1、 第第9章章 马尔可夫预测方法马尔可夫预测方法9.1 马尔可夫链基本理论9.2.1市场占有率预测9.2 案例分析9.2.2 股票价格走势预测9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测9.1.1马尔可夫链基本概念（1）马尔可夫链 设随机过程)(tX,Tt，其 中 时 间 T=0,1,，状 态 空 间 I=0,1,2,，若对任一时刻n，以及任意状态jiiiin,110，有,)1(,)(|)1(1ninXinXjnXP)0(,)1(,01iXiX)(|)1(inXjnXP则称)(tX,Tt 为一个马尔可夫链（或马氏链）简记为nX,0n首页首页9.1 马尔可夫链基本理论注注:而
2、与以前的状态表明)(tX在时刻 n+1 的状态jnX)1(的概率分布只与时刻 n 的状态inX)(有关，1)1(ninX，0)0(iX无关。(2)一步转移概率马氏链在时刻n处于状态 i 的条件下，到时刻n+1转移到状态 j 的条件概率，即|1iXjXPnn称为在时刻n的一步转移概率，记作)(npij首页首页注注:由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步转移后，必到达状态空间中的某个状态一步转移概率满足(3)一步转移矩阵称为在时刻n的一步转移矩阵（1）0)(npij,Iji,（2）1)(npijIj,Ii如果固定时刻Tn则由一步转移概率为元素构成的矩阵1P：首页首页即即有有有限马氏链状态空
3、间I=0，1，2，k)()()()()()(10111001001npnpnpnpnpnpPnn)()()()()()()()()(1011110001001npnpnpnpnpnpnpnpnpPkkkkkk首页首页(4)齐次马氏链即则称此马氏链为齐次马氏链（即关于时间为齐次）如果马氏链的一步转移概率)(npij与 n 无关，ijnnpiXjXP|1(5)初始分布设)(00iXPip，Ii，如果对一切Ii都有0)(0ip1)(0ipIi称)(0ip为马氏链的初始分布首页首页注马氏链在初始时刻有可能处于I中任意状态，初始分布就是马氏链在初始时刻的概率分布。(6)绝对分布概率分布)(iXPipnn
4、，Ii，0n称为马氏链的绝对分布或称绝对概率定态分布若绝对分布)(ipn与n无关，即)(iXPipn，Ii，0n则称)(ipn，Ii为马氏链0,nXn的定态分布首页首页在马氏链的研究中，须研究“从已知状态i出发，经过n次转移后，系统将处于状态j”的概率.(7)n步转移矩阵步转移矩阵1)n步转移概率系统在时刻m从状态i经过n步转移后处于状态j的概率设0,nXn为齐次马氏链，其状态空间为 I，|iXjXPmnmIji.称为n步转移概率由于马氏链是齐次的，这个概率与m无关所以简记为)(nijp首页首页显然有2)n步转移矩阵 0)(nijp，1)(nijIjp，Iji.由所有 n 步转移概率)(nij
5、p为元素组成的矩阵)()(nijnpP Iji.称为n步转移矩阵规定jijipPij，当，当01)()0(0)()()1(1ijijppP首页首页注注（1）用一步转移概率表示多步转移概率kjIkikijppp)2(jkkkIkkiknijnnpppp2111,)1(（2）n步转移矩阵nP与一步转移矩阵1P之间的关系nnPP1首页首页注注（3）)(jXPjpnn为元素的行矩阵记为)(,),2(),1()(NpppnPnnnI=1，2，N由矩阵的乘法规则，得nPPnP)0()(表示：在时刻表示：在时刻n，各状态的概率等于其初始状态的概，各状态的概率等于其初始状态的概率与率与n步转移概率矩阵之积。步
6、转移概率矩阵之积。若链是齐次的，则有若链是齐次的，则有nPPnP1)0()(首页首页(8)遍历性遍历性定义1使得设马氏链0,nXn的状态空间为 I，若对一切Iji,，存在不依赖于 i 的常数)(j，)(lim)(jpnijn则称此马氏链具有遍历性其中)(nijp是马氏链的 n 步转移概率马氏链的遍历性表明不论从哪一个状态i出发，当转移的步数n充分大时，转移到状态j的概率都接近于正常数)(j首页首页(9)平稳分布平稳分布有给转移概率P，若存在一个概率分布中的)(jsiijpij0)()(j=0，1，2，s则称 为平稳分布。)(j9.1.2马尔可夫链预测原理1马氏链近期预测原理9.1.2马尔可夫链
7、预测原理1马氏链近期预测原理定理定理1 设Xn为一个齐次马氏链，其状态空间为I，绝对概率为 n步转移概率为 ，则有：12()(),(),()NP np np npn)(nijp(1)()jiiji Ip np n p()()(0)njiiji Ipnpp即表明马氏链的绝对概率由其初始分布和n步转移概率完全确定1)()1(PnPnPnPPnP)0()(定理定理2 C-K方程（Chapman-Kolmogorov方程）定理定理1 设Xn为一个齐次马氏链，其状态空间为I，n步转移概率为 ，则有：)(nijp 注：（1）C-K方程的矩阵形式为：)()()(mkjIknikmnijpppmnmnPP P
8、（2）n步转移矩阵与一步转移矩阵之间的关系 nnPP1（3）定理1与定理2的结合即为马尔可夫链预测模型：nPPnP)0()(1(0)nPP2马氏链稳态概率分布预测原理则此马氏链是遍历的，且中的是方程组设有限马氏链0,nXn的状态空间为 I=0,1,2,s如果存在正整数0n，使对一切Iji,都有0)(0nijp，)(lim)(jpnijn)(jsiijpij0)()(j=0，1，2，s的满足条件0)(j1)(0jsj的唯一解注1定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。定理给出了求平稳分布 的方法。)(j注2 3马尔可夫链预测基本步骤马尔可夫链预测
9、基本步骤（1）划分状态区间，确定状态空间I=1,2，N；（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态；（3）对步骤（2）所得的结果进行统计计算，得马尔可夫链的一步转移概率矩阵,它决定了指标值状态转移过程的概率法则；（4）进行“马氏性”检验；（5）确定初始分布P(0)，利用 ，分别求得n=1,2,3,各期的绝对分布：从而所预测的状态j即是：首页首页1()(0)nP nPP()(1),(2),()nnnP npppN()max(),nnpjp i iI（6）进一步讨论遍历性，确定平稳分布，计算长期稳态时的分布律情况。9.2 案例分析9.2.1市场占有率预测【例9-1】设
10、有甲、乙、丙3家企业生产同一种生活必需品，供应同一地区的2400户居民使用，每户可自由选择此三家企业产品。经市场调查，某年1月份甲、乙、丙三企业拥有的户数分别为760户，580户，1100户，2月份用户可能的流动情况如表9-1所示。试求：（1）2月份市场占有率的分布；（2）5月份市场占有率的分布；（3）当顾客流如此长期稳定下去市场占有率的分布。首页首页 到从甲乙丙甲480120160乙90360130丙120180800解（1）根据市场调查，确定1月份的初始概率分布 A=760 580 1100;P0=A./sum(A)%初始分布%结果为P0=0.3115 0.2377 0.4508（2）根据
11、2月份流动情况求一步转移概率矩阵P）123(0)(,)Pp ppN1=480 120 160;N2=90 360 130;N3=120 180 800;P=N1./sum(N1);N2./sum(N2);N3./sum(N3)%一步（3）2、5月份市场占有率分布 P1=P0*PP4=P0*P4（5）判断遍历性，解方程组，求出平稳分布，即为长期稳态市场占有率syms x1 x2 x3eq1=x1-x1 x2 x3*P(:,1)eq2=x2-x1 x2 x3*P(:,2)eq3=x3-x1 x2 x3*P(:,3)eq4=x1+x2+x3-1x1 x2 x3=solve(eq1,eq2,eq3,e
12、q4)x1 x2 x30.2573 0.2986 0.4441故在市场稳定状态下甲、乙、丙的市场占有率分别为25.73%、29.86%和44.41%。2、销售策略对市场占有率的影响从上述结果可知，甲公司的市场占有率从31.15降至最终的25.73，这是假定以状态转移概率保持不变为前提的。如果该公司的经营决策者看到了这种不利趋势，并制定某种策略（如销售策略）来扭转这种不利趋势，则会使公司在市场上保持较有利的地位。（1）保留策略指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折价优惠等方法。假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙两公司的流失，使
13、保留率从原来的63.16提高到80，同时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：则转移矩阵为：利用上述程序的第（5）步即可计算出在此转移矩阵情况、市场稳定状态下甲、乙、丙的市场占有率分别为39%、24.85和36.15%，显然甲公司通过保留策略市场占有率由25.73%提高到39%，取得了明显的效果。0.80.090.110.15520.62070.22410.10910.16360.7273P （2）争取策略 指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针与对策。如：通过广告等方法。设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两家公司购货的顾客中分别
14、争取20与15，此时程序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：同样利用上述程序的第（5）步即可计算出在此概率矩阵情况、市场稳定状态下甲、乙、丙的市场占有率分别为31.59%、27.53%和40.88%，显然甲公司通过争取策略市场占有率由25.73%提高到31.59%，取得了一定的效果。0.63160.15790.21050.20.57590.22410.150.16360.6864P9.2.2 股票价格走势预测【例9-2】续【例1-12】）招商银行2015年9月1日至12月30日的交易日的收盘价数据如表1-3，试用马尔可夫链预测2015年12月31日，以及2016年1月4日至6日的收盘价区间。
15、先划分区间，确定状态：将价格按从小到大划分为五个区间：低于17元的为状态a，17元(含)至17.5元的为状态b，17.5元(含)至18元的为状态c，18元(含)至18.5元的为状态d，18.5元(含)以上的股价为状态e，进而找出各个状态所包含的个数及所在的位置。（1）输入数据X=%表1-3数据sort(X)%从小到大排序，以便划分区间（2）找出各个状态所包含的个数及所在的位置a=find(X17)b=find(17=X&X17.5)c=find(17.5=X&X18)d=find(18=X&X=18.5)（3）计算一步转移频数矩阵NN11=length(find(X(a+1)=17&X(a+1
16、)=17.5&X(a+1)=18&X(a+1)=18.5)N21=length(find(X(b+1)=17&X(b+1)=17.5&X(b+1)=18&X(b+1)=18.5)N31=length(find(X(c+1)=17&X(c+1)=17.5&X(c+1)=18&X(c+1)=18.5)%X最后一个数据在状态d，无法转移，因此不能取到N41=length(find(X(d(1:end-1)+1)=17&X(d(1:end-1)+1)=17.5&X(d(1:end-1)+1)=18&X(d(1:end-1)+1)=18.5)N51=length(find(X(e+1)=17&X(e+1
17、)=17.5&X(e+1)=18&X(e+1)=18.5)N=N11 N12 N13 N14 N15;N21 N22 N23 N24 N25;N31 N32 N33 N34 N35;.N41 N42 N43 N44 N45;N51 N52 N53 N54 N55（4）计算一步转移概率矩阵PP=N(1,:)./sum(N(1,:);N(2,:)./sum(N(2,:);N(3,:)./sum(N(3,:);.N(4,:)./sum(N(4,:);N(5,:)./sum(N(5,:)（5）以12月30日开始，分别预测其后交易日收盘价的分布情况P0=0 0 0 1 0;%以12月30日最后一个数据所
18、在的状态作为初始分布P1=P0*P%下一个交易日12月31日的分布律P2=P0*P2%第2个交易日2016年1月4日的分布律P3=P0*P3%第3个交易日2016年1月5日的分布律P4=P0*P4%第4个交易日2016年1月6日的分布律9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势加权马氏链法预测步骤:（1）将证券指数序列由小到大排列，划分区间，产生状态空间I（2）确定各时段价格指数所处的状态；（3）马氏性检验；（4）计算各阶自相关系数（5）对各阶自相关系数规范化 211()()/()n knkll klllrxx xxxx1/mkkkkwrr（6）对步骤（5）所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长
19、)的马尔可夫链的转移概率矩阵；（7）分别以前面若干时间段的证券价格指数为初始状态，结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段证券价格指数的状态概率 （k为滞时）（8）将同一状态的各预测概率加权和作为证券价格指数处于该状态的预测概率，即 所对应的i即为该时段股票价格状态的预测()kipmax(,)ip iI【例9-3】（续【例9-2】）招商银行2015年9月1日至12月30日的交易日的收盘价数据如表1-3，试用加权马氏链法预测下一个交易日收盘价区间。（1）先划分区间，确定状态：同【例9-2】划分一致。X=;%表1-3数据a=find(X17);b=find(17=X&X17.5);c=find(1
20、7.5=X&X18);d=find(18=X&X=18.5);（2）计算X各阶自相关系数rk=autocorr(X,8)运行结果如下：rk=1.0000 0.8182 0.6779 0.5087 0.3676 0.2105 0.1605 0.1045 0.1180（3）将各阶自相关系数规范化可以得到各阶滞时的马尔可夫链权重wk=rk(2:6)./sum(rk(2:6)（4）不同滞时的马尔可夫链的转移概率矩阵%将a、b、c、d、e五组数值分别用状态1、2、3、4、5代替X(a)=1;X(b)=2;X(c)=3;X(d)=4;X(e)=5;%求滞后一步频数矩阵for i=1:5 for j=1:5
21、 N1(i,j)=length(findstr(X,i,j);endend%求滞后一步概率矩阵S1=sum(N1,2);for i=1:5 P1(i,:)=N1(i,:)/S1(i);endP1（5）选定最后5个交易日为初始日（12月24日至30日，其中26、27日是周六和周日），其所在的状态结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段股票价格的状态概率（见表9-4中“状态空间概率”一栏）初始初始日日状状态态滞时滞时/天天权权重重状态空间概率状态空间概率1234512-24450.081500.080.440.44012-25440.142300.040.440.40.1212-28330.197
22、000.250.45830.20830.083312-29320.2624000.38460.53850.076912-30410.316800.20.520.20.08（加权和）（加权和）00.1139 0.3861 0.4056 0.0910（6）将同一状态的各预测概率加权和作为股票价格处于该状态的预测概率。Q=P5(X(end-4),:);P4(X(end-3),:);P3(X(end-2),:);.%X(end-2)表示状态 P2(X(end-1),:);P1(X(end),:)%状态空间概率栏wk=wk;%权重栏p1=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,1);p2=sum(wk(
23、5:-1:1).*Q(:,2);p3=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,3);p4=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,4);p5=sum(wk(5:-1:1).*Q(:,5);R=p1 p2 p3 p4 p5%加权和栏S=find(R=max(R)9.2.4 期望利润预测 在企业当中，除需要摸清销路的变化情况外，还要对利润的变化进行预测。如：某商品的销售状态有畅销和滞销两种状态，则通过调查、统计，可得销售状态的转移概率矩阵P和转移利润矩阵R.111212122ppPpp111212122rrRrr其中，表示盈利，表示亏本0ijr 0ijr 则根据已知的转移概率矩阵P和转移利润矩阵R
24、.对未来利润进行预测。已知一步转移概率矩阵P和其对应的一步转移利润矩阵R为 其中，表示盈利，表示亏本0ijr 0ijr 则根据两转移矩阵P和R，对现在所处的状态i 经过n步转移之后的利润进行预测。111212122212NNNNNNppppppPppp111212122212NNNNNNrrrrrrRrrr，期望利润预测步骤：记 表示产品现在所处的状态i()经过n步转移之后的期望利润。()iv n1,2,iN（1）经过一步转移之后的期望利润为1122(1)iiiiiiNiNvr pr pr p1Nijijjr p（3）经过二步转移之后的期望利润为111222(2)(1)(1)(1)iiiiiN
25、iNiNvvrpvrpvrp1(1)Njijijjvr p11(1)NNjijijijjjvpr p1(1)(1)Nijijjvvp（3）经过n步转移之后的期望利润递推公式()iv n1(1)Njijijjv nr p当n0时，规定：(0)0iv1,2,iN上述过程的矩阵表示：1(1)(1)Nijijjvv np(1)(1)(0)VVP V(2)(1)(1)VVP V()(1)(1)V nVP V n21()()(1)nV nIPPPV11(1)nkkPV12()(),(),()TNV nv n v nvn1122(1)iiiiiiNiNvr pr pr p1Nijijjr p 【例9-4】某
26、企业产品销路分为畅销、一般销售和滞销三种状态，经过调查知，三种状态的转移概率为表9-6，其对应的状态转换利润如表9-7，如果基期（n0）不管处于那种状态，预测其后1至3月各月总期望利润。转移概率 到从畅销一般滞销畅销0.50.30.2一般0.160.60.24滞销0.150.30.55 到从畅销一般滞销畅销1263一般642滞销325转换利润 （1）先写出转移概率矩阵P与转移利润矩阵R（2）令基期V(0)=0 0 0，算出V(1)（3）利用 相应地算出各月的期望利润0.50.30.20.160.60.240.150.30.55P1263642325R 21()()(1)nV nIPPPVP=0
27、.5 0.3 0.2;0.16 0.6 0.24;0.15 0.3 0.55;R=12 6 3;6 4 2;3 2-5;V1=sum(P(1,:).*R(1,:);sum(P(2,:).*R(2,:);sum(P(3,:).*R(3,:)%1个月后的利润I=eye(3);V2=(I+P)*V1%2个月之后的利润V3=(I+P+P2)*V1%3个月之后的利润例：最佳维修策略的选择 研究一化工企业对循环泵进行季度维修的过程。该化工企业对泵进行定期检查，每次检查中，把泵按其外壳及叶轮的腐蚀程度定为五种状态的一种。五种状态是：状态1：优秀状态，无任何故障或缺陷；状态2：良好状态，稍有腐蚀；状态3：及格
28、状态，轻度腐蚀；状态4：可用状态，大面积腐蚀；状态5：不可运行状态，腐蚀严重。该公司可采用的维修策略：单状态策略：泵处于状态5时才进行修理，每次修理费用500元；两状态策略：泵处于状态4或5时进行修理，处于状态4时修理费用为250元，状态5同上；三状态策略：泵处于状态3、4或5时进行修理，处于状态3时修理费用为200元，状态4、5同上。假定不管处于何种状态，只要进行维修，泵的状态都将在本周期内恢复为状态1。已知在不进行任何修理时的状态转移概率为：00.60.20.10.100.30.40.20.1000.40.40.20000.50.500001P现在我们要确定哪个策略的费用最低。目标为长期运
29、行单位时间平均报酬。三个策略下的转移概率矩阵分别为：00.60.20.10.100.30.40.20.1(1)000.40.40.20000.50.510000P00.60.20.10.100.30.40.20.1(2)000.40.40.21000010000P00.60.20.10.100.30.40.20.1(3)100001000010000P下面我们来求三种策略下的 ：（1）单状态策略：51(1)ijjjvriv(1)(2)(3)(4)0rrrr(5)500r利用P(1)求解 ，即得唯一的平稳分布(1)P(0.199,0.170,0.180,0.252,0.199)500 0.199
30、99.50（2）两状态策略：(1)(2)(3)0rrr(4)250,(5)500rr利用P(2)求解 ，即得唯一的平稳分布(2)P51(2)ijjjvr(0.266,0.228,0.241,0.168,0.097)250 0.168500 0.09790.50（3）三状态策略：(1)(2)0,(3)200rrr(4)250,(5)500rr利用P(3)求解 ，即得唯一的平稳分布(3)P51(3)ijjjvr(0.35,0.30,0.19,0.095,0.065)200 0.19250 0.095500 0.06594.25因此，两状态策略为最优策略，平均每周期的费用为90.50。且单位时间平均费用与起始状态无关。
