1、9.2两条直线的位置关系,第九章平面解析几何,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2? .()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2? .()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.,知识梳理,k1k2,k1k21,(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是
2、方程组 的解.,2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| .(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d .(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .,1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是 .,【知识拓展】,A1B2A2B10,3.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2
3、：A2xB2yC20垂直的充要条件是 .4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.,A1A2B1B20,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2?l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC1
4、0，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.(),基础自测,1,2,3,4,5,6,(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.(),1,2,3,4,5,6,题组二教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于,解析,答案,1,2,3,4,5,6,3.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m .,解
5、析,1,2,3,4,5,6,答案,1,所以m42m，所以m1.,题组三易错自纠4.(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3,解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，,解析,1,2,3,4,5,6,答案,5.直线2x2y10，xy20之间的距离是 .,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析,2,答案,1,2,3,4,5,6,综上，a2.,题型分类深度剖析,典例 (2018青岛模拟)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；,题型一两
6、条直线的位置关系,师生共研,解答,解由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，,k20，即k1，k2都存在且不为0.,又l1过点(3，1)，3ab40. (*)由(*)(*)联立，解得a2，b2.,(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.,解答,解l2的斜率存在，l1l2，,又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，,(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直
7、时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.,跟踪训练 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；,解答,解方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；,综上可知，当a1时，l1l2.,方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，,故当a1时，l1l2.,(2)当l1l2时，求a的值.,解答,解方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直
8、于l2，故a0不成立；当a1且a0时，,解析,答案,题型二两直线的交点与距离问题,自主演练,而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.,2.若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为 .,解析,x3y50或x1,答案,解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.,即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中
9、点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.,(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.,解析,题型三对称问题,多维探究,解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.,命题点1点关于点中心对称典例 过点
10、P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .,x4y40,答案,命题点2点关于直线对称典例 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是,解析,答案,解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，,命题点3直线关于直线的对称问题典例 已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.,解答,解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(
11、2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，,得N(4,3).又直线m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.,解决对称问题的方法(1)中心对称,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,(2)轴对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,跟踪训练 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；,解答,解设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，,又PP的中点在直线3xy30上，,把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).,(2)直线xy20关于
12、直线l对称的直线方程；,解答,解用分别代换xy20中的x，y，,化简得7xy220.,(3)直线l关于(1,2)的对称直线.,解答,解在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，,l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.,妙用直线系求直线方程,思想方法,思想方法指导,规范解答,一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.,思想方法指导 因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设
13、该直线方程为3x4yc0(c1).,规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.,思想方法指导,规范解答,二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.典例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.,思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.,规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又
14、直线过点A(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.,思想方法指导,三、过直线交点的直线系典例3 (2017湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为 .,思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.,解析,答案,4x3y90,所求直线与直线3x4y70垂直，,即4x3y90.,代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)
