1、线性代数（慕课版）第六章 二次型第一讲 二次型及其矩阵表示二次型及其对称矩阵01二次型的定义02本讲内容一、二次型的定义.n称为 元二次型定义6.112,nnx xx含有 个变量 的二次齐次多项式21211 1121213 131122222323222333332(,)222222nnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa xa x xa x222121 122(,)nnnf x xxd xd xd x只含平方项的二次型即 称为二次，2222212121(,)npprf x xxxxxxx即称为二次型的.规范形，在标准形中，完全平方项的系
2、数为 1 -1 0，.型的标准形3二次型及其对称矩阵02二次型的定义01本讲内容二、二次型及其对称矩阵二次型的矩阵示式1112111222221212,nnTnnnnnnaaaxaccxx xxX AXaaax二次型的矩阵-实对称矩阵12(,).Tnf x xxX AXfA设二次型则称实对称矩阵 的为二次型秩的秩，21211 1121213 131122222323222333332(,)222222nnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa xa x xa x表5二、二次型及其对称矩阵例17122263.7392A 已知对称矩阵确定其二次
3、型，解1123123237122(,)()2637392xf x x xxxxxx222123121 32369476xxxx xx xx x6二、二次型及其对称矩阵23345.x xx x表示为矩阵形式写出其对称矩阵，并求出二次型的秩，例22221234123121314,351063f x x x xxxxx xx xx x将二次型解3353255502513122310022TfXA设其中，AX7二、二次型及其对称矩阵330103532555505502251513131222233135300222A301005015050630522()4r，A4.二次型的秩为30105050651
4、00223052230105050651002230522301005015001610022301005 0 10056000 18二、二次型及其对称矩阵例3222123122331(,)()()().f x x xxxxxxx求二次型的秩解22212312312233 1(,)222222f x x xxxxx xx xx x211121112A2.A 的秩为1121212111120330331120110009二、二次型及其对称矩阵111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnyc xc xc xyc xc xc xyc xc xc x称为线性变换111121122
5、1222212nnn nnnnnnnycccxycccxYCXycccx记，C若 可逆则称线性变可逆线换为；性变换，C若 正交则称线性变正交线换为.性变换，YCX则变换表示为10二、二次型及其对称矩阵XCY作可逆变换，12(,)()()TTnf x xxX AXCYA CYTTY C ACY()TTYC AC YTBC AC()().TTfY BYBC ACr Ar B变元的二次型它的矩阵且，12(,)Tnf x xxX AXXCY二次型经可逆线性变换 变成新结论11二、二次型及其对称矩阵例400000000.0000 xyyzzx证明：矩阵与合同解001000010000000100000T
6、xyCCyCzzx取矩阵则，00000000.0000 xyyzzx故矩阵与合同12线性代数（慕课版）第四章 线性方程组第二讲 二次型的标准形(1)利用正交变换法化二次型为标准形本讲内容利用正交变换法化二次型为标准形1111211221222212nnn nnnnnnnypppxypppxYPXypppx记，YPX则变换表示为定义6.2PYPX若 为正交矩阵则线性变换 称为正交线性变换.，15利用正交变换法化二次型为标准形12112nnP APAn 其中 为 的 个特征值.，定理5.4AnnP设 为 阶实对称矩阵则必存在 阶正交矩阵使得，定理5.4推论AnnP设 为 阶实对称矩阵则必存在 阶正
7、交矩阵使得，2221211221(,),Tnnnnf x xxX AXyyyf其中为 的矩阵，定理6.1TfX AXXPY任给实二次型总存在正交变换使得，A的特征值.TP AP .16利用正交变换法化二次型为标准形例122212312323(,)2334XPYf x x xxxxx x求正交变换把二次型，解200032023A第一步二次型矩阵为200032(1)(2)(5)0023AAE 的特征方程为1231,2,5.A由此得 的特征值为1110001()0022010221AE XX第二步当 时由 得 解得，化为标准形.17利用正交变换法化二次型为标准形2200012(2)001200021
8、0AE XX 当时由 得解得；，3330005(5)002201.0221AE XX 当 时由 得解得，123第三步将单位化，123010111,0,122101 02011012101P=故正交矩阵为222123123,25.XPYX=PYf x x xyyy第四步 于是得正交变换其标准形是，18利用正交变换法化二次型为标准形222123123121323,44448.f x x xxxxx xx xx x化为标准形例2122244244A 对于给定矩阵解答下列问题.，TPP AP(1)求一个正交矩阵使得 为对角矩阵；，XPY(2)求一个正交变换将二次型，解2122244(9)0244AAE
9、 (1)的特征方程为1230,9.A由此得 的特征值为120(0)0AE X当时解，12221001 得，1222114.505 正交化得，19利用正交变换法化二次型为标准形3312319(9)02.,2AE X 当时由 解得 相互正交，12322153 53142,353 520533 5 单位化得221353 5142=353 552033 5P故正交矩阵为100.9TP APP AP使得122244244TAPP AP 对于给定矩阵(1)求一个正交矩阵使得 为对角矩阵；，20利用正交变换法化二次型为标准形P(2)取(1)中得到的正交矩阵，222123123121323122244244,
10、44448.TAPP APXPYf x x xxxxx xx xx x 对于给定矩阵解答下列问题.(1)求一个正交矩阵使得 为对角矩阵；(2)求一个正交变换将二次型化为标准形，21233,9.XPYX=PYf x x xy令则，21利用正交变换法化二次型为标准形例322212312323(,)2332(0)f x x xxxxax xa已知二次型通22212325.fyyya过正交变换化为标准形求参数及所用的正交变换矩阵，解20003,03fAaa二次型 的矩阵2220003(2)(69)003EAaaa特征方程为1231,2,5.A 的特征值为21(5)40,2.0,2.aaaa 将或代入特
11、征方程得 因 故取，200032.023A这时，22利用正交变换法化二次型为标准形22212325.fyyya化为标准形求参数及所用的正交变换矩阵，22212312323(,)2332(0)f x x xxxxax xa已知二次型通过正交变换200032.023A11231001()0,0220022xEA xxx时由即，101.1解得对应的特征向量2212(2)00.0EA x 时由，3305(5)0,1.1EA x 时由，23利用正交变换法化二次型为标准形00012312300111,0,.2201122 将，单位化得，0101102211022T故所用的正交变换矩阵为22212325.f
12、yyya化为标准形求参数及所用的正交变换矩阵，22212312323(,)2332(0)f x x xxxxax xa已知二次型通过正交变换24线性代数（慕课版）第四章 线性方程组第三讲 二次型的标准形(2)02利用配方法化二次型为标准形01利用正交变换法化二次型为标准形本讲内容利用配方法化二次型为标准形例12221231231223,222f x x xxxxx xx x设二次型，解211xx先按 及含有 的混合项配成完全平方222212311222233,(2)(2)f x x xxx xxxx xx221223()()xxxx11222333yxxyxxyx令，2212.f=yy则二次型
13、化为标准形.利用配方法将其化为标准形27利用配方法化二次型为标准形222123123121323,23448f x x xxxxx xx xx x例2利用配方法化二次型为标准形并求出所用变换矩阵，解211xx先按 及含有 的混合项配成完全平方22222123112323232323,22()()2()38f x x xxx xxxxxxxxx x2221232323=24xxxxxx x22234xx x再按配成完全平方222123123233,2(2)5f x x xxxxxxx1123222223123332=25yxxxyxxfyyyyx令得二次型的标准形为，28利用配方法化二次型为标准
14、形例31231223,24f x x xx xx x设二次型利用配方法将其化为，解11221233xyyxyyxy令，12312131212123,242()()4()f x x xx xx xyyyyyyy则2222121323132322442()2()yyy yy yyyyy11322333zyyzyyzy令，11322333yzzyzzyz也即，221222.f=zz则有.标准形29利用配方法化二次型为标准形1231223,24.f x x xx xx x设二次型利用配方法将其化为标准形，1121132122233333xyyyzzxyyyzzxyyz11122212333110101
15、110011001001xyzX=xY=yZ=zCCxyz，12X=C C Z可逆变换：12110101110110011112001001001C=C C变换矩阵：12X=CYY=C Z，30利用配方法化二次型为标准形例4利用配方法化二次型为标准形并求出所用变换矩阵，123121323,.f x x xx xx xx x解11221233xyyxyyxy令，1231213231212123123,+()()(+)()f x x xx xx xx xyyyyyyyyyy则22222121313232()yyy yyyyy1132222212333=.zyyzyfzzzzy令则有，31线性代数（
16、慕课版）第四章 线性方程组第四讲 正定二次型霍尔维茨定理01正定二次型的定义02本讲内容一、正定二次型的定义2mr惯性指数；称正惯性指数与负惯性指数之差为符号差.定理6.211=()nnTTijijijfa x xX AXAAr设有二次型且它的秩为若有，221122X=PYX=QZf=yy两个实的可逆线性变换使二次型化为，22221 122(0,1,2,)(0,1,2,rrirriyirf=p zp zp zpi，1212,),rrrp ppmm 则和中正数的个数相等均为称 为二次，rmrm型的正惯性指数；负数的个数也相等均为称为二次型的负，pq且、由二次型唯一确定即规范形是唯一的.，惯性定理
17、TX AX任意二次型 都可通过非退化线性变换化为规范形22222121ppp qzzzzz，pqpq其中 为正惯性指数 为负惯性指数 为二次型的秩，惯性定理34一、正定二次型的定义A对应矩阵 称为正定矩阵.定义6.31212(,)(,)0TTnnf x xxX AXc cc实二次型，若对任意，1212(,)0(,)nnf c ccf x xx恒有则称二次型 是正定二次型，定理6.3.TfX AXn实二次型正定的充要条件是它的正惯性指数等于推论TfX AXfA实二次型正定的充要条件是 的矩阵 的特征值全为正.正定性判定35一、正定二次型的定义A.1B.2C.21D.12aaaaa 或-例1222
18、123123122313,()222ff x x xa xxxx xx xx x二次型 1 2_.的正负惯性指数为、则，解111111aAaa，211=11(1)(2)11aEAaaaa 1231=2Aaa故 的特征值为，1 2201021.aaa 因为正负惯性指数为 、所以故，C36一、正定二次型的定义例2|1.AnEnAE已知 为 阶正定矩阵 为 阶单位矩阵证明：，解12,nAA 设 的特征值为由 为正定矩阵知，121,1,1,nAE 的特征值为12|(1)(1)(1)1.nAE故120,0,0.n37一、正定二次型的定义.BkB单位矩阵求对角矩阵使得 与 相似并求 为何值时 为正定矩阵，
19、例32101020()101ABkEAkE设矩阵矩阵其中 为实数 为，解2123101=020(2)020102EA 得，-222()()()TTTABkEAkEAkEAB因 是实对称矩阵故，B即 也是实对称矩阵.222(+2)(+2)Bkkk 的特征值为，222200020.00kBkk（）与（）相似20.kkBB当且时 的特征值都大于零此时 为正定矩阵，-38霍尔维茨定理02正定二次型的定义01本讲内容二、霍尔维茨定理1,2,An称为矩阵 的 阶顺序主子式.定义6.41,2,nAn位于 阶矩阵 的左上角的 阶子式11121111122122naaaaAaa ，定理6.4TfX AXA实二次
20、型正定的充要条件是 的各阶顺序主子式霍尔维茨定理全大于零.40二、霍尔维茨定理2221231231213(2)(,)56444.f x x xxxxx xx x 例4判定下列二次型的正定性：2221231231223(1)(,)5342f x x xxxxx xx x；解520(1)231011A 111211122122525011 02 3aaaaa ，111522(2)26050.204Aa 显然该二次型不是正定二次型，360A 该二次型是正定二次型.，41二、霍尔维茨定理123(,)kf x x xk其中 为参数求 的矩阵和使此二次型为正定的 的范围，例52221231231213(,
21、)2(1)22f x xxxxk xkx xx x已知二次型 解1120101kAkkf由是正定的充要条件知2022Ak由推出 230(2)0,210Ak kkkk 由推出从而或123000:10.AAAkk 综上，使 同时成立的 的范围是，123111100200210 1kkAAAkkk，42二、霍尔维茨定理正定矩阵的性质(1)|0AA 若 为正定矩阵则；，(2)01,2,iiAAain若 为正定矩阵则 的主对角线元素，；，1(3)(0)AAkA k若 为正定矩阵则 为实数 均为正定矩阵；，*(4)mAAAm若 为正定矩阵则 均为正定矩阵其中 为正整数；，(5).ABnAB若 为 阶正定矩
22、阵则 为正定矩阵，43二、霍尔维茨定理例6ABnAB设 为 阶正定矩阵证明 为正定矩阵.，证TABnABAA为 阶正定矩阵 为实对称矩阵即，()TTTTBB ABABABAB故为实对称矩阵.，000TTnXX AXX BX对任意 维实向量且，()0TTTXAB XX AXX BX故，().TfXAB XAB所以是正定二次型故 是正定矩阵，44线性代数（慕课版）第六章 二次型导学本章主要内容包括：第六章 二次型二次型及其矩阵表示 二次型的标准形正定二次型 在解析几何中，用 不同时小于等于0)可以表示多2221(,axbycza b c而知了.第二个方程的左端叫做二次齐次多项式，若能通过适当的坐标
23、变换化为第一个方程的形式，将会简化问题.像这样的讨论含有n个变量的二次齐次函数的问题在许多实际问题（例如复杂成本的最大利润）和理论问题（例如多元函数极值）中常会遇到.本章要解决的就是经过适当的变量替换，将其转化为只含有平方项的多项式，并讨论其正定性.种常见的二次曲面，但 表示何种曲面就不得222+1axbycydxy exzfyz4601二次型的相关概念二次型化为标准形的方法正定二次型0203本讲内容01 二次型的相关概念48二次型规范形标准形二次型的秩1112111222221212(,)nnTnnnnnnaaaxaaaxf x xxX AXAXaaax，其中，1122120000(,);0
24、0Tnnndxdxf x xxXXXdx，其中，2222212121(,).npprf x xxxxxxx实对称矩阵不唯一唯一正惯性指数负惯性指数r-p01 二次型的相关概念49规范形2222212121(,).npprf x xxxxxxx唯一正惯性指数负惯性指数r-p惯性定理02二次型的相关概念二次型化为标准形的方法正定二次型0103本讲内容02 二次型化为标准形的方法51二次型化为标准形的方法正交变换法配方法实对称矩阵的正交相似对角化第五章既含有完全平方项，也含有乘积项只含有乘积项做代换03二次型的相关概念二次型化为标准形的方法正定二次型0102本讲内容03 正定二次型53二次型正定二次
25、型正定矩阵特殊正惯性指数等于n各阶顺序主子式大于零特征值均大于零定义性质线性代数（慕课版）第六章 二次型本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议02本讲内容 1 知识点归纳二次型二次型相关概念二次型的秩标准形二次型化标准形的方法正定二次型配方法正交变换法定义判定定理性质正惯性指数规范形惯性定理5601知识点归纳教学要求和学习建议02本讲内容 2 教学要求和学习建议（1）掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理会用配方法化二次型为标准形.（3）（2）掌握用正交变换化二次型为标准形的方法.（4）理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法58 2
26、教学要求和学习建议1112111222221212,nnTnnnnnnaaaxaaaxx xxX AXaaax实对称矩阵12(,).Tnf x xxX AXAf设二次型的二对次矩型 则称实称阵秩为的秩，21211 1121213 131122222323222333332(,)222222nnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa xa x xa x59 2 教学要求和学习建议2221211221(,),Tnnnnf x xxX AXyyyf其中为 的矩阵，TfX AXXPY任给实二次型总存在正交变换使得，定理6.1惯性定理2mr二次型的负
27、惯性指数；称正惯性指数与负惯性指数之差为符号差.211X=PYX=QZf=y若有两个实的可逆线性变换使二次型化为，22222221 122(0,1,2,)(0,rrirriyyirf=p zp zp zp，12121,2,),rrirp ppm 则和中正数的个数相等均为称，mrmrm为二次型的正惯性指数；负数的个数也相等均为称为，11=()nnTTijijijfa x xX AXAAr设有二次型且它的秩为，A的特征值.601123223332yxxxyxxyx令，222123123121323,23448f x x xxxxx xx xx x211xx先按及含有 的混合项配成完全平方22212
28、31232323,24f x x xxxxxxx x22234xx x再按配成完全平方222123123233,2(2)5f x x xxxxxxx222123=25.fyyy得二次型的标准形为配方法总结221231213,2f x x xyyy y则1132222212333=.zyyzyfzzzzy令则有，2221231323,()f x x xyyyy123121323,f x x xx xx xx x11221233xyyxyyxy令，211yy再按 及含有 的混合项配成完全平方类型1类型2 2 教学要求和学习建议61TfX AXfA(3)实二次型正定的充要条件是 的矩阵 的特征值全为
29、正.1212(,)0(,)0.TTnnfX AXc ccf c cc(1)实二次型正定的充要条件对任意恒有，.TfX AXn(2)实二次型正定的充要条件是它的正惯性指数等于 2 教学要求和学习建议TfX AXA(4)实二次型正定的充要条件是 的各阶顺序主子式全大于零.二次型正定的判定62.TfX AX(2)对应的实二次型正定 2 教学要求和学习建议A(1)为对称矩阵；正定矩阵的判定63 2 教学要求和学习建议正定矩阵的性质(1)|0AA 若 为正定矩阵则；，(2)01,2,iiAAain，若 为正定矩阵则 的主对角线元素；1(3)(0)AAkA k若 为正定矩阵则 为实数 均为正定矩阵；，*(4)mAAAm若 为正定矩阵则 均为正定矩阵其中 为正整数；，(5).ABnAB，若为 阶正定矩阵则为正定矩阵64学海无涯，祝你成功！线性代数（慕课版）
