1、第 1 页 共 2 页 20201 19 9 年佛山市年佛山市普通普通高中高中数学数学青年教师青年教师基本功基本功 解题能力展示解题能力展示试题试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 4 页页 满分满分 1 15 50 0 分分 考试用时考试用时 120120 分钟分钟 注意注意：请将选择题部涂在答题卡请将选择题部涂在答题卡，主观题在答题卷中作答主观题在答题卷中作答. .请在答卷侧边栏填写考号和相关事项请在答卷侧边栏填写考号和相关事项. . 第一部分 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满
2、分分，满分 6 60 0 分分 其中其中 1 1- -1010 题为单选题，题为单选题，1 11 1- -1212 为多选题，全对为多选题，全对 5 5 分，分，少选少选 2 2 分，选错一项得分，选错一项得 0 0 分分请将答案代号填在答题卷的相应位置上请将答案代号填在答题卷的相应位置上 1. 已知aR,i是虚数单位,若3iza=+,4z z=,则a =( ) A1或1 B7或7 C3 D3 2设集合()()230Sx xx=,0Tx x=,则ST =( ) A2,3 B( ),23,+ C)3,+ D( )0,23,+ 3已知, a bR,则“1ab”是“log1ab ”的( ) A. 充
3、分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数( )sin(2 )2sincos()f xxx=+（0,R）在3( ,)2上单调递减，则的取值范围是 A(0,2 B1(0,2 C1,12 D1 5,2 4 5已知点(0,0)A，(2,0)B若椭圆22:12xyWm+=上存在点C，使得ABC为等边三角形，则椭圆W的离心率是( ) A12 B22 C63 D32 6对于给定的正整数数列na，满足1nnnaab+=+，其中nb是na的末位数字，下列关于数列na的说法正确的是 A如果1a是5的倍数，那么数列na与数列 2n必有相同的项； B如果1a不是5
4、的倍数，那么数列na与数列 2n必没有相同的项； C如果1a不是5的倍数，那么数列na与数列 2n只有有限个相同的项； D如果1a不是5的倍数，那么数列na与数列 2n有无穷多个相同的项. 7. 某校象棋社团组织中国象棋比赛采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得 2 分，负者得 0 分，平局两人各得 1 分若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为 A4 B5 C6 D7 8A，B，C，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示， 每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的 I 型、 II 型零件数，则下列说法错误的是 A
5、四个工人中，D 的日生产零件总数最大 BA，B 日生产零件总数之和小于 C，D 日生产零件 总数之和 CA，B 日生产 I 型零件总数之和小于 II 型零件总数之和 DA，B，C，D 日生产 I 型零件总数之和小于 II 型零件总数之和 9 设三棱锥VABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点),记直线PB与直线AC所成角为,直线PB与平面ABC所成角为,二面角PACB的平面角为,则( ) A., B. , C., D. , 10. 已知抛物线()2:20E ypx p=的焦点为F， 过F且斜率为1的直线交E于,A B两点， 线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，
6、MNy轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则p = ( ) A.12 B. 1 C.2 D. 4 11 关于函数( )sincosf xxxx=，下列说法正确的是（ ） A( )f x是奇函数 B0不是( )f x的极值点 C( )f x在 ,2 2上有且仅有3个零点 D( )f x的值域是R 12已知ABC的三个角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.下列条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有（ ） A1,2,abc=为正整数； B150 , sinsin2 sinsinAaAcCaCbB=+=； C()cossincoscoscossin0,60ABCBCBCC+=； D3,
7、1,60abA=. 第二部分 非选择题（共 90 分） 二、填空题：本大题共本大题共 4 4 小题，小题， 每小题每小题 5 5 分，满分分，满分 2 20 0 分分 13已知4sincos3=,则sin2= 14在ABC中,60A =,3AB =,2AC =.若2BDDC=,AEACAB= (R),且AD AE4=,则的值为_. 15在平面四边形ABCD中，1,5,2ABACBDBC BDBC=，则AD的最小值为 第 2 页 共 2 页 FEDCBA16如图，已知四面体ABCD的棱AB/平面，且2AB =，其余的棱长均为1四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面的
8、上方如果将四面体ABCD在平面内正投影面积看成关于x的函数， 记为( )S x， 则函数( )S x的最小值为 ；( )S x的最小正周期为 三、解答题：本大题本大题 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17 （本小题满分 12 分） 数列na、 nb的每一项都是正数,18a =,116b =,且na、nb、1na+成等差数列,nb、1na+、1nb+成等比数列,1,2,3,n =. （）求数列na、 nb的通项公式； （）证明:对一切正整数n,有1231111211117naaaa+. 18 （本
9、小题满分 12 分） 如图,AE平面ABCD,/CFAE,/ADBC,ADAB, 1ABAD=,2AEBC=. () 求证:/BF平面ADE； () 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； () 若二面角EBDF的余弦值为13,求线段CF的长. 19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(2,0)M，离心率为12,A B是椭圆C上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34，O为坐标原点 （）求椭圆C的方程； （）若射线OA上的点P满足| 3|POOA=，且PB与椭圆交于点Q，求|BPBQ的值 20 （本小题满分 12 分） 单位计划组织55名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室
10、进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测已知随机一人血检呈阳性的概率为1%,且每个人血检是否呈阳性相互独立. () 根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机等分成若干组,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验 现有两个分组方案： 方案一: 将55人分成11组,每组5人； 方案二：将55人分成5组,每组11人； 试分析哪一个方案工作量更少？ () 若该疾病的患病率为0.4%,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99%,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数
11、据:50.990.951=,110.990.895=.) 21 （本小题满分 12 分） 已知函数21( )sincos2f xxxxax=+，, x . （I）当0a时，求( )f x的单调区间； （II）当0a 时，讨论( )f x的零点个数. 22. （本小题满分 10 分） 请在下面两个问题中选择一个作答，选两个作答以第一个计分。 1.请你给出数学学科“一核四层四翼”中“四层”里“关键能力”与“学科素养”的具体含义，并结合 2019 年高考全国卷试题谈谈你的认识； 2.请你写出课标 2017 版中数学学科的四基和六个核心素养， 并结合你的课堂教学谈谈该如何在课堂教学设计中加以落实。 D
12、CB A第 1 页 共 5 页 20201 19 9 年年佛山佛山市市普通高中普通高中数学青年教师基本功数学青年教师基本功 解题能力展示解题能力展示试题试题参考答案参考答案 一、选择题：一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A D A C C D C D B C ABD AD 二、填空题：二、填空题：本大共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 1379 14311 15 5 1624， 三、解答题：三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 1
13、7. 【解析】【解析】()由1122baa=+，可得211224aba=. 由221 2abb=，可得222136abb=. 因为na、nb、1na+成等差数列，所以12nnnbaa+=+. 2 分 因为nb、1na+、1nb+成等比数列，所以211nn nab b+=， 因为数列 na、 nb的每一项都是正数，所以11nnnab b+=.3 分 于是当2n时，1nnnabb=. 将、代入式，可得112nnnbbb+=+，因此数列nb是首项为 4，公差为 2 的等差数列， 所以()1122nbbndn=+=+，于是()241nbn=+. 4 分 由式，可得当2n时，()()22144141nn
14、nabbnnn n=+=+. 5 分 当1n=时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n，都有()41nan n=+.6 分 （）由（）可知，所证明的不等式为211112723474417nn+.8 分 方法一方法一:首先证明212 1144171nnnn+（2n）. 因为2222212 1112778824417144177nnnnnnnnnnnn+ ()()220120nnnn+, 所以当2n时，21111211111212723441772317727nnnn+=+. 10 分 当1n=时，1277. 11 分 综上所述，对一切正整数n，有7211.111111321+naaaa12
15、 分 方法二方法二:()()2211111144144321 234 2123nnnnnnnn=+. 当3n时，2111723441nn+ 第 2 页 共 5 页 zyxABCDEF1111111111172345971123212123nnnn+ 111 1111127234 57714147+=. 10 分 当1n=时，1277；当2n=时，11112723777+=. 11 分 综上所述，对一切正整数n，有7211.111111321+naaaa12 分 方法三方法三:()()221111114414121 212 2121nnnnnnn=+. 当4n时,2111723441nn+ 11
16、11111111117234727991123212121nnnn+ 1111272347147+. 10 分 当1n=时，1277；当2n=时，11112723777+=； 当3n=时，111111272347714147+=. 11 分 综上所述，对一切正整数n，有7211.111111321+naaaa12 分 18. 【解析解析】()因为/BCAD,BC 平面ADE,AD平面ADE, 所以/BC平面ADE, 同理/CF平面ADE, 又BCCFC=,所以平面/BCF平面ADE, 又BF 平面BCF,所以/BF平面ADE. 4 分 ()以A为原点,建立空间直角坐标系Axyz如图所示, 则(
17、)()()()()0,0,0 ,1,0,0 ,1,2,0 ,0,1,0 ,0,0,2ABCDE, 设()0CFh h=,则()1,2,Fh,()1,1,0BD = ,()1,0,2BE = ,()1, 2,2CE = , 设平面BDE的法向量为(), ,x y z=n,则00BDBE =nn,即020 xyxz += +=, 解得22xzyz=,令1z =,得()2,2,1=n,设直线CE与平面BDE所成角为,则sin=4cos,9CECECE =nnn, 所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49. 9 分 第 3 页 共 5 页 ()设(), ,x y z=m为平面BDF的法向量,则00
18、BDBF=mm,即020 xyyhz +=+=,解得2xyyzh= , 令yh=,得(), , 2h h=m,依题意,2421cos,33 24hh=+m nm nmn,解得87h =. 所以线段CF的长为87. 12 分 19. 解： （）由题意得222212.acaabc=+， 解得3b = 所以椭圆C的方程为22143xy+= 5 分 （）设112233( ,), (,),(,)A x yB xyQ x y 因为点P在直线AO上且满足| 3|POOA=，所以11(3 ,3 )Pxy 因为,B Q P三点共线，所以BPBQ= 所以12123232(3,3)(,)xxyyxxyy=， 123
19、212323(),3().xxxxyyyy=解得31231231,31.xxxyyy=+=+ 因为点Q在椭圆C上，所以2233143xy+= 所以2212123131()()143xxyy+= 即22222112212122296(1)()() ()()1434343xyxyx xy y+=1， 因为,A B在椭圆C上，所以2211143xy+=，2222143xy+= 因为直线,OA OB的斜率之积为34，所以121234yyxx= ，即1212043x xy y+= 所以2291()1+=，解得5= 所以| 5|BPBQ= 12 分 第 4 页 共 5 页 20. 【解析解析】()方法方法
20、 1: :设方案一中每组的化验次数为X,则X的取值为1,61 分 所以()510.990.951P X =,()561 0.990.049P X = =, 2 分 所以X的分布列为 X 1 6 P 0.951 0.049 所以1 0.951 6 0.0491.245EX = + =3 分 故方案一的化验总次数的期望为:1111 1.245 13.695EX=次 4 分 设方案二中每组的化验次数为Y,则Y的取值为1,12, 所以()1110.990.895P Y =,()11121 0.990.105P Y = =,5分 所以Y的分布列为 Y 1 12 P 0.895 0.105 所以1 0.8
21、95 12 0.1052.155EY = += 6 分 故方案二的化验总次数的期望为:55 2.155 10.775EX= =次 7 分 因13.69510.775,所以方案二工作量更少 8 分 方法方法 2: :也可设方案一中每个人的化验次数为X,则X的取值为15,65 方案二中每个人的化验次数为Y,则Y的取值为111,1211 同方法一可计算得0.249EX =,0.196EY =,因EXEY,所以方案二工作量更少. ()设事件A:血检呈阳性；事件B:患疾病9 分 则由题意有( )0.01P A =,( )0.004P B =,()0.99P A B =,10 分 由条件概率公式()()(
22、 )P ABP A BP B=,得()( )()0.004 0.99P ABP B P A B=, 11 分 故()()( )0.004 0.990.3960.01P ABP B AP A=,所以血检呈阳性的人确实患病的概率为39.6%.12 分 21. 【解析解析】 （I）当0a =时，( )sincosf xxxx=+，, x . ( )sincossincosfxxxxxxx=+=. 当x在区间, 上变化时，( )fx，( )f x的变化如下表 x (,)2 2 (,0)2 0 (0,)2 2 (, )2 ( )fx + 0 0 + 0 ( )f x 1 极大 值2 极小 值1 极大 值
23、2 1 第 5 页 共 5 页 所以( )f x的单调增区间为(,)2，(0,)2；( )f x的单调减区间为(,0)2， (, )2.4 分 （II）任取, x . 2211()()sin()cos()()sincos( )22fxxxxaxxxxaxf x= +=+=， 所以( )f x是偶函数. ( )cos(cos )fxaxxxx ax=+=+. 当1a 时，cos0ax+在0, )上恒成立，所以0, )x时，( )0fx . 所以( )f x在0, 上单调递增. 又因为(0)1f=，所以( )f x在0, 上有 0 个零点. 又因为( )f x是偶函数，所以( )f x在, 上有
24、0 个零点. 当01a时，令( )0fx =，得cosxa= . 由10a 可知存在唯一0(, )2x使得0cosxa= . 所以当00,)xx时，( )0fx ，( )f x单调递增； 当0(, )xx时，( )0fx ，( )f x单调递减. 因为(0)1f=，0()1f x，21( )12fa=. 当21102a ，即221a时，( )f x在0, 上有 0 个零点. 由( )f x是偶函数知( )f x在, 上有 0 个零点. 当21102a ，即220a时，( )f x在0, 上有 1 个零点. 由( )f x是偶函数知( )f x在, 上有 2 个零点. 综上，当220a时，( )f x有 2 个零点；当22a时，( )f x有 0 个零点. 12 分 22.写出来，谈的有想法就给分，采取加分原则.
