1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (三十三 ) 数列求和 基础巩固 一、选择题 1 (2018 湖南师大附中月考 )已知公差不为 0 的等差数列 an满足 a1， a3， a4成等比数列， Sn为数列 an的前 n 项和，则 S3 S2S5 S3的值为 ( ) A 2 B 3 C 2 D 3 解析 设等差数列的公差为 d，首项为 a1，所以 a3 a1 2d， a4 a1 3d. 因为 a1、 a3、 a4成等比数列， 所以 (a1 2d)2 a1(a1 3d)，解得： a1 4d. 所以 S3 S2S5 S3 a1 2d2a1 7d 2，故选 A. 答案 A 2 (2017 河
2、南百校联盟质量监测 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S5 20，则6a4 3a5 ( ) A 20 B 4 C 12 D 20 解析 设 an的公差为 d， S5 a1 a52 20， a1 a5 8， a3 4.又 6a4 3a5 6(a3 d) 3(a3 2d) 3a3 12.选 C. 答案 C 3已知等比数列 an的首项为 1，若 4a1,2a2， a3成等差数列，则数列 ? ?1an的前 5 项和为( ) A.3116 B 2 C.3316 D.1633 解析 设数列 an的公比为 q，则有 4 q2 22 q，解得 q 2，所以 an 2n 1. 1an12n 1，所以
3、 S51 ? ?12 51 12 3116.故选 A. 答案 A 4已知数列 an是等差数列， a1 tan225 ， a5 13a1，设 Sn 为数列 ( 1)nan的前 n项和，则 S2018 ( ) A 2018 B 2018 C 3027 D 3027 解析 由题意得 a1 1， a5 13， an是等差数列， 公差 d 3， an 3n 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = S2018 1 4 7 10 13 17 ? 6049 6052 3 20182 3027，选 C. 答案 C 5 (2017 安徽安庆模拟 )已知数列 an满足 an 2 an(n N )，且 a1 1， a
4、2 2，则数列 an的前 2017 项的和为 ( ) A 2 B 3 C 3 D 1 解析 an 2 an ( an 2) an 2， n2， 数列 an是以 4为周期的周期数列 S2017 504(a1 a2 a3 a4) a2017 504(a1 a2 a1 a2) a5044 1 a1 1.故选 D. 答案 D 6. 122 1 132 1 142 1 ? 1n 2 1的值为 ( ) A. n 1n B.34 n 1n C.34 12? ?1n 1 1n 2 D.32 1n 1 1n 2 解析 因为 1n 2 1 1n2 2n 1n n 12? ?1n 1n 2 所以原式 12? ?1
5、13 ?1214 ?1315 ? ? ?1n 1n 2 12? ?1 12 1n 1 1n 2 34 12? ?1n 1 1n 2 ，故选 C. 答案 C 二、填空题 7若数列 an的通项公式为 an 1n n 2，前 n 项和为 Sn，则 S16 _. 解析 由 an 1n n 2 12( )n 2 n ， 得 S16 12( 3 1 4 2 5 3 ? 17 15 18 16) 12( 18 172 1) 17 2 2 12 . 答案 17 2 2 12 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8数列 an满足 an an 1 12(n N*)，且 a1 1， Sn 是数列 an的前 n 项和，
6、则 S21_. 解析 依题意得 an an 1 an 1 an 2 12，则 an 2 an，即数列 an中的奇数项、偶数项分别相等，则 a21 a1 1， S21 (a1 a2) (a3 a4) ? (a19 a20) a21 10(a1 a2) a21 10 12 1 6. 答案 6 9 (2017 陕西西安期中 )如果数列 an的前 n 项之和为 Sn 3 2n，那么 a21 a22 a23 ? a2n _. 解析 Sn 3 2n， Sn 1 3 2n 1(n2) ， an 2n 2n 1 2n 1， a2n 4n 1， n 1时 a1 S1 5， 当 n2 时， a21 a22 a23
7、 ? a2n 25 4n 11 4 4n 713 ； 当 n 1 时 a21 25 也适合上式，故 a21 ? a2n 4n 713 . 答案 4n 713 三、解答题 10 (2017 全国卷 )设数列 an满足 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n. (1)求 an的通项公式； (2)求数列 ? ?an2n 1 的前 n 项和 解 (1)因为 a1 3a2 ? (2n 1)an 2n，故当 n2 时， a1 3a2 ? (2n 3)an 1 2(n 1) 两式相减得 (2n 1)an 2，所以 an 22n 1(n2) 又由题设可得 a1 2 也适合，从而 an的通项公式为 an 22
8、n 1. (2)记 ? ?an2n 1 的前 n 项和为 Sn. 由 (1)知 an2n 1 2n n 12n 1 12n 1. 则 Sn 11 13 13 15 ? 12n 1 12n 1 2n2n 1. 能力提升 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11若 an0， Sn a1 a2 ? an，且 2Sn an 1an(n N*)，则 S2017 ( ) A 2017 20172017 B 2017 20162016 C 2016 D. 2017 解析 令 n 1，则 2S1 a1 1a1，所以 a1 1， S1 1；令 n 2，则 2(a1 a2) a2 1a2，所以 a2 2 1， S2
9、 2；令 n 3，则 2( 2 a3) a3 1a3，解得 a3 3 2， S3 3；依此类推， a2017 2017 2016， S2017 2017.故选 D. 答案 D 12 (2017 全国卷 )几位大学生响应国家 的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “ 解数学题获取软件激活码 ” 的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16， ? ，其中第一项是20，接下来的两项是 20,21，再接下来的三项是 20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数 N： N100 且该数列的前 N 项
10、和为 2 的整数幂那么该款软件的激活码是 ( ) A 440 B 330 C 220 D 110 解析 设第一项为第 1 组，接下来的两项为第 2 组，再接 下来的三项为第 3 组，依此类推，则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为 n n2 .由题意可知， N100，令n n2 100，所以 n14 ， n N*，即 N 出现在第 13 组之后易得第 n 组的所有项的和为1 2n1 2 2n 1，前 n 组的所有项的和为 2n1 2 n 2n 1 n 2.设满足条件的 N 在第 k1(k N*， k13) 组，且第 N 项为第 k 1 组的第 t(t N*)个数，第 k 1 组的前 t
11、 项的和 2t 1 应与 2 k 互 为相反数，即 2t 1 k 2，所以 2t k 3，所以 t log2(k 3)，所以当t 4， k 13 时， N 2 4 955 时， N440，故选 A. 答案 A 13 (2017 安徽马鞍山期中 )设数列 an的通项公式为 an ( 1)n(2n 1)cos n2 1(n N*)，其前 n 项和为 Sn，则 S120 ( ) A 60 B 120 C 180 D 240 解析 由 an ( 1)n(2n 1)cosn2 1，得 =【 ;精品教育资源文库 】 = a1 cos 2 1 1， a2 3cos 1 2， a3 5cos32 1 1， a
12、4 7cos2 1 8， a5 9cos52 1 1， a6 11cos3 1 10， a7 13cos72 1 1， a8 15cos4 1 16， ? 由上可知，数列 an的奇数项为 1，每两个偶数项的和为 6， S120 (a1 a3 ? a119) (a2 a4 ? a58 a120) 60 306 240.故选 D. 答案 D 14 (2017 河北邯郸质量检测 )在公差大于 1 的等差数列 an中，已知 a21 64， a2 a5 a8 36，则数列 |an|的前 20 项和为 _ 解析 a2 a5 a8 3a5 36， a5 12， a21 64， a1 8. 当 a1 8， d
13、 1，不合题意 当 a1 8， d 51， an 5n 13. 故数列 |an|的前 20 项和为 8 3 2 2 812. 答案 812 15 (2017 广东珠海模拟 )已知等差数列 an的首项为 a，公差为 d， n N*，且不等式ax2 3x 20，可得 an 1 an 3 0.即 an 1 an 3，所以 an是首项为 1，公差为 3 的等差数列 所以 an 1 3(n 1) 3n 2. (2)由 an 3n 2，可得 bn 1anan 1 1n n 13? ?13n 2 13n 1 ， Tn b1 b2 ? bn 13? ? ?1 14 ? ?14 17 ? ? ?13n 2 13
14、n 1 n3n 1. 因为 Tn 1 Tn n 1n 1 n3n 1 1n n 0， 所以 Tn 1Tn，所以数列 Tn是递增数列 所以 t4 Tn?t4 Tn?t4 T1 14?t1 ， 所以实数 t 的最大值是 1. 延伸拓展 下面的图形无限向内延续，最 外面的正方形的边长是 2，从外到内，第 n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为 Sn(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)证明： Sn 2Sn 1(n N*)； (2)证明： S1 S2 ? Sn8 2. 证明 (1)设第 n(n N*)个正方形的边长为 an，则其内切圆半径为 an2，第 n 1 个正方形的边长为 22 an，其内切圆半径为 24 an，所以 Sn a2n ? ?an2 2 a2n? ?1 4 (n N*)， Sn 1?22 an2 ?24 an2 a2n? ?12 8 12Sn(n N*)所以 Sn 2Sn 1(n N*) (2)由 (1)可知， S1 22 ? ?1 4 4 ， S2 2 2 ， ? ， Sn (4 ) ? ?12 n 1，所以 Tn S1 S2 ? Sn (4 ) ? ?1 12 122 ? 12n 1 (4 )1 ? ?12 n1 12 (8 2) ? ?1 12n 8 2.
