1、 清华大学自主招生数学试题2019.061. 一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2. 求值：.3. 已知为单位圆上一动点，求的最大值.4. 为圆的直径，为中点，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 忘记5. ，是到的映射，若满足，则称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值.6. 若对，使得成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 7. 已知，若，求的最大值.8. 椭圆，过的直线交椭圆于、两点，点在直线上，若为正三角形，求的面积.9. 圆上一点处的切线交抛物线于、两点，且满足，其中为坐标原点，求.10. 设为各位数字和，是的
2、各位数字之和，为的各位数字之和，求的值.11. 实数、满足，求的最大值和最小值.12. 在三棱柱中，已知，动点在线段上，求最小值.13. 若集合、是正整数的一个二划分，则（ ）A. 集合中不存在三项等差，集合中不存在无穷项等差B. 集合中不存在三项等比，集合中不存在无穷项等比C. 忘了D. 忘了14. 数列满足：，则（ ）A. 单调递增 B. 无上界 C. 忘了 D. 15. 若正实数、满足，则的最小值为 16. 设，求最小值.17. 设，则方程的解的个数为 18. 令（），若，则（ ）A. B. C. D. 19. 若实数、满足，求的范围.参考答案1. 设，易知的外接圆半径为，同理可得的外接
3、圆的半径为，设外接圆的圆心为，易知，则外接球半径，外接球半径为.2. ，由分部积分法可知： .3. 设，在整理得：，由三元均值不等式可知：,当且仅当时，等号成立，则的最大值为. 4. 设圆的半径为2，易知，在与中，由余弦定理可知：，解得：，选项A错误，在中，由中线定理可知：，解得：，则，选项B正确，而，选项C正确，综上：选B，C.5. 情形一：当只对应中1个元素时，此时“好对”有对，情形二：当只对应中2个元素时，设有组，组，则此时“好对”有对，且，则由柯西不等式可知：，情形三：当只对应中3个元素时，设有组，组，组，则此时“好对”有对，且，则由柯西不等式可知：，依次可得：易知当对应中5个元素时，
4、此时“好对”的最小值为45，当且仅当中每3个元素对应中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45.6. ，使得，则的值域是值域的子集，A选项：，满足题意，B选项：，令，则，当，时，则由四元均值不等式可知：，当且仅当时，等号成立，满足题意，为奇函数，C选项：，不满足题意，D选项：，不满足题意，综上：选A，B.7. 建立平面直角坐标系，且，易知点的终点的轨迹方程为，又，此时.8. 设直线，中点为，联立，整理可得：，则，而，而，解得：，则的面积为.9. ，直线恒过定点，而切线方程为，则，解得：.10. ，则，则，情形一：当的位数为6，则，情形二：当的位数小于6，则，由情形一和情形二可知：，情形三：当的位数为2位时，则，情形四：当的位数1位数时，则，由情形三和情形四可知：，又，则，而，.11. 情形一：当时，此时，情形二：当时，此时，易知：，令，则，情形三：当时，此时，易知：，令，则，综上：的最小值为1，最大值为2.
