1、24 结点分析法及割集分析法结点分析法及割集分析法 与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独与用独立电流变量来建立电路方程相类似，也可用独立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中，只有一立电压变量来建立电路方程。在全部支路电压中，只有一部分电压是独立电压变量，另一部分电压则可由这些独立部分电压是独立电压变量，另一部分电压则可由这些独立电压根据电压根据KVL方程来确定。若用独立电压变量来建立电路方程来确定。若用独立电压变量来建立电路方程，也可使电路方程数目减少。方程，也可使电路方程数目减少。对于具有对于具有n个结点的连个结点的连通电路来说，它的通电路来说，它的(n-1)个结点对第个结点对
2、第n个结点的电压，就是个结点的电压，就是一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方一组独立电压变量。用这些结点电压作变量建立的电路方程，称为结点方程。程，称为结点方程。这样，只需求解这样，只需求解(n-1)个结点方程，就个结点方程，就可得到全部结点电压，然后根据可得到全部结点电压，然后根据KVL方程可求出各支路电方程可求出各支路电压，根据压，根据VCR方程可求得各支路电流。方程可求得各支路电流。一、结点电压一、结点电压 在具有在具有n个结点的连通电路个结点的连通电路(模型模型)中，可以选其中一中，可以选其中一个结点作为基准，其余个结点作为基准，其余(n-1)个结点相对基准结点的电压，个
3、结点相对基准结点的电压，称为结点电压。称为结点电压。将基准结点作为电位参考点或零电位点，将基准结点作为电位参考点或零电位点，各结点电压就等于各结点电位。各结点电压就等于各结点电位。这些结点电压不能构成一这些结点电压不能构成一个闭合路径，不能组成个闭合路径，不能组成KVL方程，不受方程，不受 KVL约束，是一约束，是一组独立的电压变量。组独立的电压变量。由于任一支路电压是其两端结点电位由于任一支路电压是其两端结点电位之差或结点电压之差，由此可求得全部支路电压。之差或结点电压之差，由此可求得全部支路电压。例如图示电路各支路电压可表示为例如图示电路各支路电压可表示为:3230206330321201
4、05220231301041101 vvuuuvuuvvuuuvuuvvuuuvuu二、结点方程二、结点方程 下面以图示电路为例说明如何建立结点方程下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。2S6436521S5410iiiiiiiiiii 对电路的三个独立结点列出对电路的三个独立结点列出KCL方程：方程：列出用结点电压表示的电阻列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：方程：)()()(326621553144333222111vvGivvGivvGivGivGivGi 代入代入KCL方程中，经过整理后得到：方程中，经过整理后得到：)()(0)()()()(2S3262143332621522S1
5、21531411ivvGvvGvGvvGvvGvGivvGvvGvG节点方程 )(0)()(2S3643261436265215S134251541ivGGGvGvGvGvGGGvGivGvGvGGG2S6436521S5410iiiiiiiiiii 写成一般形式写成一般形式)292(33S33323213122S32322212111S313212111ivGvGvGivGvGvGivGvGvG 其中其中G11、G22、G33称为称为结点自电导结点自电导，它们分别是各结，它们分别是各结点全部电导的总和。点全部电导的总和。此例中此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2+G5+G6,G33=
6、G3+G4+G6。Gij(i j)称为称为结点结点i和和j的互电导的互电导,是结点是结点i和和j间电导总和的间电导总和的负值，此例中负值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4,G23=G32=-G6。iS11、iS22、iS33是流入该结点全部电流源电流的代数和。是流入该结点全部电流源电流的代数和。此例中此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。出结点方程。)2
7、92(33S33323213122S32322212111S313212111ivGvGvGivGvGvGivGvGvG 从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的结点方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写方程，其系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。出结点方程。由独立电流源和线性电阻构成的具有由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的连通个结点的连通电路，其结点方程的一般形式为：电路，其结点方程的一般形式为：)302(.)1(1(S1)1)(1(22)1(11)1(22S1)1(222212111S1)1(121211
8、1 nnnnnnnnnnnivGvGvGivGvGvGivGvGvG三、结点分析法计算举例三、结点分析法计算举例 结点分析法的计算步骤如下：结点分析法的计算步骤如下：1指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号指定连通电路中任一结点为参考结点，用接地符号表示。标出各结点电压，其参考方向总是独立结点为表示。标出各结点电压，其参考方向总是独立结点为 “+”，参考结点为，参考结点为“”。2用观察法列出用观察法列出(n-1)个结点方程。个结点方程。3求解结点方程，得到各结点电压。求解结点方程，得到各结点电压。4选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电
9、流和支路电压。电流和支路电压。例例217 用结点分析法求图用结点分析法求图2-28电路中各电阻支路电流。电路中各电阻支路电流。解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压解：用接地符号标出参考结点，标出两个结点电压u1和和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：A10)S2S1()S1(A5)S1()S1S1(2121uuuu图图228 整理得到：整理得到：V103V522121uuuu 解得各结点电压为：解得各结点电压为：V3 V121uu 选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得A4)(S1(
10、A6)S2(A1)S1(2132211uuiuiui图图228 例例218 用结点分析法求图用结点分析法求图2-29电路各支路电压。电路各支路电压。图图229解解:参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结参考结点和结点电压如图所示。用观察法列出三个结 点方程：点方程：A6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321uuuuuuuuu 整理得到整理得到:V19106V66112V1225321321321uuuuuuuuu解得结点电压解得结点电压 V3V2V1321uuu 求得另外三个支路电压
11、为：求得另外三个支路电压为：V1 V3 V4236215134uuuuuuuuuA6A25)S3S6S1()S6()S1(A12A18)S6()S6S3S2()S2(A18A6)S1()S2()S1S2S2(321321321uuuuuuuuu图图229四、含独立电压源电路的结点方程四、含独立电压源电路的结点方程 当电路中存在独立电压源时，不能用式当电路中存在独立电压源时，不能用式(230)建立含建立含有电压源结点的方程，其原因是没有考虑电压源的电流。有电压源结点的方程，其原因是没有考虑电压源的电流。若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变换为电流源与若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变换为电
12、流源与电阻并联单口电阻并联单口后，再用式后，再用式(230)建立结点方程。建立结点方程。若没有电若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点阻与电压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点方程。此时，由于增加了电流变量，需补充电压源电压与方程。此时，由于增加了电流变量，需补充电压源电压与结点电压关系的方程。结点电压关系的方程。综上所述，综上所述，由独立电压源，独立电流源和电阻构成的由独立电压源，独立电流源和电阻构成的电路，其结点方程的一般形式应改为以下形式电路，其结点方程的一般形式应改为以下形式 其中其中iuskk是与第是与第k个结点相连的全部电压源电流的代数个结点相连的全部电
13、压源电流的代数和，其电流参考方向流出该结点的取正号，相反的取负号。和，其电流参考方向流出该结点的取正号，相反的取负号。)1)(1(S11)(S1)1)(1(22)1(11)1(22SS221)1(222212111S11S1)1(1212111.nnnnunnnnnunnunnivGvGvGivGvGvGivGvGvG)iii 由于变量的增加，需要补充这些电压源与相关结点电由于变量的增加，需要补充这些电压源与相关结点电压关系的方程，其一般形式如下压关系的方程，其一般形式如下:jikvvuS 其中，其中，vi 是连接到电压源参考极性是连接到电压源参考极性“”端的结点端的结点电压，电压，vj是连接
14、到电压源参考极性是连接到电压源参考极性“”端的结点电压。端的结点电压。)1)(1(S11)(S1)1)(1(22)1(11)1(22SS221)1(222212111S11S1)1(1212111.nnnnunnnnnunnunnivGvGvGivGvGvGivGvGvG)iii例例219 用结点分析法求图用结点分析法求图2-30(a)电路的电压电路的电压u和支路电和支路电 流流i1，i2。图图230解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联，如图如图(b)所示。对结点电压所示。对结点电压u来说来说，图，图(b)与图与图(a)等效。等
15、效。只需列出一个结点方程。只需列出一个结点方程。A5A5)S5.0S1S1(uA5A5)S5.0S1S1(u 解得解得 V4S5.2A10u 按照图按照图(a)电路可求得电流电路可求得电流i1和和i2 A32V10V4 A11V4V521ii图图230例例220 用结点分析法求图用结点分析法求图2-31示电路的结点电压。示电路的结点电压。解：选定解：选定6V电压源电流电压源电流i的参考方向。计入电流变量的参考方向。计入电流变量I 列出列出 两个结点方程：两个结点方程：A2)S5.0(A5)S1(21iuiu图图231 解得解得 补充方程补充方程 V621uu1AV,2,V421iuu 这种增加
16、电压源电流变量建立的一组电路方程，称为这种增加电压源电流变量建立的一组电路方程，称为改进的结点方程改进的结点方程(modified node equation)，它扩大了结点，它扩大了结点方程适用的范围，为很多计算机电路分析程序采用。方程适用的范围，为很多计算机电路分析程序采用。图图231A2)S5.0(A5)S1(21iuiu例例221 用结点分析法求图用结点分析法求图2-32电路的结点电压。电路的结点电压。解：由于解：由于14V电压源连接到结点电压源连接到结点和参考结点之间，结点和参考结点之间，结点 的的 结点电压结点电压u1=14V成为已知量，可以不列出结点成为已知量，可以不列出结点的结
17、点方的结点方 程。考虑到程。考虑到8V电压源电流电压源电流i 列出的两个结点方程为：列出的两个结点方程为：图图2320)S5.0S1()S5.0(A3)S5.0S1()S1(3121iuuiuu 补充方程补充方程 V832uu 代入代入u1=14V，整理得到：，整理得到：V8V245.15.13232uuuu解得：解得：1A V4 V1232iuu0)S5.0S1()S5.0(A3)S5.0S1()S1(3121iuuiuu图图232 五、割集分析法五、割集分析法 与结点分析法用与结点分析法用n-1个结点电压作为变量来建立电路方个结点电压作为变量来建立电路方程类似，也可以用程类似，也可以用n-
18、1个独立支路电压作为变量来建立电路个独立支路电压作为变量来建立电路方程。由于选择支路电压有较大的灵活性，当电路存在方程。由于选择支路电压有较大的灵活性，当电路存在m个独立电压源时，其电压是已知量，若能选择这些支路电个独立电压源时，其电压是已知量，若能选择这些支路电压作为变量，就可以少列压作为变量，就可以少列m个电路方程。个电路方程。现在用图现在用图232电路为例加以说明。为了求得电压电路为例加以说明。为了求得电压u2，我们可以选择支路电压我们可以选择支路电压u2和两个电压源电压作为变量，列和两个电压源电压作为变量，列出与图示封闭面相交的几条支路电流的出与图示封闭面相交的几条支路电流的KCL方程方程A33254iiii图图232)V8(111)V14(111)V8V14(212233255244uuiuuiuuiA3)V8(1121)V14(11)V8V14(212222uuuu 求解方程得到求解方程得到 u2=12V 图图232
