1、1.熟练掌握状态反馈与输出反馈，极点配置2.熟练掌握状态观测器设计方法3.掌握分离原理，降维观测器设计方法重点内容：状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和有关定理 单输入、多输出系统的极点配置 全维与降维观测器的设计 状态反馈与观测器的工程应用5.1 状态反馈与输出反馈 1.状态反馈设原系统：.x1/Suy-+DuCxyBuAxx.x状态反馈控制律：其中：输入-状态反馈阵状态反馈系统：若=0，特征方程KxvupRvnpRKBVxBKAx)(.DVxDKCy)(BBKAsICsGk1)()(0)(BKAIa2.输出反馈a.输出反馈至参考微分处().x.x1/SHu-+xBuxHCAHyBuAxx)
2、(.yCxy 其中-输出反馈阵qnRH1()()HGsC sIAHCBb.输出反馈至参考输入：BvxBFCAx)(.x1/Su-+xCxy BBFCAsICsGF1)()(y比较：输出反馈 H,F选择的自由度比K小，输出反馈 部分状态反馈。C=I,FC=K时，才能等同状态反馈。因此，输出反馈的效果不如状态反馈，但 输出反馈实现较方便，而状态反馈不能测量的状态变量需用状态观测器重构状态。qyRqn5.2 闭环系统的能控性与能观性1.定理定理1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性 证明：设原系统 的动态方程为：先证引入u=v-kx的状态反馈后系统 的动态方程为：CxyBuAxx.
3、0SRSBVxBKAx)(.Cxy 先证 能控的充要条件是 能控：的能控性阵：的能控性阵：由于 0SRS0SRSBAABBSnc1BBkABBKABSncR1)()(pAbAbAbAB21pbBkAbBkAbBkABBkA)()()()(21式中 列向量组成 npiRpib),2,1(12n ppBbbbR 则：令：式中 标量 这说明 的列 是 列的线性组合。ipiipiibkbkbkbbbAbbBkA2121)(iibkC11iibkC22ippibkC),2,1(pjCji)()(2211ppiiiiibCbCbCAbbBkABBkA)(ibBkA)(ABB同理：的列 是 列的线性组合。的
4、列 是 列的线性组合。BBkA2)(ibBkA2)(BAABB2BBkAn 1)(inbBkA1)(BAABBn 1CCRSrankSrank 另一方面：的状态反馈系统 或：是由 经初等变换得到，而初等变 换RSS 0buxBkBkABuAxx)(.CRCSrankSrank CRCSrankSrank 0SRS例：解：判断原系统的能控性，能观性xyuxx10 100110.20110 rankAbbrank能控20110rankCACrankKxvu01K能观引入状态反馈：bVxbKAx)(.Cxy 则：令：0110AbKA20110 rankbAbrank能控10010rankCACran
5、k1)()(21ssbAsICsG不能观原系统：sbbKAsICbAsICsGK1)()()(11闭环系统：引入状态反馈后出现零极点对消2.定理定理2：输出至参考输入的反馈不改变原系统的能观性与能控性3.定理定理3：输出至状态微分的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性 证明：1)用对偶原理证明能观性不变 设原系统 ，输出反馈的系统 若原系统 能观 对偶系统 能控。由定理1可知，系统 引入状态反馈后的系统 能控性不变 能观性不变。),(:0CBAS),),(:CBHCASH),(CBA),(TTTBCA),(TTTBCA),),(TTTTTBCHCA TnTTTTTnTTTTTTT
6、TTnTTTTCHCACHCACrankCHCACHCACrankCACACrank111)()()()()(2)证明能控性不变：设原系统能控 能观),(TTTBCACnTTnTTTTTTTTSBAABBBABABS110)()()()()(系统 的能控性阵：),),(TTTTTBCHCA HnTTnTTTTTTTTTTTTHSBHCABHCABBHCABHCABS0110)()()()()()()(CHHrankSrankSrankSrankS C005.3 单输入/多输出系统的极点配置设原系统：CxyBuAxx.qnRyRx,.x1/Su-+yxv原系统闭环系统引入状态反馈：KxvunRK
7、1bVxbKAKxVbAxx)()(.Cxy bKAbKAI-闭环状态阵闭环特征多项式定理定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是：原系统能控能控证明：充分性设原系统能控 任意配置极点 原系统能控，一定存在将(A,b)能控标准型xpx1xCyubxAx .12101100001000010naaaaPAPA1101221201111101qnqqnnCPCTPbb100引入状态反馈，其中其中：Kxvu110nKKKKxCyVbxKbAx )(.11221100100001000010nnKaKaKaKaKbA),(bKbA是能控型特征多项式：比较与0)()()()()(0011111Kax
8、KaxKaKbAIannnn*0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）)(*a)(a1,2,1,0 ,*niaaKiii可任意配置极点PKK)()()(*abKAIKbAI能控标准型可直接求出uvKxvKPxvKx必要性：任意配置极点原系统能控反证法：原系统不可能设xpx1ccxxx22121110AAAPAPA01bPbb10KKK 0)(0)()(22220111122111201111AIKbAIAIKbAKbAIKbAIbKAI22A的特征值(的极点)不能任意配置 与已知矛盾，所以反设不成立。0222 AI1200III求解状态反馈阵的步骤：验证原系统的能控性 闭环系统特征方
9、程：希望的闭环系统的特征方程：计算*0*11*1*2*1*)()(aaaannnn（）1110()()nnnaIAbKaaaa)原系统是能控标准型：b)原系统不是能控型，比较与a)写出闭环系统状态方程：1,2,1,0 ,*niaaKiii)(a)(*aiKbVxbKAx)(.Cxy 例1：要求通过状态反馈将闭环极点配置在解：能控标准型能控设xuxx001y ,100320100010.210KKKK 12,32,1j 0464)1)(1)(2()(23*jja2,1,0 ,*iaaKiii1,4,4210KKK 32210()()(3)(2)0aIAbKKKK1/s1/s1/s41234U3x
10、3.x2xyx 12K1K0K原系统状态反馈例2:要求通过状态反馈将闭环极点设置在解：31,2*3,2*1j3100110001 2rankbAAbbrankSrankTc原系统能控00011100,01 10110 xxu yx 210KKKK(2)设32001012()()(2)(21)()0aIA bKKKKKKK884)31)(31)(2()(23*jja)()(*aa 332210KKKKVxbVbKAx001110011332)(.xy110(3)(4)令(5)1/s1/s1/s233-+yv2.x1x1.x2x1x1.x状态反馈 闭环系统的传递函数：bbKAsICsG1)()(1
11、2233101 111000110124sssss 5.4 状态反馈对系统零极点的影响设单输入出系统：已知(A,b,c,d)能控，则经过将(A,b,c,d)化为能控型ducxybuAxx.xpx1udxcyubxAx .),(dcbA12101100001000010naaaaPAPA1000b110ncdd dasasasssssGnnnnnnn0111012211)(0111001110)()()(asasasdasdadssGnnnnnnnKxvu引入状态反馈：dvxKdcyvbxKbAx)()(.110nKKKK设：o11221100100001000010nnKaKaKaKaKbA1
12、000b111100nnKdKdKdKdc零点不变，极点可变11100111001110011100()()()()()()()()()nnnknnnnnnnnnnnndKsdKG sdsaKsaKdsdasdasaKsaK5.5 输出反馈实现极点配置1.输出反馈状态微分设多输入单输出系统：CxyhyBuAxx ,.CxyBuxhCAx ,)(.xBA1/sChuy.x.x-+定理：由输出至的反馈任意配置极点的充要条件是原系统能观证明：运用对偶原理：若(A,B,C)能观，则 能控，可由状态反馈实现极点配置：可求出hx),(TTTBCA)()()(*ahCAIaTTTTh)()()()(*ahC
13、AIhCAIhCAITTTTTTT2.输入反馈至参考输入的极点配置：BA1/sCfu.x.x-+引入输出反馈：1 pRffyvuy(),xABfC xBvyCx定理:完全能控的系统不能靠引入式:所示的输出反馈控制来任意配置闭环系统的极点。1 pRffyvu由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用可量测输出y 和输入u来构造出不能量测的状态x，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题 状态重构状态重构:5.6 全维状态观测器及其设计实现状态重构的装置称为：状态观测器或状态估计器原系统状态 估计状态
14、n维全维状态观测器nRxxbI/SCA观测器k-.xxuyx要求：)()(limtxtxtv原系统带观测器的闭环系统1.状态观测器的构成：原系统：模拟系统：由于：cxyBuAxx .xcyBuxAx)()(00txtx0 xx(1)x1/Su-+1/S+HKv.x-y状态反馈部分观测器部分.xxy-2.全维观测器的设计：.)(xcyyyHBuxAxHyBuxHcAxxHcBuxAx.)()(HcA-观测器的系统阵qnRH-观测器的输出反馈阵(2)观测器存在的条件：(2)-(1)可得：令其解为：)()(00txtx0)(limxxx)(.xxHcAxx)()(0)(0txtxexxttHcAxx
15、x.)(xHcAx的选择：要求：观测器的响应速度大于大于状态反馈系统的响应速度()()()aIAHCaA-HC的特征值均具有负实部能保证观测器存在。定理定理：若系统(A,B,C)完全能观，则可用如下的全维观测器对原状态来进行估计：HyBuxHcAxxHcBuxAx.)()(适当选取例：设计观测器，使观测器的极点为：解：1)uxx101012.xy0132,112010CACST2 0TSrank 原系统能观 观测器的极点可任意配置。2)又3)设4)令96)3()(22*a10hhH11210hhHCA)2()3(112)()(100210hhhhhHCAIa)()(*aa5).4310hhHy
16、uxHyBuxHCAx43101415)(.3.分离定理：原系统 引入状态反馈：全维观测器：cxyBuAxx .xkvucxyBvxBkAxx,.BvHcxxHcBkAyyHBuxAx.)()(xcy(1)(2)x1/Su-+1/S+HKv.x-y状态反馈部分观测器部分.xxy-x1/Su-+1/S-HC+Hv.x状态反馈部分观测器部分.xxyK问题是：1、设计状态观测器获得H2、按系统性能指标进行极点配置获得KH与K的设计相互之间影响吗？2n阶复合系统：vBBxxHCBkAHCBkAxx.0 xxCy考察由系统和观测器构成的复合系统：由(1)-(2):用 直观 引入如下变换：)()(00)(
17、0txtxexxttHcA xxxxpx 0 xxxxxxx()()xxAHc xxnnnIIIp01AppA101BBpBnnnIIIp001ccpcxcyvBxAx .vBBxxxHCABkBkAxxx.00 xxxcyBBkAsIcBHcAsIBkBkAsIcsGsGnnn11)(0)(0)(0)()(cxyBvxBkAkxvBAxx,)()(.状态反馈子系统复合系统的传递函数：0)()()(0)(HcAIBkAIHcAIBkBkAInnnnK和H相互独立设计复合系统的特征多项式：分离定理分离定理：若系统 能控能观，用 形成状态反馈后，K和H 的设计可以分别独立进行。),(CBAxxyuxx02103210j11021 SSex2设控制系统传递函数：确定二维观测器构成状态反馈闭环系统，使观测器极点为10，10)6(1)(sssG
