1、20182019学年度第一学期期末六校联考高二数学一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）1复数，则（ ）A0 B C1 D2已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）A16 B15 C14 D133下列叙述中正确的是（ ）A若，则“”的充分条件是“”B若，则“”的充要条件是“”C命题“”的否定是“”D是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件4已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（ ）A B C D5如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距
2、离为（ ） A B C D6已知，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7已知函数是定义在R上的偶函数，当时，若，则不等式的解集为（ ）A或 B或C或 D或8过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（ ）A B C D二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）9已知方程表示椭圆，则的取值范围为_.10设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则_.11在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为_.12已知，且，则的最小值等于_.13设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线
3、，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为_.14已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为_.三、解答题（共6小题，共80分）15（13分）数列的前项和为，已知，. 其中（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和.16（13分）已知函数在处取得极值.（）求函数在点处的切线方程；（）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.17（13分）在如图所示的多面体中，平面，平面，且，是的中点.（）求证：；（）求平面与平面所成的二面角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.18（13分）已知数列满足，其中（）设
4、，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；（）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.19（14分）已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.20（14分）已知函数，.（）若在处取得极值，求的值；（）设，试讨论函数的单调性；（）当时，若存在正实数满足，求证：.天津市部分区20182019学年度第一学期期末六校联考高二数学参考答案1D 2B 3C
5、 4D 5B 6A 7C 8A9 102 11 12 13 1415（）证明：， 又，数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 6分 （）由（1）知， ， . -得 ，. 7分 16（）时，取得极值，故解得.经检验符合题意。 6分 （）由知，得 令 则在上恰有两个不同的实数根， 等价于上恰有两个不同实数根. 当时，于是上单调递增； 当时，于是在上单调递增；依题意有 解得 . 7分 17（）证明：， 是的中点，又平面，平面， 3分 （）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系则：， ， ， ， ， ， ， ，设平面的一个法向量，则： ，取， ， ，所以，设平面的一个法向量，则：取， ， ，所以
6、，故平面与平面所成的二面角的正弦值为 5分 （）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，设且， ， ， ，若直线与平面所成的的角为，则： ，解得，所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，点为棱的中点 5分 18（）证明：，所以数列是等差数列，因此，由. 6分 （）由，所以，所以，因为，所以恒成立，依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为. 7分 19（）左顶点为 又 又 椭圆的标准方程为 3分 （）直线的方程为，由消元得化简得， ，则当时， ，点为的中点点的坐标为，则.直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，恒成立即定点的坐标为. 5分 （）的方程可设为，
7、由得点的横坐标为由，得 ，当且仅当即时取等号，当时， 的最小值为所以，原式最大值为 6分 20（）解：因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得 验证：当时，在处取得极大值 3分 （）解：因为 所以若，则当时，所以函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减 若，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减 5分 （）证明：当时，因为，所以，即，所以 令，则，当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增所以函数在时，取得最小值，最小值为 所以，即，所以或因为为正实数，所以 当时，此时不存在满足条件，所以 6分
