1、考点09 一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k0）这时， y叫做x的正比例函数2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k0一次函数的一般形式的结构特征：（1）k0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是
2、全体实数.（3）如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数（4）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k0）的形式.（5）一次函数的一般形式可以转化为含x、y的二元一次方程.三、一次函数的图象及性质1正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线k的符号函数图象图象的位置性质k0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k 0，向上平移b个单位长度；b0，b0一、二、三y随x的增大而增大k0，b0一、三、四y=kx+b(k0)k0一、二、四y随x的增大而减小k0，b0时，即k，b异号时，
3、直线与x轴交于正半轴当=0，即b=0时，直线经过原点当0）或向下（b0时，y的值随x值的增大而增大；b当k0（或ax+b0时，函数y=kx（k0）的图象从左向右，呈上升趋势；当k0时，函数y=kx（k0）的图象从左向右，呈下降趋势3正比例函数y=kx中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴4一次函数图象的位置和函数值y的增减性完全由b和比例系数k的符号决定典例3 一次函数y=2x+b，b0，则其大致图象正确的是ABCD【答案】B【解析】因为k=2，b0，所以图象在第二、三、四象限，故选B典例4下列四个选项中，不符合直线y=3x2的性质的选项是A经过第一、三、四
4、象限By随x的增大而增大C与x轴交于（2，0）D与y轴交于（0，2）【答案】C【解析】根据一次函数的性质，通过判断k和b的符号来判断函数所过的象限及函数与x轴y轴的交点在y=3x2中，k=30，y随x的增大而增大；b=20，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；k0（或ax+b0的解集y=ax+b中，y0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围；ax+b0的解集y=ax+b中，ykx4的解集是Ax2Bx0Cx1Dx1时，x+bkx+4，即不等式x+bkx+4的解集为x1故选C典例10如图，直线与分别交x轴于点，则不等式的解集为ABCD或【答案】D【解析】，或直
5、线与分别交x轴于点，观察图象可知的解集为：，的解集为：不等式的解集为或.故选D.【名师点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键.10如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，2），一次函数的图象经过点B（2，1）.（1）求一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式组1kx+b2x的解集11如图，函数与的图像交于（1）求出m、n的值；（2）直接写出不等式的解集；（3）求出ABP的面积考向六 一次函数与二元一次方程（组）1二元一次方程kx-y+b=0（k0）的解与一次函数y=kx+b（k0）的图象上的点的坐标是一一对应的2两个一次函
6、数图象的交点坐标，就是相应二元一次方程组的解，体现了数形结合的思想方法典例11如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于x，y的方程组的解是A B C D 【答案】A【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是故选A【名师定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标典例12 若方程组没有解，则一次函数y=2x与y=x的图象必定A重合B平行C相交D无法确定【答案】B【解析】方程组没有解，一次函数y=2x与y=x的图象没有交
7、点，一次函数y=2x与y=x的图象必定平行故选B12二元一次方程组的解为，则一次函数y=5x与y=2x1的交点坐标为A（2，3）B（3，2）C（2，3）D（2，3）13如图，直线l1的函数解析式为y=2x2，直线l1与x轴交于点D直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B（3，1），如图所示直线l1、l2交于点C（m，2）（1）求点D、点C的坐标；（2）求直线l2的函数解析式；（3）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解考向七 一次函数的应用一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式确定函数增减
8、性根据自变量的取值范围确定最值典例13一辆公交车从A站出发匀速开往B站在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏根据这两种意见，可以把图分别
9、改画成图和图（a）说明图中点A和点B的实际意义；（b）你认为图和图两个图象中，反映乘客意见的是_，反映公交公司意见的是_【解析】（1）设A站和B站相距x千米，行驶的时间是y小时，根据题意得：，解之得：，5.80.1=58（千米/小时）；答：A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时（2）（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图；反映公交公司意见的是图；故答案为：，典例14 某文化用品商店出售书包和文具盒，书包每个定价40元，
10、文具盒每个定价10元，该店制定了两种优惠方案：方案一，买一个书包赠送一个文具盒；方案二：按总价的九折付款，购买时，顾客只能选用其中的一种方案某学校为给学生发奖品，需购买5个书包，文具盒若干（不少于5个）设文具盒个数为x（个），付款金额为y（元）（1）分别写出两种优惠方案中y与x之间的关系式；方案一：y1=_；方案二：y2=_（2）若购买20个文具盒，通过计算比较以上两种方案中哪种更省钱？（3）学校计划用540元钱购买这两种奖品，最多可以买到_个文具盒（直接回答即可）【答案】（1）10x+150；9x+180；（2）详解见解析；（3）40.【解析】（1）由题意，可得y1=405+10（x5）=1
11、0x+150，y2=（405+10x）0.9=9x+180故答案为：10x+150，9x+180；（2）当x=20时，y1=1020+150=350，y2=920+180=360，因为3503时，x的取值范围是ABCD5如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y=x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为Ay=x+2By=x+2Cy=x2Dy=x26点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4图象上的两个点，且x1y2By12时，y0；当x0时，y3其中正确的是ABCD10端午节，在大明湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500米的赛道上，所划行的路程y（m）与
12、时间x（min）之间的函数关系如图所示，下列说法，其中正确的有乙队比甲队提前0.25min到达终点；0.5min后，乙队比甲队每分钟快40m；当乙队划行110m时，此时落后甲队15m；自1.5min开始，甲队若要与乙队同时到达终点，甲队的速度需要提高到260m/minA1个B2个C3个D4个11观察图象，可以得出不等式组的解集是Ax4Bx1C1x0D1x”“=”或“”）15关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第_象限16已知一次函数y=4x+3m与y=7x9的图象经过y轴上同一点，则m=_17赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个
13、行程中，龙舟离开起点的距离y（米）与时间x（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）起点A与终点B之间相距多远？（2）哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？（3）分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；（4）甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200米？18如图，直线y=2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A（1）求A点坐标；（2）求OAC的面积；（3）如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；（4）在直线y=2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由19已知一次函数(k
14、0)，回答下列问题：（1）若一次函数的图象过原点，求k的值；（2）无论k取何值，该函数的图象总经过一个定点，请你求出这个定点的坐标20为建设秀美家乡，某学校组织师生参加一年一度的植树绿化工作，准备租用7辆客车，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表，设租用甲种客车x辆，租车总费用为y元，甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)6040租金/(元/辆)360300（1）求出y（单位：元）与x（单位：辆）之间的函数关系式（2）若该校共有350名师生前往参加劳动，共有多少种租车方案？（3）带队老师从学校预支租车费用2400元，试问预支的租车费用是否能有结余？若有结余，最多可结余多少元？ 1（2019
15、扬州）若点P在一次函数的图象上，则点P一定不在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（2019绍兴）若三点，在同一直线上，则的值等于A-1B0C3D43（2019苏州）若一次函数（为常数，且）的图象经过点，则不等式的解为ABCD4（2019临沂）下列关于一次函数的说法，错误的是A图象经过第一、二、四象限B随的增大而减小C图象与轴交于点D当时，5（2019梧州）直线y=3x+1向下平移2个单位，所得直线的解析式是Ay=3x+3By=3x-2Cy=3x+2Dy=3x-16（2019杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是ABCD7（2019邵阳）一次函数y1=k1x+b1的图象l1如图所示，将
16、直线l1向下平移若干个单位后得直线l2，l2的函数表达式为y2=k2x+b2下列说法中错误的是Ak1=k2Bb1b2D当x=5时，y1y28（2019聊城）某快递公司每天上午9：00-10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为A9：15B9：20C9：25D9：309（2019天津）直线与轴交点坐标为_10（2019无锡）已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx-b0的解集为_11（2019烟台）如图，直线y=x+2与直线y=a
17、x+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2ax+c的解为_12（2019潍坊）当直线经过第二、三、四象限时，则的取值范围是_13（2019郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：日期1234数量（瓶）120125130135观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为_瓶14（2019鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=，则点P（3，-3）到直线的距离为_15（2019杭州）某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式_16（2019南京）已知一次函数（k为常数，k0）
18、和（1）当k=2时，若，求x的取值范围；（2）当x结合图象，直接写出k的取值范围17（2019乐山）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积18（2019天门）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折设一次购买量为x千克，付款金额为y元（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？19（2019常德）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这
19、两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算20（2019山西）某游泳馆推出了两种收费方式方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱21（2019天津）甲、乙两个批发店销
20、售同一种苹果在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50 kg部分的价格为5元/kg设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为（1）根据题意填表：一次购买数量/kg3050150甲批发店花费/元300乙批发店花费/元350（2）设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式；（3）根据题意填空：若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为_kg；若小王在同一个批发店一次购买苹果的
21、数量为120 kg，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购买花费少；若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的_批发店购买数量多22（2019湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为（分），图1中线段和折线分别表示甲、乙离开小区的路程（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离（米）与甲步行时间（分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1
22、和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当时关于的函数的大致图象（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）变式拓展1【答案】D【解析】一次函数y=2x+5图象上的点都在函数图象上，函数图象上的点都满足函数的解析式y=2x+5；A、当x=0时，y=55，即点（0，5）不在该函数图象上；故本选项错误；B、当x=2时，y=19，即点（2，9）不在该函数图象上；故本选项错误；C、当x=2时，y=99，即点（2，9）不在该函数图象上；故本选项错误；D、当x=4时，y=3，即点（4，3）在
23、该函数图象上；故本选项正确；故选D【名师点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征解题关键在于掌握在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式2【答案】2【解析】正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），2=k1，即k=2故答案为：2【名师点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k1本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键3【答案】C【解析】利用正比例函数的性质得出0，根据m、n同正，同负进行判断由正比例函数图象可得：0，mn同正时，y=mx+n经过第一、二、三象限；mn同负时，经过第二、三、四象限，故选C4【答案】A【解析】y随x的增大而增大，2m+20，m1故选A5【答案】
