1、第36讲数列的求和,考试要求1.等差、等比数列的前n项和公式(C级要求)；2.非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法(B级要求).,诊 断 自 测,解析设等比数列an的公比为q，a2，a4，a3成等差数列，2a4a2a3，2a2q2a2a2q，化为2q2q10，q1，,答案2017,3.数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则它的前100项之和S100_.,解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.答案200,4.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn_.,答案2n12n2,1.等差数列的前n项和
2、公式,知 识 梳 理,2.等比数列的前n项和公式,3.一些常见数列的前n项和公式,n2,n(n1),4.数列求和的常用方法,(1)公式法等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式,(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例
3、如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.,考点一分组求和法,(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；,a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.,(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，,B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.,【训练1】 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)
4、nnln 3，求其前n项和Sn.,解Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，,当n为奇数时，,考点二错位相减法求和【例2】 (2017天津卷)已知an为等差数列，前n项和为Sn(nN*)，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.,(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列a2nb2n1的前n项和(nN*).解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因为q0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3d
5、a18，由S1111b4，可得a15d16，联立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以，数列an的通项公式为an3n2，数列bn的通项公式为bn2n.,(2)设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，有a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述两式相减得3Tn2434234334n(3n1)4n1,规律方法错位相减法求和时的注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
6、“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,【训练2】 设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.,考点三裂项相消法求和,得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221.综上，数列an的通项an2n.,考点四并项求和法,(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nanan1，求数列bn的前2n项的和T2n.,即a11或a12.因为a10，所以a
7、12.,两式相减得(anan1)(anan11)0.又因为an0，所以anan10，所以anan11，所以ann1.(2)T2na1a2a2a3a3a4a4a5a5a6a2n2a2n1a2n1a2na2na2n12(a2a4a2n).又因为a2，a4，a2n是首项为3，公差为2的等差数列，,故T2n2n24n.,规律方法(1)当出现an与Sn的关系式时， 递推作差是消去Sn的常用方法，本质还是利用anSnSn1消去Sn.(2)当遇到关于an与an1的二次多项式时，常用方法是因式分解，从而达到降次的目的.(3)江苏高考主要还是考查等差、等比数列.遇到非等差、等比数列的形式时，要优先考虑向等差、等比数列转化，通过有效的转化，从中挖掘出题目中蕴含的等差、等比数列.,故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.,答案1 008,
