AEF；（2）取AB中点H，连接FH，E为线段PB中点，EHPA且EHPA1，又PA底面ABCD，EH底面ABCD，HF为斜线EF在平面ABCD内的射影，EFH为直线EF与底面ABCD 所成角，即EFH，tan，过H作HNAF于N，连接EH，EN，EH底面ABCD，EHAF，又HNAF，HNEHH，AF平面EHN，AFEN，ENH为二面角EAFB的平面角，即ENH，tan，由tantan，知，即，设则由得化简得，解得或，BF2或122（12分）ABC中，已知AB1，BC，D为AC上一点，AD2DC，ABBD（1）求BD的长度；（2）若点P为ABD外接圆上任意一点，求PB2PD的最大值【
24、解析】解：（1）设BDx，CDy，则AD2y，在ABD与CBD中，分别由余弦定理知：即可得x22y25，ABBD，AD2AB2BD2，即1x24y2，解得x，y1，BD；（2）由（1）知ABD中，ABD，AD2，AD为ABD外接圆的直径，P为ABD外接圆上任意一点，当点P在B点时，PB2PD2PD2，当点在D点时，PB2PDPB，当点在优弧上时，BPDBAD，设PBD(0)，则PDB，PBD中，由正弦定理知PB2sin()，PD2sin，当点在劣弧上时，BPDBAD，设PBD(0)，则PDB，PBD中，由正弦定理知PB2sin()，PD2sin，当时，PB2PD的最大值为2，综上所述，PB2PD的最大值为
