1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 课时作业 A 组 基础对点练 1.如图，在 Rt ABC 中， ABC 90 ， P 为 ABC 所在平面外一点， PA 平面 ABC，则四面体 P ABC 中共有直角三角形个数为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析：由 PA 平面 ABC 可得 PAC， PAB 是直角三角形，且 PA BC.又 ABC 90 ，即 AB BC，所以 ABC 是直角三角形，且 BC 平面 PAB，又 PB?平面 PAB，所以 BC PB，即 PBC 为直角三角形，故四面体 P ABC 中共有 4 个直角三 角形 答案： A 2
2、(2018 兰州诊断考试 )设 ， ， 为不同的平面， m， n 为不同的直线，则 m 的一个充分条件是 ( ) A ， n， m n B m， ， C ， ， m D n ， n ， m 解析： A 不对， m 可能在平面 内，也可能与 平行； B， C 不对，满足条件的 m 和 可能相交，也可能平行； D 对，由 n ， n 可知 ，结合 m 知 m ，故选 D. 答案： D 3 (2018 长沙市模拟 )平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的面对角线 AB1，且平面 平面 C1BD，平面 平面 ADD1A1 AS，则 A1AS 的正切值为 ( ) A. 32 B 55 C. 33 D
3、 12 解析：连接 AC， A1C，正方体 ABCD A1B1C1D1中， BD AC， BD AA1， AC AA1 A， BD 平面 AA1C， A1C BD， 同理，得 A1C BC1， BD BC1 B， A1C 平面 C1BD， 如图，以 AA1为侧棱补作一个正方体 AEFGA1PQR，使得 侧面 AGRA1与平面 ADD1A1共面， =【 ;精品教育资源文库 】 = 连接 AQ，则 AQ CA1，连接 QB1，交 A1R 于 S，则平面 AQB1就是平面 ， AQ CA1， AQ 平面 C1BD， AQ?平面 ， 平面 平面 C1BD， tan A1AS A1SAA1 12.故选
4、D. 答案： D 4.如图， O 是正方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O垂直的是 ( ) A A1D B AA1 C A1D1 D A1C1 解析：连接 B1D1(图略 )，则 A1C1 B1D1，根据正方体特征可得 BB1 A1C1，故 A1C1 平面 BB1D1D，B1O?平面 BB1D1D，所以 B1O A1C1. 答案： D 5.如图，在三棱锥 D ABC 中，若 AB CB， AD CD， E 是 AC 的中点，则下列命题中正确的有 _(写出全部正确命题的序号 ) 平面 ABC 平面 ABD； 平面 ABD 平面 BCD； 平面 ABC
5、平面 BDE，且平面 ACD 平面 BDE； 平面 ABC 平面 ACD，且平面 ACD 平面 BDE. 解析：由 AB CB， AD CD 知 AC DE， AC BE，从而 AC 平面 BDE，所以平面 ABC 平面 BDE，且平面 ACD 平面 BDE，故 正确 答案： 6.如图， PA O 所在平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， AE PC， AF PB，给出下列结论： AE BC； EF PB； AF BC； AE 平面 PBC，其中正确的结论有 _ 解析： AE?平面 PAC， BC AC， BC PA?AE BC，故 正确； AE PC， AE BC， PB?
6、平面 PBC?AE PB， EF?平面 AEF?EF PB，故 正确； AF PB，若 AF BC?AF 平面 PBC，则 AF AE 与 已知矛盾，故 错误；由 可知 正确 答案： =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 ) 解析： 如图，连接 AC， BD，则 AC BD， PA 底面 ABCD， PA BD. 又 PA AC A， BD 平面 PAC， BD PC， 当 DM PC(或 BM PC)
7、时，即有 PC 平面 MBD.而 PC?平面 PCD， 平面 MBD 平面 PCD. 答案： DM PC(或 BM PC 等 ) 8如图，四棱锥 P ABCD 中， AP 平面 PCD， AD BC， AB BC 12AD， E， F 分别为线段 AD，PC 的中点求证： (1)AP 平面 BEF； (2)BE 平面 PAC. 证明： (1)设 AC BE O，连接 OF， EC，如图所示 由于 E 为 AD 的中点， AB BC 12AD， AD BC， 所以 AE BC， AE AB BC， 因此四边形 ABCE 为菱形， 所以 O 为 AC 的中点 又 F 为 PC 的中点， 因此在 P
8、AC 中，可得 AP OF. 又 OF?平面 BEF， AP?平面 BEF. 所以 AP 平面 BEF. (2)由题意知 ED BC， ED BC. 所以四边形 BCDE 为平行四边形， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 BE CD. 又 AP 平面 PCD， 所以 AP CD，因此 AP BE. 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE AC. 又 AP AC A， AP， AC?平面 PAC， 所以 BE 平面 PAC. 9 (2017 唐山统考 )已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PD 底面 ABCD， E 为棱 PD的中点 (1)证明： PB 平面 AEC；
9、(2)若 PD AD 2， PB AC，求点 P 到平面 AEC 的 距离 解析： (1)证明：如图，连接 BD，交 AC 于点 F，连接 EF， 底面 ABCD 为矩形， F 为 BD 中点， 又 E 为 PD 中点， EF PB， 又 PB?平面 AEC， EF? 平面 AEC， PB 平面 AEC. (2) PD 平面 ABCD， AC?平面 ABCD， PD AC， 又 PB AC， PB PD P， AC 平面 PBD， BD?平面 PBD， AC BD， 四边形 ABCD 为正方形 又 E 为 PD 的中点， P 到平面 AEC 的距离等于 D 到平面 AEC 的距离，设 D 到平
10、面 AEC 的距离为 h， 由题意可知 AE EC 5， AC 2 2， S AEC 122 2 3 6，由 VD AEC VE ADC得 13S AEC h=【 ;精品教育资源文库 】 = 13S ADC ED，解得 h 63 ， 点 P 到平面 AEC 的距离为 63 . B 组 能力提升练 1.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 为线段 A1B 上的动点，则下列结论正确的是 ( ) A DB1 D1P B平面 AD1P 平面 A1DB1 C APD1的最大值为 90 D AP PD1的最小值为 2 62 解析：当点 P 在 A1点时， DB1与 D1A1显然不
11、垂直， A 错误； A1B1 平面 ADD1A1， A1B1 AD1，又在正方形 ADD1A1中， A1D AD1， AD1 平面 A1DB1.又 AD1?平面 AD1P， 平面 AD1P 平面A1DB1， B 正确 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， AD1 A1B 2， BD1 3，令 A1P x，则 0 x 2， D1P x2 1， AP AA21 A1P2 2AA1 A1Pcos AA1P x2 2x 1， cos APD1 AP2 PD21 AD212AP PD1 2x2 2x2AP PD12x 2x2AP PD1 ， 显然，当 x 0 或 x 22 时 ， cos AP
12、D1 0， APD1 90 ； 当 00,0 APD190. APD1的最大值大于 90 ，且当 x 24 时， cos APD1最大，此时 AP 104 ， D1P 3 24 ，显然 104 3 24 2 62 ， C， D 均错误，故选 B. 答案： B 2 (2018 石家庄质检 )在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中， AB 平面 BCD，且 BD CD， AB BD CD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为 x，若 PBD 的面积为 f(x)，则 f(x)的图象大致是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： 如图，作 PQ
13、BC 于 Q，作 QR BD 于 R，连接 PR，则由鳖 臑 的定义知 PQ AB， QR CD.设 AB BD CD 1，则 CPAC x3 PQ1 ，即 PQx3，又QR1 BQBCAPAC3 x3 ，所以 QR3 x3 ，所以 PR PQ2 QR2 x32 3 x32 33 2x2 2 3x 3，所以 f(x) 36 2x2 2 3x 3 66 x 32 2 34，故选 A. 答案： A 3.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱长为 2， AC BC 1， ACB 90 ， D是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点， AB1， DF 交于点 E.要使 AB1 平面 C1DF
14、，则线段 B1F 的长为 ( ) A.12 B 1 C.32 D 2 解析：设 B1F x，因为 AB1 平面 C1DF， DF?平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可得 A1B1 2，设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE 12h.又 2 2 h 22 2 2，所以 h 2 33 ， DE 33 .在 Rt DB1E中， B1E ? ?22 2 ? ?33 2 66 .由面积相等得 66 x2 ? ?22 2 22x，得 x 12. 答案： A 4如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为 O，且 AO 平面 BB1C1C. (
15、1)证明： B1C AB； (2)若 AC AB1， CBB1 60 ， BC 1，求三 棱柱 ABC A1B1C1的高 解析： (1)证明：如图， 连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1的交点因为侧=【 ;精品教育资源文库 】 = 面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C BC1. 又 AO 平面 BB1C1C，所以 B1C AO，故 B1C 平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO，故 B1C AB. (2)如图，作 OD BC，垂足为 D，连接 AD.作 OH AD，垂足为 H. 由于 BC AO， BC OD，故 BC 平面 AOD， 所以 OH BC. 又 OH AD，所以 OH
16、 平面 ABC. 因为 CBB1 60 ，所以 CBB1为等边三角形， 又 BC 1，所以 OD 34 . 由于 AC AB1，所以 OA 12B1C 12. 由 OH AD OD OA，且 AD OD2 OA2 74 ， 得 OH 2114 . 又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 217 .故三棱柱ABC A1B1C1的高为 217 . 5 (2017 北京东城区模拟 )如图，在四棱锥 E ABCD 中， AE DE， CD 平面 ADE， AB 平面 ADE， CD 3AB. (1)求证：平面 ACE 平面 CDE； (2)在线段 DE 上是否存在一点 F，使 AF 平面 BCE？若存在，求出 EFED的值；若不存在，说明理由 解析： (
