1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (四十二 ) 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础巩固 一、选择题 1和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( ) A异面 B相交 C平行 D异面或相交 解析 当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，选 D. 答案 D 2.如图， l， A， B ， C ，且 C?l，直线 AB l M，过 A， B， C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过 ( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 解析 AB? ， M AB， M . 又 C ， M、 C ，
2、 与 的交线必通过点 C 和点 M.选 D. 答案 D 3已知正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 BD1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论错误的是 ( ) A A1、 M、 O 三点共线 B M、 O、 A1、 A 四点共面 C A、 O、 C、 M 四点共面 D B、 B1、 O、 M 四点共面 解析 因为 O 是 BD1的中点由正方体的性质知， O 也是 A1C 的中点，所以点 O 在直线 A1C 上，又直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M， 则 A1、 M、 O 三点共线，又直线与直线外一点确定一个平面，所以 B、 C 正确 =【 ;精品教育资源
3、文库 】 = 答案 D 4以下四个命题中，正确命题的个数是 ( ) 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E共面，则 A， B， C， D， E 共面； 若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面； 依次首尾相接的四条线段必共面 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 对于 ，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故 正确；对于 ，若 A，B， C 共线时， A， B， C， D， E 不一定共面 ，故 不正确； 对于 ， b， c 也可异面，故 不正确； 是错误的选 B. 答案 B 5在正四棱柱 ABCD A1B1
4、C1D1中， AA1 2AB，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A.15 B.25 C.35 D.45 解析 如图，连接 BC1，易证 BC1 AD1，则 A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角或=【 ;精品教育资源文库 】 = 其补角连接 A1C1，设 AB 1，则 AA1 2， A1C1 2， A1B BC1 5，故 cos A1BC1 5 5 22 5 5 45. 答案 D 6两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 ( ) A两条相交直线 B两条平行直线 C两个点 D一条直线和直线外一点 解析 如图，在正方体 ABCD EFGH 中， M， N 分别为
5、 BF， DH 的中点，连接 MN， DE，CF， EG.当异面直线为 EG， MN 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影为两条相交直线；当异面直线为 DE， GF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD， BC，是两条平行直线；当异面直线为 DE， BF 所在直线时，它们在底面 ABCD 内的射影分别为 AD 和点 B，是一条直线和一个点，故选 C. 答案 C 二、填空题 7 (2017 陕西汉中调研 )若直线 a b，且直线 a 平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是 _ 答案 b 与 相交或 b? 或 b 8 (2018 江西上饶月考 )如图所示，在正方体 ABC
6、D A1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1，=【 ;精品教育资源文库 】 = C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 MN 与 AC 所成的角为 60. 其中正确的结论为 _(把你认为正确的结论序号都填上 ) 解析 由题图可知 AM与 CC1是异面直线， AM与 BN是异面直线， BN与 MB1为异面直线因为 D1C MN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，且角为 60. 答案 9 (2017 广东华山模拟 )如图所示，在正三棱柱 ABC A
7、1B1C1中， D 是 AC 的中点， AA1AB 2 1，则异面直线 AB1与 BD 所成的角为 _ 解析 取 A1C1的中点 E，连接 B1E， ED， AE，在 Rt AB1E 中， AB1E 即为所求 设 AB 1，则 A1A 2， AB1 3， B1E 32 ， AE 32，故 AB1E 60. 答案 60 三、解答题 10如图所示，正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是 A1B1、 B1C1的中点问： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解 (1)不是异面直线理由如下
8、： 连接 MN、 A1C1、 AC. M、 N 分别是 A1B1、 B1C1的中点， MN A1C1. A1A 綊 C1C， A1ACC1为平行四边形， A1C1 AC， MN AC， A、 M、 N、 C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线理由如下： 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B?平面 ， CC1?平面 . D1、 B、 C、 C1 ，与 ABCD A1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立，即 D1B 与 CC1是异面直线 能力提升 11如图，平面 与平面 交于直线 l， A， C 是平面 内不同的两点， B， D 是平面 内
9、不同的两点，且 A， B， C， D 不在直线 l 上， M， N 分别是线段 AB， CD 的中点，下列判断正确的是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A若 AB 与 CD 相交，且直线 AC 平行于 l 时，则直线 BD 与 l 可能平行也有可能相交 B若 AB， CD 是异面直线时，则直线 MN 可能与 l 平行 C若存在异于 AB， CD 的直线同时与直线 AC， MN， BD 都相交，则 AB， CD 不可能是异面直线 D M， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交 解析 对于 A，直线 BD 与 l 只能平行；对于 B，直线 MN 与 l 异面；对于 C，
10、 AB 与 CD可能为异面直线当直线 AB 与 CD 的中点 M， N 重合时，必有直线 AC l，故不可能相交，综上所述，故选 D. 答案 D 12 (2016 全国卷 )平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为 ( ) A. 32 B. 22 C. 33 D.13 解析 解法一： 平面 CB1D1，平面 ABCD 平面 A1B1C1D1， 平面 ABCD m，平面 CB1D1 平面 A1B1C1D1 B1D1， m B1D1. 平面 CB1D1，平面 ABB1A1 平面 DCC1
11、D1， 平面 ABB1A1 n，平面 CB1D1 平面 DCC1D1 CD1， n CD1. B1D1， CD1所成的角等于 m， n 所成的角， 即 B1D1C 等于 m， n 所成的角 B1D1C 为正三角形， B1D1C 60 ， m， n 所成的角的正弦值为 32 . 解法二：由题意画出图形如图，将正 方体 ABCD A1B1C1D1平移， 补形为两个全等的正方体如图，易证平面 AEF 平面 CB1D1， 所以平面 AEF 即为平面 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = m 即为 AE， n 即为 AF，所以 AE 与 AF 所成的角即为 m 与 n 所成的角 因为 AEF 是正三角形
12、，所以 EAF 60 ， 故 m， n 所成角的正弦值为 32 . 答案 A 13如图所示，在四面体 ABCD 中， E， F 分别为 AB， CD 的中点，过 EF 任作一个平面 分别与直线 BC， AD 相交于点 G， H，则下列结论正确的是 _ 对于任意的平面 ，都 有直线 GF， EH， BD 相交于同一点； 存在一个平面 0，使得 GF EH BD； 存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，点 H 在线段 AD 的延长线上 解析 当 H， G 分别为 AD， BC 的中点时，直线 GF， EH， BD 平行，所以 错， 正确；若存在一个平面 0，使得点 G 在线段 BC 上，
13、点 H 在线段 AD 的延长线上，则平面 0与 CD的交点不可能是 CD 的中点，故 错 答案 14 (2017 安徽安庆调研 )如图所示，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 AC BC 2， ACB 90 ， F， G 分 别是线段 AE， BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 取 DE 的中点 H，连接 HF， GH.由题设， HF 綊 12AD. GFH 为异面直线 AD 与 GF 所成的角 (或其补角 )在 GHF 中，可求 HF 2， GF GH 6， cos GFH 22 6 2 6 22
14、2 6 36 . 答案 36 15 (2017 河南许昌模拟 )如图所示，在三棱锥 P ABC 中， PA 底面 ABC， D 是 PC 的中点已知 BAC 2 ， AB 2， AC 2 3， PA 2.求： (1)三棱锥 P ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值 解 (1)S ABC 1222 3 2 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 三棱锥 P ABC 的体积为 V 13S ABC PA 132 32 43 3. (2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD所成的角 (或其补角 ) 在 AD
15、E 中， DE 2， AE 2， AD 2， cos ADE 22 22 2222 34. 故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 34. 16如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA 底面 ABCD， OA 2， M 为 OA 的中点 (1)求四棱锥 O ABCD 的体积； (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小 解 (1)由已知可求得，正方形 ABCD 的面积 S 4， 所以，四棱锥 O ABCD 的体积 V 1342 83. (2)连接 AC，设线段 AC 的中点为 E，连接 ME， DE， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角 (或其补角 )， 由已知，可得 DE 2， EM 3， MD 5， ( 2)2
