2019年中国科学技术大学自主招生考试数学试题.docx

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1、2019年中国科学技术大学自主招生试题 解析填空题(每题5分,共40分)1.平面区域的面积是_2.在之间所有根之和为_3.已知平面直角坐标系上有三点,则面积的最小值为_4.记,则的最大值为_5.设点,绕顺时针旋转得到向量,关于轴对称点记为,则的坐标为_6.若,则_7.,且是纯虚数,则的最小值是_8.已知,且,则_解答题(每题20分,共60分)9.将的各中点连线,折成四面体,已知,求四面体的体积。10.求证:对于任意的在上仅有一个解11.已知(1).求证:存在多项式,满足(2).将在上完全分解1. 通过画图,易知该平面区域的图形是个平行四边形B其中,易求得故区域面积2.首先结合图示说明红色曲线为

2、y=sin 2x,蓝色曲线为y=-cos 3x我们可以证明是关于对称的,是关于对称的,那么我们再给出一个三角学的说明,这表明,原方程的根的分布为.利用“36黄金三角形”的各种相似,我们知道综上,3.利用平均值不等式,我们知道故4. 首先,令,则因此,其轨迹是以为圆心,1为半径的圆故5. 进行实际操作,则注意到重合,因此所有操作以2为周期,故事实上,的重合是必然的,并不依赖于的坐标和的大小,下面我们来证明这一事实。首先,我们刻画到这个变换,记,则综上,知那么满足这也就说明了重合。故坐标为6. 首先将递推公式两侧取倒数,则累加,即裂项求和,则7. 如图所示,我们定义ab表示复数a和b之间的边是纯虚

3、数,表明0(z-1)与0(z+1)垂直,进而说明|z(z-1)|=|0z|=|z(z+1)|=1故,进一步,我们设则等号成立条件为8. 不妨设,由题意,知将第二式与第一式作比,知,故而,知和代入第二式因此,进而故第一式仅有一组解:将其代入第二式,立得利用第三式检验,发现上解符合题意故9. 简解:由题意,易知四面体ABCD为等腰四面体,将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体,黑色为被嵌入的长方体答案:10. 首先,我们定义代表函数的n阶导数令注意到在R上单调递增,故其在R上仅有一根x=0,从而在R上有最小值,即进而在R上单调递增以此类推,可知:在R上单调递增,仅有一根x=0在R先减后增,且恒为非负实数,且仅有一根x=0综上,不论n取何值,在R上仅有一根x=011. 本题考察内容十分清晰,旨在考察Chebyshev多项式(1)采取归纳法证明,若对于不同的n,存在满足题设的多项式,则记其为首先,当时,存在多项式其次,当时,存在多项式我们假定命题在的情形下成立,下面考察n的情形进而有即因为都是多项式,所以也是多项式。取,命题得证。(2) 首先我们求出在R上的根由于易证利用代数基本定理,从而在R上至多n个根设其任意一个根为,满足从而,当k遍历时,对应的各不相同即是在R上的n个根,亦即所有根我们再考虑的n次项系数,记为由(1)中递推关系,知故我们利用三角函数周期性,可得

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