1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量在前面的课程中，我们讨论了随机变量的分布，随机变量的分布能够完整地描述随的分布，随机变量的分布能够完整地描述随机变量的行为。机变量的行为。现在我们开始学习随机变量的数字特征现在我们开始学习随机变量的数字特征讨论随机变量的数字特征的原因如下：讨论随机变量的数字特征的原因如下：在实际问题中，随机变量的概率分布一般是在实际问题中，随机变量的概率分布一般是较难确定的。而它的一些数字特征较易确定，较难确定的。而它的一些数字特征较易确定，人们只需要知道它的某些数字特征人们只需要知道它的某些数字特征.在在实际应用中，人们有
2、时更关心概率分布的实际应用中，人们有时更关心概率分布的数字特征数字特征.此外，对于一些常见分布，此外，对于一些常见分布，如二项分如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等布、泊松分布、指数分布、正态分布等，其中的参数恰好是分布的其中的参数恰好是分布的某些某些数字特征数字特征.只要能够确定分布的数字特征，也就能够只要能够确定分布的数字特征，也就能够完全确定分布完全确定分布.在这一章中，我们主要研究以下数字特征在这一章中，我们主要研究以下数字特征:数学期望数学期望，方差方差,相关系数和矩相关系数和矩下面先讨论下面先讨论数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 例例1
3、 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工车工小马每天生产的废品数小马每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.X的的分布律为分布律为2,1,0,)(ipiXPi 现观测现观测N天天，发现有，发现有n0天出现天出现0个废品，有个废品，有n1天出现天出现1个废品，有个废品，有n2天出现天出现2个废品。个废品。求小马求小马平均一天平均一天生产的废品数生产的废品数N天中天中小马生产的废品总数为小马生产的废品总数为210210nnn于是于是小马小马平均一天平均一天生产的废品数为生产的废品数为20210210iiNniNnnnni/N是事件是事件X=i 发生发生的频率，当
4、的频率，当N 很大时，它很大时，它稳定于事件稳定于事件X=i 的概率的概率pi20iipi 当试验次数当试验次数N很大时，随机变量很大时，随机变量X的观测值的观测值的算术平均值稳定于的算术平均值稳定于因此因此可以作为描述随机变量可以作为描述随机变量X 取值的加权平均状取值的加权平均状况的数字特征。况的数字特征。20iipi定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的分布律为是离散型随机变量，它的分布律为:P(X=xk)=pk,k=1,2,1)(kkkpxXE1kkkpx如果如果绝对收敛，绝对收敛，则称它为则称它为X的数学期望的数学期望 或均值，记为或均值，记为E(X),即即 若若kkkpx发散，则
5、称发散，则称X 的数学期望的数学期望不存在。不存在。例例2：已知已知X 的分布如下的分布如下 X100 200 P0.01 0.99 求求E(X)解解:99.020001.0100)(XE2、几种常见离散型分布的数学期望、几种常见离散型分布的数学期望 1）两点分布两点分布 例例3：设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为p 的两点的两点分布，求分布，求E(X)解解:pXPXPXE)1(1)0(0)(2）二项分布二项分布 例例4：设随机变量设随机变量X b(n,p)，求，求E(X)计算如下计算如下:npqpnpqpknknnpqpknknkkXPkXEnnkknkknnkknk11110)()
6、!()!1()!1()!(!)()(3）泊松分布泊松分布例例5：设随机变量设随机变量X 服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分 布，求布，求E(X)(见书见书 p114-115 的例的例6)例例6 某人的一串钥匙上有某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门匙中的某一把去开门.若每把钥匙试开一次后若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望除去，求打开门时试开次数的数学期望.解解:设试开次数为设试开次数为X,P(X=k)=1/n ,k=1,2,nE(X)nknk112)1(1n
7、nn21n于是于是二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，密度函数为是连续型随机变量，密度函数为 f(x).我们的目的是：寻找一个能体现随机变我们的目的是：寻找一个能体现随机变量取值的平均的量量取值的平均的量.为此为此,只要把前面的求和只要把前面的求和改成积分即可改成积分即可.1、定义、定义 设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f(x),如果如果dxxfx)(|有限有限,则定义则定义X的数学期望为的数学期望为dxxfxXE)()(若若dxxfx)(|则称则称 X 的数学期望不存在的数学期望不存在 例例7 设设XU(a,
8、b)，求，求E(X)(见书见书 p115 的例的例7)2、常见的连续型随机变量数学期望、常见的连续型随机变量数学期望例例8 设设X 服从参数为服从参数为 的指数分布，的指数分布，求求E(X)解解:1)(0dxexXEx例例7 设设XU(a,b)，求，求E(X)(见书见书 p115 的例的例7)2、常见的连续型随机变量数学期望、常见的连续型随机变量数学期望 例例9 若若X服从服从),(2N，求，求E(X)解解:dxxxXE2)(exp21)(22 例例10 设设X 的概率密度为的概率密度为 其他,010,101,1)(xxxxxf求求E(X)0110)1()1()()(dxxxdxxxdxxxf
9、XE解解:三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的数学期望，而是的数学期望，而是X的某个函数的某个函数的数学期望，比如说的数学期望，比如说g(X)的数学期望的数学期望.那么那么应该如何计算呢？应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照数学期望的定义把就可以按照数学期望
10、的定义把Eg(X)计算出计算出来来.例例11：某商店对某种家用电器的销售采用先某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命使用后付款的方式，记该种电器的使用寿命为为X（以年计），规定：（以年计），规定：X 1，一台付款一台付款1500元元 1 X 2，一台付款，一台付款2000元元 2 3，一台付款一台付款3000元元设设X 服从参数为服从参数为1/101/10的指数分布，求该商店的指数分布，求该商店一台电器的平均收费一台电器的平均收费(见书见书 p112-113 的例的例4)下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的.那么是否可以不先求出那么是
11、否可以不先求出g(X)的分布而的分布而只根据只根据X的分布直接求得的分布直接求得Eg(X)呢？呢？使用上述方法必须先求出随机变量函数使用上述方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，有时是比较复杂的的分布，有时是比较复杂的.2、设、设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)（1）设设X 为离散型随机变量为离散型随机变量,且其分布律且其分布律为为 P(X=xk)=pk，k=1,2,。若。若 绝对收敛，绝对收敛，则则Y 的数学期望存在，且的数学期望存在，且 kkkpxg)()()()(kkkpxgXgEYE （2）设设X 为连续型随机变量为连续型随机变量,其概率密度为其概率密度为 f(x)，
12、且，且 Y=g(X)也是连续型随机变量。若也是连续型随机变量。若 绝对收敛，绝对收敛，则则Y Y 的数学期望存在，且的数学期望存在，且 dxxfxg)()()()()()(dxxfxgXgEYE(定理证明超出课程范围定理证明超出课程范围,特殊情况证明见书特殊情况证明见书p116)例例12:设设X b(n,p),Y =e=eaX X,求求E（Y）。解解:nankknkaknknkknnkakqpeqpeCqpCeYE)()()(00例例13:设设X U0,Y=sinX,求求E（Y）。解解:21sin)(sin)(0dxxdxxfxYE类似地，利用上面的方法也可以考类似地，利用上面的方法也可以考虑
13、多维随机变量的函数的数学期望虑多维随机变量的函数的数学期望3、已知二维随机变量（、已知二维随机变量（X，Y）的联合分）的联合分 布，求函数布，求函数Z=g(X,Y)的数学期望的数学期望 （1）设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的联合的联合分布律为分布律为,2,1.),(jiyYxXPpjiijjiijjipyxg,),(绝对收敛，则绝对收敛，则Z的数学的数学若若 期望存在，而且有期望存在，而且有),()()(,jiijjipyxgX,YgEZE （2）设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合的联合密度为密度为 f(x,y),Z=g(X,Y)也是连续型随机变也是连
14、续型随机变量量 绝对收敛，则绝对收敛，则 Z 的数学期望存在，而且有的数学期望存在，而且有 若若 ),(),(dxdyyxfyxg ),(),(),()E(dxdyyxfyxgYXgEZ四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);一般地，一般地，随机随机变量线性组合的数学期望，变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即等于随机变量数学期望的线性组合，即).(2211nnXaXaXaE).(.)()(2211nnXEaXEaXEa=4.设设X、
15、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);niiniiXEXE11)(推广：设推广：设X1，Xn独立独立,则有则有注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立(5)若随机变量只取非负值，即若随机变量只取非负值，即 X 0,又又E(X)存在，则存在，则E(X)0.推论：若推论：若X Y,E(X)，E(Y)都存在，则都存在，则 E(X)E(Y)特别地，若特别地，若a X b，且，且 a，b为常数，则为常数，则E(X)存在，且存在，且 a E(X)b 五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用Example 14 设一批同类型的产品共有设一批同类型的产品
16、共有N件，其中件，其中次品有次品有M 件。今从中任取件。今从中任取n(假定假定n N-M)件，记这件，记这n件中所含的次品数为件中所含的次品数为X，求，求E(X)答案:NnMXE)(Example 15 设设X 的概率密度为的概率密度为其中其中a,b为常数，且为常数，且E（X）=3/5。求。求a,b 的值。的值。其它010)(2xbxaxf答案:56,53ba 一个实际例子一个实际例子.例例16：某水果商店，冬季每周购进一批苹某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量果。已知该店一周苹果销售量X(单位单位:kg)服从服从U1000,2000。购进的苹果在一周内。购进的苹果在一周内
17、售出，售出，1kg获纯利获纯利1.5元；一周内没售出，元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。的平均利润。(答案答案:一周应购进一周应购进1833千克千克苹果苹果)下面我们再给出数学期望应用的另一个例子下面我们再给出数学期望应用的另一个例子.教材第教材第113页的页的例例5请看请看（抽验（抽验N个人的血的两种方法）个人的血的两种方法）前面我们介绍了随机变量的数学期望，前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变它体现了随机变量取值的平均
18、，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征.但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的.学习方差的原因如下学习方差的原因如下:例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、，现用甲、乙两台仪器各测量乙两台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐用坐标上的点表示如图：标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值
19、都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字
20、特征就是我们下面要介绍的方差方差4-2 方方 差差一一.方差的概念方差的概念设随机变量设随机变量X的数学期望为的数学期望为E(X),若若E(X-E(X)2存在存在,则称它为则称它为X 的方差（此时，也称的方差（此时，也称X的方差存在），记为的方差存在），记为D(X)或或Var(X),即即 D(X)=E(X-E(X)2 定义定义称称D(X)的算术平方根的算术平方根 D X（）为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为(X).若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大.刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度的离散程度.若若X的取值
21、比较集中，则方差较小；的取值比较集中，则方差较小；D(X)=EX-E(X)2 方差方差注意：注意：1)D(X)0，即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2）当）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差服从某分布时，我们也称某分布的方差 为为D(X)。3)方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个 特征。特征。方差的计算公式方差的计算公式 (1)若若X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为 pi=P(X=xi),i=1,2,.,且且D(X)存在，则存在，则 )()(2iiipXExXD 由定义可知，方差是随机变量由定义可知，方差是随机变
22、量X的函数的函数 g(X)=X-E(X)2的的数学期望数学期望.（2）若）若X为连续型随机变量，其概率密为连续型随机变量，其概率密度为度为f(x)，且，且D(X)存在，则存在，则（3）若随机变量的方差）若随机变量的方差D(X)存在，存在，则则 )()(-()(2dxxfXExXD22)()()(EXXEXD证明如下证明如下:2222222)()()()()(2)()()(2)()(XEXEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXD例例2：设设X b(n,p)，求，求D(X)npXXEXEXXEXE)1()()1()(2解解:3.常见分布的方差常见分布的方差 例例1：设设X b(1,p)，求，求
23、D(X)pqqpqpXDpXE22)1()0()()(解解:22222220)1()()1()!()!2()!2()1()!(!)1()1()1(pnnqppnnqpknknpnnqpknknkkqpCkkXXEnknnkkknnkkknnkkknnpqnpnppnnXEXEXD2222)()1()()()(从而从而:例例3：设设X ()，求，求D(X)答案答案:)(XD例例4：设设X Ua,b，求，求D(X)答案答案:12)()(2abXD例例5：设设X 服从参数为服从参数为 的指数分布，求的指数分布，求D(X)。答案答案:21)(XD例例6：设设 X N(,2)，求，求D(X)(见书见书
24、p126 例例7)XZ2)(XD)(XE服从服从)1,0(N从而从而,0)(ZE1)(ZD利用利用ZX计算得计算得:例例7:设设X 的概率密度为的概率密度为a为未知常数为未知常数,求求a,E(X 2).83)(2)(xaexf提示提示:2222)3(exp221228)3(exp1222adxxadxxa从而从而221a例例8:设设X 的概率密度为的概率密度为.0,bexfx5 x)(其中其中b为未知常数为未知常数,求求b，E(X 2)55exp555exp100bdxxbdxxb提示提示:从而从而 b=5 二二.方差的性质方差的性质 性质性质1:若若X=C，C为常数，则为常数，则 D(X)=
25、0 性质性质2:若若C为常数为常数,随机变量随机变量X的方差存在，则的方差存在，则CX的方差存在，且的方差存在，且 D(CX)=C 2D(X)性质性质3:若若D(X),D(Y)存在，则存在，则 D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-EX)(Y-EY)证明如下证明如下:)()(2)()()()(2)()()()()()()(2222YEYXEXEYDXDYEYXEXEYEYEXEXEYEYXEXEYXEYXEYXD性质性质4：若随机变量若随机变量X,Y相互独立，它们的方差都相互独立，它们的方差都存在，则存在，则X Y的方差也存在，且的方差也存在，且 D(X Y)=D(X)+D(Y)证明提示证
26、明提示:若随机变量若随机变量X,Y相互独立，则相互独立，则 0)()()(2)()()()()()()(2)()()()(2)()(2YEXEXYEYEXEYEXEYEXEXYEYEXEXYEYXEXYEYEYXEXE推论推论1:若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，它们的相互独立，它们的方差都存在，则方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且 n1in1iii)D(X)XD(推论推论2:若随机变量若随机变量X1,X2,Xn独立同分布，它们的独立同分布，它们的方差都存在，则方差都存在，则X1+X2+.+Xn的方差存在，且的方差存在，且)()(11 niiXnDXD性
27、质性质5:D(X)=0 P(X=C)=1，这里这里C=E(X)xC1P(X=x)(证明略证明略)例例9：设随机变量设随机变量X 的方差的方差D(X)存在存在,且且D(X)0令令)()(XDXEXX其中其中E(X)是是X的数学期望，求的数学期望，求).D(X)(和XE (标准化标准化随机变量随机变量,见书见书p122-123例例1)答案答案:.1)D(X,0)(XE三契比雪夫（三契比雪夫（Chebyshev）不等式）不等式 定理：设随机变量定理：设随机变量X 的方差的方差D(X)存在，则对存在，则对任意的任意的 0，均有，均有2)(|)(|XDXEXP或等价地或等价地 2)(1|)(|XDXEX
28、P(证明自己看一看证明自己看一看,见书见书 p128.下面看一个应用下面看一个应用)例例10 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用契比雪夫不等式求：利用契比雪夫不等式求：n需要多么大时，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的出现的频率在频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?的最小的的最小的n.900760740.).(nXP所求为满足所求为满足E(X)=0.75n,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的
29、次数，则则 Xb(n,0.75)解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，则则 Xb(n,0.75)=P(-0.01nX-0.75n 0.01n)=P|X-E(X)|0.01n P(0.74n X0.76n)76.074.0(nXP可改写为可改写为2)01.0()(1nXD20001.01875.01nnn18751)76.074.0(nXP在契比雪夫不等式中取在契比雪夫不等式中取n，则，则0.01 =P|X-E(X)|0.01n187509.011875n解得解得依题意，取依题意，取9.018751n 即即n 取取18750时，可以使得在时，可以使得在n次独立重复次独立重复试验中试验中,事件事件A出现的频率在出现的频率在0.740.76之间的之间的概率至少为概率至少为0.90.作业：作业：2,3,7(2),9,10,13,14,192,3,7(2),9,10,13,14,19
