1、化学分析是对物质进行分离，确定其基本成分。信号来源自然，也可对其进行分析，确定其基本成分。信号可以分解为正弦波，也可以分解为矩形波、小波，等等，分解就是寻找构成信号的基本成分，以什么作成分要视具体情况而定。1若对基本信号的时间压缩，可得变化更快的正弦波、矩形波和小波；也就是说，基本成分可衍生出其它成分。分解也叫分析，在信号处理中，分析的做法是计算信号的组成部分，即成分含量。信号分析常将正弦波看作信号成分，下面从正弦波的角度观察信号处理。2为了简化和有效利用信号，常把信号的组成部分看作各种频率的正弦波。3.1.1 正弦波公式正弦波的表达方法有实数的和复数的：实数的用三角函数，复数的用指数。实数正
2、弦波用幅度A、频率和相位表示，复数正弦波也用幅度、频率和相位表示，3)sin()(nAnx)()(njAenx实数正弦波和复数正弦波的关系是称为欧拉公式，用这个基本公式可得实数正弦波的优点是表达式直观、好理解，缺点是它的乘法、除法运算比较复杂。复数正弦波的优点是乘法、除法运算比较简单，缺点是表达式含两个正弦波，不好理解。4)sin()cos(jej2)sin(2)cos(jeeeejjjj正弦波具有周期变化的特点，不管是实数正弦函数x()=Asin()、还是复数正弦函数x()=Aej，都有x()=x(+2)，是相位的周期函数，周期为2。从极坐标图来看正弦函数x()，相位绕整倍数圈，它的相位都在
3、原来位置，这个特点可简化许多问题。53.1.2 正弦波成分 一个正弦波只有振幅、频率和初相位三个参数，用复指数的方法表示正弦波，可简化数学推导。设被处理信号x(n)有限长，分布在时序0,N-1的范围。基本正弦波是它是周期为N的周期序列。下面按正弦波周期N对信号x(n)进行分解。6nNjeny2)(对n进行压缩，将n替换为nk，可得不同频率2k/N的正弦波k是基频2/N的倍数，简称频序，这些不同频率的正弦波都可视为信号的成分。yk(n)是n的周期序列，也是k的周期序列，周期为N。7)(2knNjkeny不同频序的正弦波变化速度不同，只要频序pq，其正弦波yp(n)和yq(n)在时序0,N-1范围
4、的相关系数rpq=0，说明yp(n)和yq(n)不相似，不能互相代替，这种情况称独立或正交。这个结论说明：信号x(n)的正弦成分数量=N。8从相似性入手，正弦成分的合成信号与x(n)的关系为其中ck是第2章介绍的误差e(n)最小的系数。根据第2章的最佳系数公式，得9)()()()()()()()(1011221100nenycnenycnycnycnycnxNkkkNN用ck作为正弦波yk(n)的幅度时，e(n)的方均误差=0。所以，信号x(n)可写为1010210210)(1|)(|)(*)(NnknNjNnkNnkkenxNnynynxc10)()(Nkkknycnx因单位正弦波yk(n)
5、是复数，故幅度ck也是复数，其数字角频率2k/N离散。为让离散频率2k/N与连续频率直接对接，把ck的1/N放到合成信号，这样一来，信号分析与合成的公式就是11102102)(1)()()(NkknNjNnknNjekXNnxenxkX前者是信号的正弦成分含量，称离散傅里叶级数系数，简称频谱；后者是正弦成分的合成，称离散傅里叶级数。因傅里叶级数及其系数都是周期序列，周期为N；所以，如果信号x(n)有限长，n=0N-1，则合成公式只能在0,N-1成立。12例3.1 已知有限长方波信号x(n)的数学表达式为请分析信号x(n)在时序0,11范围的正弦波成分，并用这些成分合成信号z(n)。13)(0)
6、116(1)50(1)(nnnnx其它解（1）成分分析根据离散傅里叶级数系数，x(n)的正弦成分 X(k)可写为极坐标形式，根据欧拉公式，14)111(112)0(0)()(611612250122110122keekeeenxkXkjkjnknjnknjnknj2/)2/sin(21jjeje将它用到X(k)，得从公式看，偶数k的X(k)=0，这意味着6个复数正弦波就可组成x(n)。X(k)称频谱，幅值|X(k)|与频序的关系称幅频特性，相位argX(k)与频序的关系称相频特性。15)111()12sin()2sin(2)0(0)(125kekkkkXkj（2）信号合成根据离散傅里叶级数，合
7、成信号利用X(k)是k的周期序列，正弦波是n的周期序列，周期都是12，得16111122125110122)12sin()2sin(61)(121)(kknjkjkknjeekkekXnz再利用欧拉公式，得17)125122()123126()121210()121210()123126()125122(644.02357.01725.01725.02357.0644.0)(njnjnjnjnjnjeeeeeenz)121210cos(35.0)123126cos(47.0)125122cos(29.1)(nnnnz绘制合成序列z(n)的波形图的MATLAB程序为：N=12;n=0:N-1;k
8、=n;x=n=6;X=x*exp(-j*2*pi*n*k/N);subplot(211);stem(k,abs(X),.)n=-5:20;z=1/N*X*exp(j*2*pi*k*n/N);zn=z(6:17);subplot(212);stem(n,real(z),.r);axis tightxlabel(n);ylabel(realz(n);gridrzx=(zn*x)/sqrt(zn*zn)*(x*x)18取合成信号z(n)的实部是有原因的：计算机的计算再怎样精确，都有误差，使得合成信号z(n)是复数；而理想的合成信号是实数。合成信号z(n)是周期信号，肉眼看，在时序0,11范围它与原信
9、号x(n)相同。从科学的角度讲，它们还是有差别。19z(n)与x(n)在n=011时的相关系数它说明z(n)和x(n)的相似程度达到100%。如果保留信号成分含量大的分量，舍弃含量小的，可得另一种合成信号2000000001.00000000|)(|)(|)(*)(2/111021102110nnnzxnxnznxnzr)123126cos(47.0)125122cos(29.1)(nnny由此画出y(n)的波形。在时序0,11范围，y(n)的波形虽不如z(n)那么像x(n)，但还是能反映x(n)的规律。根据相关系数公式计算，y(n)和x(n)的相关系数为0.97，即相似度达到97%。这对语音
10、应用还是可以的，因5%以内的失真人耳不敏感。21根据有限长序列的综合和分析公式，可将频域分析的基本方法从离散时间有限长信号推广到其它类型信号。3.1.2 信号变换将时间信号转变为正弦波成分的做法称傅里叶变换；相应地，将正弦波成分还原为时间信号的做法称傅里叶反变换。22以信号的分解和合成公式为基础，对变量进行一些修改和推广，容易得到其它序列变换和函数变换的公式。（1）离散时间周期信号分解周期信号的正弦波成分时，只要将基本的分解公式信号x(n)看作周期为N的序列，就可获得周期序列的正弦波复数幅度23102)()(NnknNjenxkX根据复数幅度公式，周期序列x(n)的正弦波成分是用正弦波成分合成
11、的周期信号周期序列的组合公式与有限长序列的组合公式所不同：前者的时序n没有限制，后者的时序n限制在0,N-1的范围。24)N()(.2个独立成分它们当中只有knNjekX102)(1)(NkknNjekXNnx（2）离散时间非周期信号非周期序列在n=-范围的成分这么求，将周期序列的主值区间两端取无穷大，得离散时间非周期信号成分25kNdNN2 ,2 ,nnjNenxkXX)()(lim)(同理，用一个周期X()作为成分，也能合成原信号x(n)。是对离散变量求和，是对连续变量求和，两者本质一样。2620102)(21 )(1lim)(deXekXNnxnjNkknNjN（3）连续时间周期信号因周
12、期性，周期函数研究一个周期即可，常以t=0T为代表。分析可基于离散时间傅里叶变换，先令n=k和=-2 t/T，并代入离散时间傅里叶变换，得再令x(k)=F(k)和X(-2t/T)=f(t)，并利用周期函数的周期积分可任选一个周期范围，得27kkTtjTkTtjekxTtXTtdeTtXkx)/2(0)/2()()/2()/2()/2(21)(f(t)是周期函数，周期为T。F(k)是周期函数的频谱，是周期函数的分析，称连续傅里叶级数系数；f(t)是F(k)的合成，是周期函数的合成，称连续傅里叶级数，简称CFS。28kktTjTktTjekFtfdtetfTkF202)()()(1)(（4）连续时
13、间非周期信号因无重复性，连续时间非周期信号的分析范围应取t=-。分析可基于连续傅里叶级数系数，将周期函数的主值区间两端取无穷大，这样一来，非周期函数的成分29kTdTT22dtetfkTFFtjT)()(lim)(该成分F()能合成原信号f(t)，合成公式可基于连续傅里叶级数，F()是非周期函数的频谱，是非周期函数分析，称连续时间傅里叶变换，简称CTFT；f(t)是F()的合成，是非周期函数合成，称连续时间傅里叶反变换。30deFTekTFtftjkktTjT)(212)(21lim)(2四种傅里叶变换小结：信号的成分都是正弦波。信号分析都是信号乘正弦波的共轭，然后求和，信号合成都是频谱乘正弦
14、波，然后求和。31正弦变换正弦变换周期信号周期信号非周期信号非周期信号离散时间的离散时间的连续时间的连续时间的102102)(1)()()(NkknNjNnknNjekXNnxenxkXktjkTtjkekXtxdtetxTkX)()()(1)(020)(21)()()(deXnxenxXnjnnjdeXtxdtetxXtjtj)(21)()()(将连续的数字角频率变为离散的角频率2k/N时，DTFT的X()直接变为DFS的X(k)，这种做法便于用计算机分析频谱X()。32nknNjkNnnjenxkXenxX22)()()()(3.2.2 频谱的周期因频序k和数字角频率有关系故只看的低频和高
15、频，就可知k对应的低频和高频。为了高效，通常只了解在0,的频谱情况，另一半-,0用对称性可知。33kN2=0是主值区间-,)的最小值或最低频率，因这个频率的物理量固定不变，俗称直流分量或直流。=是主值区间-,)的最大值或最高频率，因这个频率的物理量变化最快，故称最高频。34例3.2 设周期方波序列x(n)和y(n)的周期分别为20和50。请用计算方式分析它们的频谱。35解 比较两个事物时，在相同的条件下进行才有意义。这里选择长度N=100来比较x(n)和y(n)的频谱，时序在0,99的范围。根据DFS公式，x(n)的频谱是同理，y(n)的频谱是 369901002)()(nknjenxkX99
16、01002)()(nknjenykY编程计算频谱的流程如下：给n和k赋值生成信号和计算频谱画图和写坐标。n=0:99;k=n;x=mod(n,20)10;X=x*exp(-j*2*pi/100*n*k);subplot(211);stem(k,abs(X),.);xlabel(k);ylabel(|X(k)|);grid;box off;y=mod(n,50)=Ymin.*Y;x=real(1/N*X*exp(j*2*pi/N*k*n);r=(y*x)/sqrt(y*y)*(x*x)70计算相关系数可知压缩的失真情况。x(n)和y(n)的相似度为0.994。71例3.10 从频域的角度看，音乐
17、的音高p和频率f可写为f=4402(p-69)/12Hz。标准音la为钢琴的A4键，定义为p=69。音高每上升一个半音，p加1；两个半音构成一个全音。音符3和4间隔半音，7和1(。)间隔半音，其它都是全音。请介绍用正弦波实现歌曲的编程思路，并用MATLAB编写1=C 2/4的简谱：1 1|5 5|6 6|5|4 4|3 3|2 2|1|解 设数模转换的采样频率fs=44100Hz，一拍音符的时长=0.5秒。72（1）编程思路主程序写各音符的音高和时长，用音符写简谱，播放简谱；子程序写频率和时长，用频率和时长写正弦波。（2）简谱程序主程序为：fs=44100;%数模转换的采样频率数模转换的采样频
18、率a11=key(60,1);%do一拍一拍a21=key(62,1);%re一拍一拍a31=key(64,1);73主程序续a41=key(65,1);a51=key(67,1);a61=key(69,1);a52=key(67,0.5);%so两拍两拍a12=key(60,0.5);%do两拍两拍p1=a11,a11,a51,a51,a61,a61,a52;%第一段简第一段简谱谱p2=a41,a41,a31,a31,a21,a21,a12;%第二段简第二段简谱谱74song=p1,p2;%全部简谱sound(song,fs)%播放声音子程序为：fs=44100;%采样频率f=440*2(p-69)/12);%频率t=0:1/fs:0.5/n;%时长0.5/n秒g=sin(2*pi*f*t);%频率为f时间为t的正弦波75本章介绍了信号和系统的频谱，频谱是信号分析的工具，频率响应是信号处理的工具。76
