1、【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题9 平面几何(50题竞赛真题强化训练)一、填空题1(2018天津高三竞赛)凸六边形ABCDEF的6条边长相等,内角A、B、C分别为134、106、134.则内角E是_(用度数作答).2(2020江苏高三竞赛)在平面直角坐标系中,直线与圆:交于,则_3(2021全国高三竞赛)在中,所对的旁切圆与边相切于点D,所对的旁切圆与边相切于点E若,则面积的最大值为_4(2021浙江高三竞赛)在中,在,为上两点,且,点为的内心.若,则_.5(2021全国高三竞赛)设三个不同的正整数成等差数列,且以为三边长可以构成一个三角形,则的最小可能值为_.6(2019贵州高三竞赛)如图
2、,在ABC中,AB=30,AC=20,SABC=210,D、E分别为边AB、AC的中点,BAC的平分线分别与DE、BC交于点F、G,则四边形BGFD的面积为_.7(2018山东高三竞赛)若直线交椭圆(,且、为整数)于点、设为椭圆的上顶点,而的重心为椭圆的右焦点,则椭圆的方程为_8(2018河北高三竞赛)在ABC中,则ABC的面积最大值为_.9(2021全国高三竞赛)已知直角梯形中,对角线、相交于O,P、Q分别是腰、上的点,且,若,则_10(2019山东高三竞赛)ABC中,.在ABC外部,到点B、C的距离小于6的点组成的集合,所覆盖平面区域的面积是_ .二、解答题11(2021全国高三竞赛)已知
3、满足,E、F分别为延长线上的点,且的外接圆与交于不同于E的点K证明:点K在的角平分线上12(2021全国高三竞赛)如图,在平行四边形中,分别是边上的点,线段交于点P,和的外接圆的第二个交点Q位于的内部.证明:.13(2021全国高三竞赛)如图,设O、H分别为的外心与垂心,M、N分别为、的中点是的外接圆的一条直径,如果是一个圆的内接四边形,证明:14(2021全国高三竞赛)如图,已知锐角的外接圆为,过B、C分别作圆的切线交于点P,P在直线、上的投影分别为D、E、F,的外接圆与交于点N(不同于点D),A在上的投影为M求证:15(2021全国高三竞赛)如图,已知等腰三角形中,M为的中点D为线段上一点
4、,E、F分别为上的点,且四边形为平行四边形.交于点P,的延长线交的延长线于点Q,的外接圆交的外接圆于A、K两点求证:K、Q、P、O四点共圆16(2021全国高三竞赛)如图,、为圆的两切线,为圆的一条割线,为切点连线,D为过C、B关于圆的切线的交点,证明:D、E、F共线17(2021全国高三竞赛)如图,在中,G为重心,P为射线上一点,满足,Q为射线上一点,满足,证明:、的外接圆的另一个交点在上18(2021全国高三竞赛)如图,设圆内接四边形的对角线与交于点P,并且与交于Q若,且E是的中点求证:19(2021全国高三竞赛)如图,在中,最短,D、E分别在上满足,设I是内心,O是外心,求证:.20(2
5、021全国高三竞赛)如图,锐角中,为边中点,内切圆与边切一点的内切圆与边切于点,若四边形为平行四边形,求证:在的平分线上.21(2021全国高三竞赛)如图,已知圆O是的外接圆,切线交于点P,D是的中点,K、L分别在线段上,且满足,连结,求证:22(2021全国高三竞赛)点P为椭圆外一点,过P作椭圆两条切线、,切点分别为A、B,连结,点M、N分别为、中点,连结并延长交椭圆于点C,连结交椭圆于另一点D,连结并延长交于Q,证明:Q为的中点23(2021全国高三竞赛)如图,在锐角中,D、E分别是、的中点,的外接圆与的外接圆交于点P(异于E),的外接圆与的外接圆交于点Q(异于D),证明:24(2019江
6、西高三竞赛)如图所示,BE、CF分别是锐角三角形ABC的两条高,以AB为直径的圆与直线CF相交于点M、N,以AC为直径的圆与直线BE相交于点P、Q.证明:M、N、P、Q四点共圆.25(2019山东高三竞赛)已知:正方形ABCD的边长为1点M是边AD的中点以M为圆心AD为直径作圆,点E在线段AB上,且直线CE与圆相切.求CBE的面积.26(2018江西高三竞赛)如图,的内心为,、分别是边、的中点,证明:直线平分的周长27(2018福建高三竞赛)如图,在锐角中,、是边上的点,、的外心分别为、证明:(1);(2)若,则28(2019全国高三竞赛)在中,设C=90,垂足为D,P、Q分别为、的内心,PQ
7、与CD交于点K,记的面积为S.证明:.29(2018全国高三竞赛)如图,与的半径相等,交于X、Y两点. 内接于,且其垂心H在上,点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明:AB、XY、HZ三线共点.30(2021全国高三竞赛)如图,以为直径的圆上有C、D两点,、两点的中点为E、F,直线与直线、分别交于G、H,求证:以为直径的圆和以为直径的圆有一交点在上31(2021全国高三竞赛)如图所示,在等腰中,设点D是边上一点,点E是线段的中点,延长与底边交于点F,证明:若,求证:.32(2021全国高三竞赛)如图,在锐角中,已知点DEF分别是点ABC在边上的投影,的内心分别为,的外心分别为,证明:.33(
8、2021全国高三竞赛)如图,是的一条弦,的垂直平分线交于两点,交于点为内一点,外接圆交于点的外接圆交于点,且点在直线同侧证明:34(2021全国高三竞赛)如图,锐角的外接圆为,D是A在上的射影,假设,点M为中点,的角平分线与交于点N,上一点P满足直线与交于点F,直线与圆再交于点Q直线与的外接圆再交于点E证明:35(2021浙江高三竞赛)如图,是的外接圆,是弧(不含)上一点,为弧的中点.为线段上一点,过作的平行线交于点,过作的平行线交于点,过作的平行线交弧于点.已知上的点满足被平分.证明:.36(2021全国高三竞赛)在锐角中,D为边上一定点,P为边上一动点,直线交于点Q,交于点X、的三个外接圆
9、分别交于X外的另三点、,过、分别作垂线、,证明:、均过定点37(2021全国高三竞赛)在中,点P、Q、R分别位于边、上,、分别是、的外接圆,线段与、分别相交于点X、Y、Z.证明:38(2021全国高三竞赛)点是的外接圆圆心,含点的的中点为,点在不包含点的上.点在圆上且.点在线段上.过点作的平行线交于点,过点作的平行线交于点.点在圆上,使得是的角平分线.证明:.39(2021全国高三竞赛)如图,在中,且为边上的高,为边上的中线,为的平分线,与分别交于两点,与交于点,令求证:,且是最好的界(即可以无限接近于)40(2021全国高三竞赛)设的内心为点,内切圆分别切于直线与交于点连结并延长,交于点求证
10、:是中点41(2021全国高三竞赛)已知上依次四点ABCD,射线交于点P.射线交于点Q,弦交于点R,点M为线段的中点.过点O作的垂线,分别于点UV.过点U作的切线,与切于点K.证明:(1)PQVO四点共圆;(2)KMR三点共线.42(2020全国高三竞赛)如图,在等腰中,I为内心,M为的中点,P为边上一点,满足,延长线上一点H满足,Q为的外接圆上劣弧的中点证明:43(2020全国高三竞赛)如图,在锐角ABC中,M是BC边的中点点P在ABC内,使得AP平分BAC.直线MP与ABP、ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D、E.证明:若DE=MP,则BC=2BP.44(2019江苏高三竞赛)如图
11、所示,D是ABC中,边BC的中点,K为AC与ABD的外接圆O的交点,EK平行于AB且与圆O交于E,若AD=DE,求证:.45(2019广西高三竞赛)如图所示,AD、AH分别是ABC(其中ABAC)的角平分线、高线,点M是AD的中点,MDH的外接圆交CM于点E.求证:AEB=90.46(2019福建高三竞赛)如图,OH分别为锐角ABC的外心垂心,ADBC于D,G为AH的中点点K在线段GH上,且满足GK=HD,连结KO并延长交AB于点E. (1) 证明:;(2) 证明:.47(2019全国高三竞赛)如图,点ABCDE在一条直线上顺次排列,满足BC=CD=,点P在该直线外,满足PB=PD.点KL分别在线段PBPD上,满足KC平分BKE,LC平分ALD.证明:AKLE四点共圆.48(2021全国高三竞赛)如图,给定两个相交的圆与,A、B为、的交点,一动直线经过B与交于点C,与交于点D,且B在线段内,过C的的切线与过D的的切线相交于点M,连结交于点E,过点E作的平行线交于点K,求点K的轨迹.(2021全国高三竞赛)的外接圆与内切圆分别为、,为旁切圆49证明:存在唯一圆,与内切、与外切,并且与内切于点A50设圆与、的切点分别为P、Q如果,求证: