1、2021-2022学年四川省成都市树德中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）向量，满足（1，5），（5，3），则为（）A（3，4）B（3，4）C（3，4）D（3，4）2（5分）设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）Aab，a，则bBa，a，则Ca，b，则abDa，b，a，b，则3（5分）在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB（）A4BCD24（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2+S4，a12，则a5（）A12B10C10D125（5分）已知ABC中，
2、A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为（）ABC6D6（5分）某四棱锥的三视图，如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A1B2C3D47（5分）已知数列an满足2，则其前100项和为（）A250B200C150D1008（5分）在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AA1的中点，则过B、C1、E三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为（）ABCD9（5分）设，Sna1+a2+an，在S1，S2，S20中，正数的个数是（）A15B16C18D2010（5分）已知动直线l0：ax+by+c20（a0，c0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直
3、线l0的最大距离为3，则+的最小值为（）ABC1D911（5分）已知三棱锥SABC中，ABBC，ABBC2，SASC2，二面角BACS的大小为，则三棱锥SABC的外接球的表面积为（）ABCD12（5分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，且2Sa2（bc）2，则的取值范围为（）ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若直线l1：x+3y+m0（m0）与直线l2：2x+6y30的距离为，则m 14（5分）设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7+a8+a9 15（5分）已知f（x）sinxcosx，若函数f（x）图
4、象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（，2），则的取值范围是 （结果用区间表示）16（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为BD1，BB1上的动点，则C1PQ周长的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a15，nSn+1（n+1）Snn2+n（1）求证：数列为等差数列；（2）令bn2nan，求数列bn的前n项和Tn19（12分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，
5、A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC（1）求B和b的值；（2）求ABC面积的最大值21（12分）已知正三角形ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将三角形ADC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC平面BCD，如图所示（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）若三棱锥EDFC的体积为，求实数a的值
6、；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得BPDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由22（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，4Snanan+1+1，a11（）求an和Sn；（）若，数列bn的前n项和为Tn.记An，Bn，求证：An+Bn参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1A； 2B； 3A； 4B； 5A； 6C； 7D； 8B； 9D； 10B； 11D； 12C；二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13； 14； 15； 16；三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过
7、程或演算步骤）17（10分）已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【解答】解：（1）由，解得，cos2；（2）由（1）得，sin2，则tan2，（0，），+（0，），sin（+）则tan（+）tan（）tan2（+）18（12分）已知数列an的前n项和为Sn，a15，nSn+1（n+1）Snn2+n（1）求证：数列为等差数列；（2）令bn2nan，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）证明：由，得，又，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列（）由（）可知，所以：，当n2时，anSnSn1，n2+4n（n1）24（n1），2n+3又a1也符合上式，所以a
8、n2n+3所以所以+（2n+3）2n，则：+（2n+3）2n+1，得：19（12分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【解答】（I）证明：A1A平面ABC，B1B平面ABC，AA1BB1，AA14，BB12，AB2，A1B12，又AB12，AA12AB12+A1B12，AB1A1B1，同理可得：AB1B1C1，又A1B1B1C1B1，AB1平面A1B1C1（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D
9、，ABBC，OBOC，ABBC2，BAC120，OB1，OAOC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，0），B（1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，1），（1，0），（0，0，2），（0，2，1），设平面ABB1的法向量为（x，y，z），则，令y1可得（，1，0），cos设直线AC1与平面ABB1所成的角为，则sin|cos|直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为20（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的外接圆半径R，且tanB+tanC（1）求B和b的值；（2）求ABC面积的最大值【解答】解：（1）t
10、anB+tanC，+，sinBcosC+cosBsinCsinAcosB，即sin（B+C）sinAcosB，A+B+C，sinAsinAcosBsinA0，cosB，B又ABC的外接圆半径为R，由正弦定理2R，可得：b22（2）由余弦定理的ba2+c22accosB，4a2+c2ac，由基本不等式，得4a2+c2ac2acac，ac2（2+），SABCacsinBac2（2+）1+，故ABC面积的最大值1+21（12分）已知正三角形ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将三角形ADC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC平面BCD，如图所示（1）试判断翻折后直
11、线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）若三棱锥EDFC的体积为，求实数a的值；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得BPDF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：已知正三角形ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将三角形ADC沿CD翻折至ADC的位置，使平面ADC平面BCD，（1）AB平面DEF理由如下：在ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，EFAB，又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF；（2）由题意，得ADCD，平面ADC平面BCD，AD平面BCD，取CD的中点M，连接EM，则EMAD，EM平面BCD，且，易得，三棱锥E
12、DFC的体积为，解得a2；（3）在线段AC上存在一点P，使得BPDF，理由如下：易知三角形BDF为正三角形，过B作BKDF交DC于点K，连接KF，过K作KPDA交AC于点P，连接BP，则点P即所求，AD平面BCD，KPAD，PK平面BCD，PKDF，又BKDF，PKBKK，DF平面PKB，DFPB，又DBKKBCBCK30，故，从而22（12分）已知正项数列an的前n项和为Sn，4Snanan+1+1，a11（）求an和Sn；（）若，数列bn的前n项和为Tn.记An，Bn，求证：An+Bn【解答】（）解：4Snanan+1+1，a11，4S1a1a2+1，得a23，当n2时，有4Sn4Sn1anan+1an1an，4anan（an+1an1），an0，an+1an14，数列an的奇数项是以1为首项，以4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，以4为公差的等差数列，a2n11+4（n1）2（2n1）1，a2n3+4（n1）22n1则an2n1，；（）22n1，n1时，B11，A1+B1；当n2时，+，1+2，An+Bn综上，An+Bn
