1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题17 其它综合类竞赛题（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1（2019全国高三竞赛）计算:=_.2（2019全国高三竞赛）设是空间中体积为1的一个四面体的四个顶点.则k_.3（2019全国高三竞赛）给定函数.则函数与反函数交点的坐标为_.4（2019全国高三竞赛）把函数的系数按其自然位置排成两行两列，记为二阶矩阵其中，每一个数字称为二阶矩阵的元素又记的系数所组成的二阶矩阵为A的平方，即观察二阶矩阵乘法的规律，写出中的元素_5（2018江西高三竞赛）、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为_6（2018湖南高三竞赛）如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正
2、三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为_.7（2018湖南高三竞赛）已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_.8（2019全国高三竞赛）设为常数.若对一切，有，则实数的取值范围是_.9（2019全国高三竞赛）定义数列：，令.则的最大值为_.10（2019全国高三竞赛）如图，设圆台的轴截面为等腰梯形，其中，若圆台的高为，是下
3、底面与夹角为的直径，则异面直线、所成角的余弦值为_11（2018甘肃高三竞赛）设满足若只在点处取得最小值，则实数的取值范围是_12（2018全国高三竞赛）若函数的反函数为，且，则满足的最小正整数_13（2018全国高三竞赛）方程的解集为_14（2018全国高三竞赛）已知，一元二次方程有重根.则的值是_.15（2018全国高三竞赛）设定义在上，其值域，且对任意，都有，及则_16（2018全国高三竞赛）已知，存在实数，使得当时，恒成立.则的最大值是_.17（2018全国高三竞赛）直角坐标平面上两曲线与围成的图形的面积为_18（2019全国高三竞赛）已知关于的方程的两根均为整数则实数的值为_19（2
4、021全国高三竞赛）若，则的值为_20（2019全国高三竞赛）不等式的解集为_21（2019全国高三竞赛）已知函数与轴有两个不同的交点，并且，则的值是_22（2019全国高三竞赛）设实常数k使得方程在平面直角坐标系中表示两条相交的直线,交点为P.若点A、B分别在这两条直线上,且,则_.23（2019全国高三竞赛）已知、是一个直角三角形三边之长，且对大于2的自然数，成立则_24（2018山东高三竞赛）已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为_25（2018贵州高三竞赛）方程组的实数解为_.26（2018全国高三竞赛）已知为方程的三个不同的根，则的值为_27（2018全国高三竞赛）使得方程只有整数
5、解的实数的个数为_.28（2018全国高三竞赛）某人排版一个三角形,该三角形有一个内角为60,该角的两边边长分别为和9.这个人排版时错把长的边排成长,但发现其他两边的长度没变.则_.29（2018全国高三竞赛）已知在区间上的值域为则满足条件的区间为_30（2018全国高三竞赛）30 ！末尾最后一个不为零的数字为_.31（2018全国高三竞赛）平面区域的面积等于_.32（2018上海高二竞赛）分解因式：_.33（2021全国高三竞赛）若一个分数（a，b均为正整数）化为小数后，小数部分出现了连续的“2020”，例如，就称它为“好数”.则“好数”的分母的第二小的可能值为_.二、双空题34（2018全
6、国高三竞赛）阅读下面一道题目的证明，指出其中的一处错误题目：平面上有六个点，任何三点都是三边互不相等三角形的顶点，则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边证明：第一步，对已知的六个点作两两连线，可以得出15条边，记为，.第二步，由于任何三点组成的都是“三边互不相等的三角形”，因此，15条边互不相等不妨设.第三步，由于“任何三点都是三边互不相等三角形的顶点”，因此，任取三条边都可以组成三角形，则、组成的三角形的最长边，也是、组成的三角形的最短边,命题得证.这三步中，第_步有错误，理由是_.三、解答题35（2019全国高三竞赛）在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首
7、先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，依此类推设A、B、C第n次跳到的位置分别为，的三边长分别为a、b、c，面积为S证明:36（2019全国高三竞赛）设异面直线、成角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在、上移动.求线段中点的轨迹方程.37（2018全国高三竞赛）求所有三次多项式，使得对一切，均有.38（2018全国高三竞赛）已知多项式，其中，为实数证明：对任意的实数，方程总有一个相同的实数根39（2018全国高三竞赛）给定正整数,求,其中,表示不超过实数的最大整数.40（2018全国高三竞赛）试求所有的正整数及实数，
8、使得与均为有理数.41（2018全国高三竞赛）实数 满足，试求的值.42（2018全国高三竞赛）已知非零实数、满足（1）求证：二次方程必有实根，且是方程的一个实根；（2）当，时，求、.43（2018全国高三竞赛）设、为复数，求证：44（2019全国高三竞赛）已知非常数的整系数多项式满足.证明：对所有正整数，至少有五个不同的质因数.45（2019贵州高三竞赛）我们知道，目前最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个洞(或数字)，其相对两面之数字和必为七.显然，掷一次六面骰，只能产生六个数之一(正上面).现欲要求你设计一个“十进制骰”，使其掷一次能产生09这十个数之一，而且每个数字
9、产生的可能性一样.请问：你能设计出这样的骰子吗?若能，请写出你的设计方案；若不能，写出理由.46（2019全国高三竞赛）设二元函数的定义域是.（1）求（点）的取值范围；（2）求所有的实数，使得在空间直角坐标系中，曲面（点）与另一个曲面相交.47（2019全国高三竞赛）设直线与函数的图像恰有两个不同的公共点.求出所有这样的直线方程.48（2018全国高三竞赛）已知为实数,且,对的子集,定义.其中,规定，问：从个这样的和中至多可以选出多少个,使得其中任何两个的差的绝对值都小于1?49（2018全国高三竞赛）(1)若正整数n可以表示成)的形式，则称n为“好数”试求与2的正整数次幂相邻的所有好数.(2) 试求不定方程的所有非负整数解50（2018全国高三竞赛）在的方格表中取出46个方格染成红色.证明：存在一块由4个方格构成的区域，其中由至少3个方格被染成红色.
