1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七单元 立体几何 第 40 讲 空间几何体的三视图和直观图表面积与体积 课前双击巩固 1.多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 结构 特征 有两个面互相 ,其余各个面都是 ; 每相邻两个四边形的公共边都互相 有一个面是 ,其余各面是有一个公共顶点的 的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 , 和 之间的部分 侧棱 相交于 ,但不一定相等 延长线交于 侧面 形状 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等 , 于底面 相交于 延长线交于 轴截面 全等的 全等的 全等的 =【 ;精品教育资源文库 】 = 侧面展
2、开图 3.三视图与直观图 三视图 画法规则 :长对正、高平齐、宽相等 直观图 斜二测画法 : (1)原图形中 x轴、 y轴、 z轴两两垂直 ,直观图中 x轴、 y轴的夹角为 ,z轴与 x轴和 y轴所在平面 . (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍 ,平行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度 ,平行于 y轴的线段在直观图中长度为 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面积 公式 S 圆柱侧 = S 圆锥侧 = S 圆台侧 = 5.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S 表面积 =S 侧 +2S 底 V= =
3、【 ;精品教育资源文库 】 = (棱柱和圆柱 ) 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 =S 侧 +S 底 V= 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 =S 侧 +S 上 +S 下 V= (S 上 +S 下 + )h 球 S= V= 常用结论 1.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图 ,其面积与原图形的面积的关系 : S 直观图 = S 原图形 ,S 原图形 =2 S 直观图 . 2.多面体的内切球与外接球常用的结论 . (1)设正方体的棱长为 a,则它的内切球半径 r= ,外接球半径 R= a. (2)设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,则它的外接球半径 R= . (3)设正四面体的棱长为
4、a, 则它的高为 a,内切球半径 r= a,外接球半径 R= a. 3.正方体的截面情况 : 三角形、四边形 (有菱形、矩形、梯形等 )、五边形、六边形 . 题组一 常识题 1.教材改编 一个几何体由 5个面围成 ,其中两个面是互相平行且全等的三角形 ,其他面都是全等的矩形 ,则该几何体是 ;一个等腰直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周形成的封闭曲面所围成的几何体是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.教材改编 如图 7-40-1所示 ,图 是图 表示的几何体的三视图 ,若图 是正视图 ,则图 是 ,图 是 . 图 7-40-1 3.教材改编 已知正三角形 ABC的边长为 a,那么 AB
5、C的平面直观图 ABC的面积为 . 4.教材改编 如图 7-40-2所示是一个几何体的三视图 ,正视图是长为 2,宽为 1的矩形 ,俯视图是正方形 ,侧视图是半圆 ,则这个几何体的表面积是 ,体积是 . 图 7-40-2 题组二 常错题 索引 :不清楚三视图的三个视图之间的长度关系致错 ;几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准确致误 ;对几何体与其外接球的结构不清楚致误 . 5.给出下列说法 : 有两个平面互相平行 ,其余各面都 是平行四边形的多面体是棱柱 ; 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 ; 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 ; 棱台的上、下底面可以不相
6、似 ,但侧棱长一定相等 . 其中正确说法的序号是 . 6.一个四面体的三视图如图 7-40-3所示 ,则该四面体的表面积是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7-40-3 7.若某几何体的三视图如图 7-40-4所示 ,则此几何体的体积是 . 图 7-40-4 8.某几何体的三视图如图 7-40-5所示 ,则该几何体的外接球的表面积是 . 图 7-40-5 课堂考点探究 探究点一 空间几何体的三视图和直观图 1 (1)2017南昌二模 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O - xyz中的坐标分别是(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1), ,1,0 ,绘制该四面体的三视图时 ,
7、按照如图 7-40-6所示的方向画正视图 ,则得到的侧视图可以为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7-40-6 图 7-40-7 (2)2017北京卷 某四棱锥的三视图如图 7-40-8所示 ,则该四棱锥的最长棱的长度为( ) 图 7-40-8 A.3 B.2 C.2 D.2 总结反思 分析空间几何体的三视图可从以下几方面着手 : (1)由三视图中的线是否含有曲线 ,可确定该几何体是多面体还是旋转体 . (2)根据俯视图确定几何体的底面 ,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧面与侧棱的特征 ,调整虚、实线对应的棱、面的位置 ,可确定几何体的形状 . (3)由三视图还原实物图 ,要遵
8、循以下三步 : 看视图 ,明关系 ; 分部分 ,想整体 ; 综合起来 ,定整体 . 式题 (1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥 ,得到的几何体的正视图与俯视图如图 7-40-9所示 ,则该几何体的侧视图为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7-40-9 图 7-40-10 (2)某几何体的三视图如图 7-40-11所示 ,则该几何体中最长棱的长度为 ( ) 图 7-40-11 A.3 B.2 C. D.2 探究点二 空间几何体的表面积与体积 2 (1)2017渭南质检 某几何体的三视图如图 7-40-12所示 ,则该几何体的体积为( ) A.64 B.64-4 C.6
9、4-8 D.64- =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7-40-12 (2)2017太原模拟 某几何体的三视图如图 7-40-13所示 ,则该几何体的表面积为( ) A. B.8+ C.(4+ ) D.(5+ ) 图 7-40-13 总结反思 (1)根据三视图求表面积、体积时 ,解题的关键是对所给三视图进行分析 ,得到几何体的直观图 . (2)多面体的表面积是 各个面的面积之和 ,求组合体的表面积时要注意 重合部分的面积 ,不要漏算或多算 ,解决旋转体的表面积问题要熟练应用其 侧面展开图的面积公式 . (3)求规则几何体的体积 ,只需确定其底面积与相应的 高 ,而对于一些不规则几何体的体积
10、往往需采用分割法或补形法 ,转化求解 . 式题 (1)2017郑州质检 如图 7-40-14是某个几何体的三视图 ,则这个几何体的体积是( ) A.2+ B.2+ C.4+ D.4+ =【 ;精品教育资源文库 】 = 图 7-40-14 (2)2017长沙一中二模 如图 7-40-15,某几何体的三视图为三个边长均为 1的正方形及两条对角线 ,则该几何体的表面积为 ( ) A.2 B.2 C.3 D.4 图 7-40-15 探究点三 空间几何体与球的切接问题 考向 1 几何体的 外接球 3 (1)2017深圳二调 已知三棱锥 S - ABC中 , ABC是直角三角形 ,其斜边 AB=8,SC平
11、面 ABC,SC=6,则该三棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.64 B.68 C.72 D.100 (2)2017全国卷 已知三棱锥 S - ABC的所有顶点都在球 O的球面上 ,SC是球 O的直径 ,若平面 SCA平面 SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC的体积为 9,则球 O的表面积为 . 总结反思 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题 ,解决这类问题的关 键是抓住外接球的特点 ,即 球心到多面体的顶点的距离 等于球的半径 . 考向 2 几何体的内切球 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 (1)在三棱锥 P-ABC 中 ,侧棱 PA=PB=2,PC= ,则当三棱锥
12、P-ABC的三个侧面的面积和最大时 ,三棱锥 P-ABC的内切球的表面积是 ( ) A.(32-8 ) B.(32-16 ) C.(40-8 ) D.(40-16 ) (2)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则 = . 总结反思 求解多面体的内切球问题 ,一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点 ,多面体的各侧面为 底面的棱锥 ,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径 . 强化演练 1.【考向 1】正四棱锥 P - ABCD的侧棱和底面边长都等于 2 ,则它的外接球的表面积是( ) A.16 B.12 C.8 D.4 2.【考向 2】在直三棱柱 ABC - A1B1C1中 ,BC AC,AC=12,BC=5,若一个球和该三棱柱的各个面都相切 ,则该三棱柱的表面积为 ( ) A.60 B.180 C.240 D.360 3.【考向 2】如图 7-40-16,已知球 O是棱长为 1的正方体 ABCD - A1B1C1D1的 内切球 ,则平面ACD1截球 O的截面面积为 ( ) A. B. C. D.
