1、3.2.3 3.2.3 空间向量与空间角空间向量与空间角O OA AB Ba a b b.复习回顾复习回顾:bababa,cos4探究点探究点1 1：异面直线所成的角：异面直线所成的角lmlm 若两直线若两直线 所成的角为所成的角为 .,l m(0)2cosa ba b 提示：提示：四棱锥四棱锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为60.在四边形在四边形ABCD中中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐标系，并写出点建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；的坐标；(2)求异面直线求异面直线PA与与BC所成的角的余弦值所成的角
2、的余弦值例例1总结总结:两条异面直线所成的角的两个关注点两条异面直线所成的角的两个关注点(1)(1)余弦值非负余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角而对应的方向向量的夹角可能为钝角.(2)(2)范围范围:异面直线所成的角异面直线所成的角 ,故两直线的方故两直线的方向向量夹角向向量夹角的余弦值为负时的余弦值为负时,应取其绝对值应取其绝对值.(02，探究点探究点2 2：线面角：线面角 l sina ua u 设设直直线线的的方方向向向向量量为为a a，平平面面的的法法向向量量为为，且且直直线线 与与平平面面所所成成
3、的的u u0 0角角为为().2 2lll提示：提示：2.2.向量法求直线与平面所成角的原理向量法求直线与平面所成角的原理条件条件直线直线l(方向向量为方向向量为a)与平面与平面(法向量为法向量为n)所成的角为所成的角为图形图形关系关系 计算计算sin=|cossin=|cos|,0,22，a na n,22 ，a na n思路分析思路分析:利用正三棱柱的性质，建立适当的空间利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点的中点M，连结，连结C1M，证明，
4、证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量的法向量n(，x，y)求解求解例例2求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角coscos,AB CDAB CDAB CD DClBA探究点探究点3 3：二面角：二面角 1 1 方方向向向向量量法法:将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的方方向向向向量量（在在二二面面角角的的面面内内且且垂垂直直于于二二面面角角的的棱棱）的的夹夹角角.如如图图，设设二二面面角角-的的大大小小为为,其其中中ABAB,AB,AB,CD,CD,CD,CD.lll,m n l(2)(
5、2)法法向向量量法法将将二二面面角角转转化化为为二二面面角角的的两两个个面面的的法法向向量量的的夹夹角角.如如图图，向向量量n n，m m，则则二二面面角角-的的大大小小 .l若若二二面面角角-的的大大小小为为(0 0),则则：lnm nmnm=cos二面角的范围：二面角的范围：0,cos1n2 n2 n1nAOB同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角2121nnnn 21,cos-nn ,的的夹夹角角为为，cos|u vuv uv提示：提示：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 ,的夹角为，cos|u vuv uv一进一出
6、，二面角等于法向量夹角一进一出，二面角等于法向量夹角 如图，在长方体如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，E，F分别是棱分别是棱BC，CC1上的点，上的点，CFAB2CE，AB AD AA11 2 4.(1)求异面直线求异面直线EF与与A1D所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)证明证明AF平面平面A1ED；(3)求二面角求二面角A1EDF的正弦值的正弦值例例3思路分析思路分析:解答本题首先建立空间坐标系，写出解答本题首先建立空间坐标系，写出一些点的坐标，再利用向量法求解一些点的坐标，再利用向量法求解利用向量法求二面角的步骤：利用向量法求二面角的步骤：(1)建立适当的空间直角坐标系；建
7、立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；法向量；(3)求出两个法向量的夹角；求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；角；(5)确定出二面角的平面角的大小确定出二面角的平面角的大小求平面与平面所成的角求平面与平面所成的角课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测课堂检测作业:课本112页第6，8题。用空间向量解决立体几何问题的三步曲：用空间向量解决立体几何问题的三步曲：1.1.（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的（化为向量问题）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题平面，把立体几何问题转化为向量问题.2.2.（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直（进行向量运算）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题角等问题.3.3.（回到图形问题）把向量的运算结果（回到图形问题）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义成相应的几何意义.归纳小结归纳小结:
