1、北京大学2020年强基计划招生考试数学试题一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.1.正实数,满足和,则的最小值等于（）(A) (B) (C)1 (D)前三个答案都不对2.在的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（）(A)16 (B)31 (C)32 (D)前三个答案都不对3.整数列满足,且对任意有,则的个位数字是（）(A)8 (B)4 (C)2 (D)前三个答案都不对4.设是方程的4个复根,则数的值为（）(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)前三个答案都不对5.
2、设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D,ADBD,则三角形BCD的面积为（）(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对6. 设均不为其中为整数, 已知成等差数列，则依然成等差数列的是（）(A) (B) (C) (D) 前三个选项都不对7 .方和的整数解个数为（）(A)4 (B)8 (C)16 (D) 8.从圆上的点向椭圆C:引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（）(A) (B) (C) (D) 前三个选项都不对9.使得对所有正实数都成立的实数的最小值为（）(A)8 (B)9 (C)10 (D)前三个答案都不
3、对10. .设P为单位立方体上的一点,则的最小值为（）(A) (B) (C) (D)前三个答案都不对11. 数列满足且对任意布其（）(A) 28 (B) 35 (C) 47 (D) 前三个答案都不对12.设直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最大值为（）(A)8 (B)10 (C)12 (D)前三个答案都不对13.正整数称为理想的,若存在正整数使得构成等差数列,其中为组合数,则不超过2020的理想数个数为（）(A)40 (B)41 (C)42 (D)前三个答案都不对14.在ABC中,依次为边BC上的点,且设，则的值为（）(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对1
4、5. 函数的最大值为（）(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对16. 方程的实根个数为（）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 前三个答案都不对17.凸五边形 ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知,和分别为和的面积,则的值等于（）(A)8:15 (B)2:3 (C)11:23 (D)前三个答案都不对18.设均为不超过100的正整数,则有有理根的多项式的个数为（）(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对19.满足对任意有且严格递增的数列的个数为（）(A)0 (B)1 (C)无穷多个 (D)前三个答案都不对20.设函数，其中均为正实数，则有
5、（）A.f既有最大值也有最小值 B.f有最大值但无最小值C.f有最小值但无最大值 D.前三个答案都不对北京大学2020年强基计划招生考试数学试题一、选择题共20小题;在每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把正确选项的代号填在表格中,选对得5分,选错或不选得0分.1.正实数,满足和,则的最小值等于(A) (B) (C)1 (D)前三个答案都不对【解析】因为 ,且则当且仅当时，等号成立，选D2.在的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为(A)16 (B)31 (C)32 (D)前三个答案都不对【解析】因为,可以选取最小质数2.3.5.101,673
6、,那么剩下的单个质因数的偶数次方出现的最多只能选取一个,不放选,再进行组合,再5个因数里面分别选取2个,3个,4个,5个则一共有32个,则最多可以选取32个,故选C3.整数列满足,且对任意有,则的个位数字是(A)8 (B)4 (C)2 (D)前三个答案都不对【解析】因为,则因此：，则因为：，则故则，欲求个位数字，则需要让模10.其结果为1,4,4,8,4,0,2,8,8,6,8,0,4,6,6,2,6,0,8,2,2,4,2,0,6,4,4,8,4,0,从开始周期为24，则的个位数字是8，所以选A4.设是方程的4个复根,则数的值为(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)前三个答案都不对【解析】
7、由题意可得设则，只需要则故，所以选A5.设等边三角形ABC的边长为1,过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线与点D,ADBD,则三角形BCD的面积为(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对【解析】如图所示，其中,从而可得，故则故，所以选C6. 设均不为其中为整数, 已知成等差数列，则依然成等差数列的是(A) (B) (C) (D) 前三个选项都不对【解析】因为则则则，所以选C7 .方和的整数解个数为(A)4 (B)8 (C)16 (D) 前三个选项都不对【解析】因为：，则因为：则所以有8组，所以选B8.从圆上的点向椭圆C:引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆C内不与任何切点
8、弦相交的区域面积为(A) (B) (C) (D) 前三个选项都不对【解析】如图所示，设点则BC直线方程为由于在点的切线方程为则，由此为椭圆的切线系方程由椭圆的面积可得，所以选A9.使得对所有正实数都成立的实数的最小值为(A)8 (B)9 (C)10 (D)前三个答案都不对【解析】，令则，则，则，所以选B10. .设P为单位立方体上的一点,则的最小值为(A) (B) (C) (D)前三个答案都不对【解析】最小值为，所以选D11. 数列满足且对任意布其(A) 28 (B) 35 (C) 47 (D) 前三个答案都不对【解析】因为，则故，则时，数列为单调递减数列可求得,当时，则的最大值为，所以选A1
9、2.设直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最大值为(A)8 (B)10 (C)12 (D)前三个答案都不对【解析】联立方程可得可得则故面积的最大值为10，所以选B13.正整数称为理想的,若存在正整数使得构成等差数列,其中为组合数,则不超过2020的理想数个数为(A)40 (B)41 (C)42 (D)前三个答案都不对【解析】由题意可得构成等差数列则，化简可得可得整理以k为未知量的方程方程方程，则则n+2为完全平方数，则，则若，因为奇偶性相反故对于任意都满足题意同理同理，因为奇偶性相反故对于任意都满足题意综上：满足题意得有42个，所以选C14.在ABC中,依次为边BC上的
10、点,且设，则的值为(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对【解析】不妨设不妨设则：因此：，同理：因此：，所以选D15. 函数的最大值为(A) (B) (C) (D) 前三个答案都不对【解析】已知当时，因为、下面证明两边平方即证即证因为两个等号不同时成立，所以，所以选D16. 方程的实根个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 前三个答案都不对【解析】由题意可得当时，上式恒为1，所以选D17.凸五边形 ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G,已知,和分别为和的面积,则的值等于()(A)8:15 (B)2:3 (C)11:23 (D)前三个答案都不对【解析】如图所
11、示，延长CF=CM则根据比例可得BE/MD则，因为G为AD的中点，因此则不妨设则,因此因此所以选A18.设均为不超过100的正整数,则有有理根的多项式的个数为(A)99(B)133(C)150(D)前三个答案都不对【解析】因为有有理根，则有理根必小于0设，且，则则，显然，因为，则，故因为，故当时，所以，共99组当m=2时，,所以，共34组综上所述：满足条件的共133组，故选BB19.满足对任意有且严格递增的数列的个数为(A)0 (B)1 (C)无穷多个 (D)前三个答案都不对【解析】因为，则则，则，则当时，满足严格递增，当时，会出现正负交替，不满足，所以选B20.设函数，其中均为正实数，则有（）A.f既有最大值也有最小值 B.f有最大值但无最小值C.f有最小值但无最大值 D.前三个答案都不对【解析】因为当时，故无最大值而且当时，故无最小值，所以选D
