1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (十二 ) 函数与方程 基础巩固 一、选择题 1若函数 f(x)在区间 2,2上的图象是连续不断的曲线，且 f(x)在 ( 2,2)内有一个零点，则 f( 2) f(2)的值 ( ) A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不能确定 解析 若函数 f(x)在 ( 2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则 f(2) f(2)0，故选 D. 答案 D 2若函数 f(x) ax2 x 1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ( ) A 0 B 14 C 0 或 14 D 2 解析 当 a 0 时，函数 f(x) x 1 为一次函数，则 1 是函数
2、的零点，即函数仅有一个零点； 当 a0 时，函数 f(x) ax2 x 1 为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2 x 1 0 有两个相等实根 1 4a 0，解得 a 14. 综上，当 a 0 或 a 14时，函数仅有一个零点 答案 C 3 (2017 湖北襄阳四校联考 )函数 f(x) 3x x3 2 在区间 (0,1)内的零点个数是( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 由题意知 f(x)单调递增，且 f(0) 1 0 2 10，即 f(0) f(1)e12， f(3)0，故 x0 (2,3)，选 C. 答案 C 5 (2017 辽宁大连二 模 )已知偶函数 y f(x)
3、(x R)满足 f(x) x2 3x(x0) ，若函数 g(x)? log2x， x0， 1x， x0 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.? ?12， B ? ?14， 12 C ( ， 0) ? ?14， 12 D ( ， 0) ? ?14， 解析 由题意知，当 x0 时，函数 f(x)有 1 个零点，即 2x 2a 0 在 x0 上有根，所以 00 时函数 f(x)有 2 个零点，只需? 16a2 4a0，4a0，a0，解得a14，综上可得实数 a 的取值范围是 140， f(3) 33 9 8 280，故下一个有根区间为 (1,2) 答案 (1,2) 8 (2017
4、 四川绵阳模拟 )函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a的取值范围是 _ 解析 由题意，知函数 f(x)在 (1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间 (1,2)内，所以? f ，f ， 即 ? a0， 解得 00， 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_ 解析 因为函数 f(x)有 3 个零点，所以当 x0 时， 方程 ax 3 0 有解，故 a0，所以当 x0 时，需满足? 22a0，即 00) (1)若 y g(x) m 有零点，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x) f(x) 0 有两个相异实根 =【 ;精品教育资源文库
5、 】 = 图 (1) 解 (1)作出 g(x) x e2x(x0)的大致图象如图 (1) 可知若使 y g(x) m 有零点，则只需 m2e. (2)若 g(x) f(x) 0 有两个相异实根，即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点， 图 (2) 作出 g(x) x e2x(x0)的大致图象如图 (2) f(x) x2 2ex m 1 (x e)2 m 1 e2. 其图象的对称轴为 x e，开口向下， 最大值为 m 1 e2. 故当 m 1 e22e，即 m e2 2e 1 时， g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x) f(x) 0有两个相异实根 m 的取值范围是 ( e2 2e
6、 1， ) 能力提升 11 (2017 云南昆明一模 )设函数 f(x) ex x 2， g(x) lnx x2 3.若函数 f(x)，g(x)的零点分别为 a， b，则有 ( ) A g(a)0， g(1) 20，所 以 a， b 存在且唯一，且 a (0,1)， b (1,2)，从而 f(1)0， g(a)12；当 x1 时， log2x0 ，依题意函数 y f(x)的图象和直线 y k 的交点有两个， k12. 答案 ? ?12， 14 (2017 云南省高三统一检测 )已知 y f(x)是 R 上的偶函数，对于任意的 x R，均有 f(x) f(2 x)，当 x 0,1时， f(x)
7、(x 1)2，则 函数 g(x) f(x) log2017|x 1|的所有零点之和为 _ 解析 因为函数 f(x)是偶函数， f(x) f(2 x)，所以 f(x) f( x) f(x 2)，所以函数 f(x)的周期为 2，又当 x 0,1时， f(x) (x 1)2，将偶函数 y log2017|x|的图象向右平移一个单位长度得到函数 y log2017|x 1|的图象，由此可在同一平面直角坐标系下作函数 y f(x)与 y log2017|x 1|的图象 (图略 )，函数 g(x)的零点，即为函数 y f(x)与 y log2017|x 1|图象的交点的横坐标，当 x2018 时，两函数图
8、象无交点，又两函数图象在1,2018上有 2016 个交点，由对称性知两函数图象在 2016,1上也有 2016 个交点，且它们关于直线 x 1 对称，所以函数 g(x)的所有零点之和为 4032. 答案 4032 15 (2018 烟台模拟 )已知二次函数 f(x) x2 (2a 1)x 1 2a， (1)判断命题： “ 对于任意的 a R，方程 f(x) 1 必有实数根 ” 的真假，并写出判断过程； (2)若 y f(x)在区间 ( 1,0)及 ? ?0， 12 内各有一个零点，求实数 a 的取值范围 解 (1)“ 对于任意的 a R，方程 f(x) 1 必有实数根 ” 是真命题 依题意，
9、 f(x) 1 有实根，即 x2 (2a 1)x 2a 0 有实根，因为 (2a 1)2 8a(2a 1)20 对于任意的 a R 恒成立，即 x2 (2a 1)x 2a 0 必有实根，从而 f(x) 1 必=【 ;精品教育资源文库 】 = 有实根 (2)依题意，要使 y f(x)在区间 ( 1,0)及 ? ?0， 12 内各有一个零点， 只需? f ，f ，f? ?12 0，即? 3 4a0，1 2a0，解得 120. f(x)min f(1) 4a 4， a 1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x) x2 2x 3. (2) g(x) x2 2x 3x 4lnx x3x 4lnx 2(x
10、0)， g( x) 1 3x2 4x x xx2 . 令 g( x) 0，得 x1 1， x2 3. 当 x 变化时， g( x)， g(x)的取值变化情况如下： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3， ) g( x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 当 0x3 时， g(x) g(1) 40. 又 因为 g(x)在 (3， ) 上单调递增，因而 g(x)在 (3， ) 上只有 1 个零点 故 g(x)在 (0， ) 上仅有 1 个零点 延伸拓展 (2017 郑州市高三一测 )对于函数 f(x)与 g(x)，若存在 x R|f(x) 0， x R|g(x) 0，使得 | |1 ，则称函数
11、 f(x)与 g(x)互为 “ 零点密切函数 ” ，现已知函=【 ;精品教育资源文库 】 = 数 f(x) ex 2 x 3 与 g(x) x2 ax x 4 互为 “ 零点密切函数 ” ，则实数 a 的取值范围是 _ 解析 易知函数 f(x)为增函数，且 f(2) e2 2 2 3 0，所以函数 f(x) ex 2 x 3 只有一个零点 x 2，则取 2，由 |2 |1 ，知 1 3. 由 f(x)与 g(x)互为 “ 零点密切函数 ” 知函数 g(x) x2 ax x 4 在区间 1,3内有零点，即方程 x2 ax x 4 0在 1,3内有解，所以 a x 4x 1，而函数 a x 4x 1 在 1,2上单调递减，在 2,3上单调递增，所以当 x 2 时， a 取最小值 3，又当 x 1 时， a 4，当 x 3 时， a 103 ，所以 amax 4，所以实 数 a 的取值范围是 3,4 答案 3,4
