1、小学生的数学认知小学生的数学认知小学数学概念的学习小学数学概念的学习小学数学命题的学习小学数学命题的学习小学数学学习方式小学数学学习方式小学数学学习中几个需要注意的问题小学数学学习中几个需要注意的问题数学认知结构数学认知结构小学生数学认知的基本方式小学生数学认知的基本方式小学生建构数学认知结构的一般过程小学生建构数学认知结构的一般过程一、小学生的数学认知一、小学生的数学认知u数学认知结构数学认知结构n定义定义：就是学生头脑里的数学知识按照自己：就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个忆、思
2、维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。具有内部规律的整体结构。n是数学知识结构与学生心理结构相互作用的是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。产物。u数学认知结构数学认知结构n数学认知结构有对有错数学认知结构有对有错 案例案例：奇数与偶数；单数与双数；奇数与偶数；单数与双数；6=23n数学认知结构因人而异数学认知结构因人而异n数学认知结构是一个不断发展变化的动态结数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构构 案例案例：学习三角形学习三角形u小学生数学认知的基本方式小学生数学认知的基本方式n同化同化n顺应顺应n同化与顺应的关系同化与顺应的关系u同化同化 n定义定义：在数学学习
3、中，同化是指学生在学习中将新的：在数学学习中，同化是指学生在学习中将新的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。数学认知结构发生量变的过程。n必要条件必要条件：是所学习的新知识与原有认知结构中的有：是所学习的新知识与原有认知结构中的有关内容相联系，即原有认知结构中有能够同化新知识关内容相联系，即原有认知结构中有能够同化新知识的旧知识。的旧知识。n同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。学习。u同化同化 n案例案例1：异分母分数加减法：异分母分数加减法n案例案
4、例2：小数除以小数，如：小数除以小数，如4.2250.65n案例案例3：直角三角形的定义：直角三角形的定义u同化的分类同化的分类 n归属学习归属学习n归总学习归总学习n联合学习联合学习u归属学习归属学习 n定义定义：指学生已有认知结构中的数学知识在包：指学生已有认知结构中的数学知识在包摄性和概括水平上高于所要学习的新知识时，摄性和概括水平上高于所要学习的新知识时，把新的数学知识直接归属于原有认知结构的适把新的数学知识直接归属于原有认知结构的适当部位，使新旧内容相互联系的学习过程。当部位，使新旧内容相互联系的学习过程。n课例课例1：三角形的分类三角形的分类n课例课例2：真分数与假分数真分数与假分
5、数u归总学习归总学习 n定义定义：指学生掌握结构概念或命题之后，进一步：指学生掌握结构概念或命题之后，进一步学习一个包摄性和概括化水平更高的概念或命题学习一个包摄性和概括化水平更高的概念或命题的过程。的过程。n课例课例1：小数加减法与自然数加减法的竖式计算小数加减法与自然数加减法的竖式计算n课例课例2：长方形、正方形、平行四边形面积公式长方形、正方形、平行四边形面积公式n课例课例3：长方体、正方体、圆柱体积公式长方体、正方体、圆柱体积公式u联合学习联合学习 n定义定义：指所学新知识与学生认知结构中的原有：指所学新知识与学生认知结构中的原有 知识既不能产生归属关系又不能形成归总关系，知识既不能产
6、生归属关系又不能形成归总关系，但在学习中把它们合理地联合起来可能产生某但在学习中把它们合理地联合起来可能产生某种新的意义的学习过程。种新的意义的学习过程。n条件条件：学习的新知识本身必须具有逻辑意义；：学习的新知识本身必须具有逻辑意义； 用于联合的原有知识与新知识之间要具用于联合的原有知识与新知识之间要具 备产生新意义的要素备产生新意义的要素n课例课例：分数与除法的关系分数与除法的关系u巩固练习：判断学习类型巩固练习：判断学习类型 n案例案例1：多边形的面积：多边形的面积 长方形与正方形面积；长方形与正方形面积； 三角形与梯形面积三角形与梯形面积n案例案例2：从梯形面积出发推出其它多边形的面：
7、从梯形面积出发推出其它多边形的面 积积u顺应顺应 n定义定义：是指某些新的数学知识不能直接同化到：是指某些新的数学知识不能直接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造学生的原有认知结构使其适应新知识的学习，学生的原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。简言去，从而建立新的数学认知结构的过程。简言之，顺应就是改造原有认知结构而建立新的数之，顺应就是改造原有认知结构而建立新的数学认知结构的过程。学认知结构的过程。n顺应主要适合于那些与旧知识没有
8、直接联系的顺应主要适合于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。新知识的学习。u顺应顺应 n运用顺应方式改组原有认知结构接纳新知识主要运用顺应方式改组原有认知结构接纳新知识主要通过两种途径实现：调整和并列。通过两种途径实现：调整和并列。n调整调整：就是改变原有认知结构的组织形式，或赋：就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。n并列并列：就是赋予新知识和原有认知结构中某些观：就是赋予新知识和原有认知结构中某些观念以一定意义的外在联系，并把
9、新知识与旧知识念以一定意义的外在联系，并把新知识与旧知识连接成一定的结构。连接成一定的结构。u顺应顺应 n调整课例调整课例：分数认识；：分数认识； 方程法与算术法求未知数方程法与算术法求未知数n并列课例并列课例：分数乘法与整数乘法意义：分数乘法与整数乘法意义u同化与顺应的关系同化与顺应的关系 n同化是促进原有认知结构量变从而扩大认知结同化是促进原有认知结构量变从而扩大认知结构内容的过程，而顺应是使原有认知结构发生构内容的过程，而顺应是使原有认知结构发生质变从而建立新的数学认知结构的过程。质变从而建立新的数学认知结构的过程。n同化是改造新学习内容使其与原有认知结构相同化是改造新学习内容使其与原有
10、认知结构相吻合，而顺应是改造学生原有的认知结构以适吻合，而顺应是改造学生原有的认知结构以适应新学习内容的需要。应新学习内容的需要。n在数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互在数学学习中，同化和顺应总是相辅相成、互为补充的。为补充的。u小学生建构数学认知结构的一般过程小学生建构数学认知结构的一般过程 n输入新内容输入新内容：通过恰当的形式向学生呈现所要学习的通过恰当的形式向学生呈现所要学习的新内容，提出新的学习任务和要求，创设合适的学习新内容，提出新的学习任务和要求，创设合适的学习情境情境n新知识同原有认知结构的相互作用新知识同原有认知结构的相互作用：通过同化或顺应，通过同化或顺应，扩大原有认知
11、结构内容或建立新的数学认知结构雏形扩大原有认知结构内容或建立新的数学认知结构雏形（书（书P145）n强化巩固强化巩固：主要途径是练习（书主要途径是练习（书P145）n反馈检查反馈检查：强化巩固正确，及时矫正错误（书强化巩固正确，及时矫正错误（书P146）数学概念及其学习的含义数学概念及其学习的含义数学概念的构成数学概念的构成小学数学概念学习的基本方式小学数学概念学习的基本方式影响小学数学概念学习的主要因素影响小学数学概念学习的主要因素二、小学数学概念的学习二、小学数学概念的学习u数学概念及其学习的含义数学概念及其学习的含义n数学概念的定义数学概念的定义：是客观世界中数量关系和空间形：是客观世界
12、中数量关系和空间形式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语式的本质属性在人们头脑中的反映，它是用数学语言和符号揭示事物共同属性的思维形式言和符号揭示事物共同属性的思维形式n基本组成基本组成：名称；例证；特征；定义：名称；例证；特征；定义n数学概念学习的定义数学概念学习的定义：其实质就是学生认识、理解：其实质就是学生认识、理解同类数量关系或空间形式共同特征的心理过程。同类数量关系或空间形式共同特征的心理过程。u数学概念的构成数学概念的构成n数学概念由内涵与外延两个方面构成。数学概念由内涵与外延两个方面构成。n概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，
13、叫做这个概念的内涵。这个概念的内涵。n概念反映的所有对象的全体叫做这个概念的外延。概念反映的所有对象的全体叫做这个概念的外延。n概念的内涵是概念的概念的内涵是概念的“质质”的反映，概念的外延是的反映，概念的外延是概念的概念的“量量”的反映。的反映。u数学概念的构成数学概念的构成n具有从属关系的概念的内涵与外延之间具有反向对具有从属关系的概念的内涵与外延之间具有反向对应关系：应关系： 概念的内涵扩大，其外延就缩小；反之，概念的内概念的内涵扩大，其外延就缩小；反之，概念的内涵缩小，其外延就扩大。涵缩小，其外延就扩大。n特例分析：四边形特例分析：四边形平行四边形平行四边形矩形。矩形。n举例说明。举例
14、说明。u小学数学概念学习的基本方式小学数学概念学习的基本方式n数学概念形成数学概念形成：是指学生依据直接经验，从：是指学生依据直接经验，从大量的具体例子出发，在数学概念的具体例大量的具体例子出发，在数学概念的具体例证中通过归纳抽取一类数量关系或空间形式证中通过归纳抽取一类数量关系或空间形式的共同属性，从而获得初级概念，并把概念的共同属性，从而获得初级概念，并把概念的本质属性推广到同类事物中的过程。的本质属性推广到同类事物中的过程。n举例举例：图形的初步认识；图形的初步认识； 方程的意义方程的意义u小学数学概念学习的基本方式小学数学概念学习的基本方式n数学概念同化数学概念同化：就是利用学生头脑里
15、已有的数学概念，就是利用学生头脑里已有的数学概念，以定义的方式直接揭示概念的本质属性，从而获得二以定义的方式直接揭示概念的本质属性，从而获得二级概念（即在已有概念的基础上通过掌握概念的定义级概念（即在已有概念的基础上通过掌握概念的定义而获得的概念）的过程。而获得的概念）的过程。n举例举例：方程的解；：方程的解； 平行四边形平行四边形概念同化与概念形成的异同概念同化与概念形成的异同n概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括，概念同概念形成主要依靠对具体事物的抽象概括，概念同化则主要依靠学生对新旧知识的联系。化则主要依靠学生对新旧知识的联系。n在小学、特别是低年级的数学学习中，较多的是按在小学、特别是
16、低年级的数学学习中，较多的是按概念形成的方式进行。随着学生年龄的增长、概念概念形成的方式进行。随着学生年龄的增长、概念的增多和认知结构的不断发展，概念同化便逐渐成的增多和认知结构的不断发展，概念同化便逐渐成为学生获得数学概念的主要方式。为学生获得数学概念的主要方式。n两种方式往往是扬长避短结合使用的。两种方式往往是扬长避短结合使用的。u影响小学数学概念学习的主要因素影响小学数学概念学习的主要因素n学生已有的知识经验学生已有的知识经验n学生的抽象概括能力学生的抽象概括能力n感性材料或感性经验感性材料或感性经验n学生语言表达能力学生语言表达能力小学数学命题及其学习要求小学数学命题及其学习要求小学数
17、学命题学习的基本形式小学数学命题学习的基本形式小学生学习运算法则的心理分析小学生学习运算法则的心理分析三、小学数学命题的学习三、小学数学命题的学习u小学数学命题及其学习要求小学数学命题及其学习要求n理解数学命题的推导与总结过程，不仅懂得各个数学理解数学命题的推导与总结过程，不仅懂得各个数学命题是怎样规定的，而且还懂得为什么要这样规定命题是怎样规定的，而且还懂得为什么要这样规定 思考：为什么除数不能为思考：为什么除数不能为0？n将总结出来的数学命题灵活运用到各种具体情境中去将总结出来的数学命题灵活运用到各种具体情境中去解决相应的问题，对于一些基本的数学命题，其运用解决相应的问题，对于一些基本的数
18、学命题，其运用水平应达到比较熟练的程度水平应达到比较熟练的程度n掌握不同数学命题之间的关系，明确它们之间的区别掌握不同数学命题之间的关系，明确它们之间的区别和联系和联系u小学数学命题学习的基本形式小学数学命题学习的基本形式n下位学习下位学习：如果学习者原有认知结构中有在概：如果学习者原有认知结构中有在概括层次上高于所学新命题的知识，那么新命题括层次上高于所学新命题的知识，那么新命题和原有认知结构中的有关知识就构成下位关系，和原有认知结构中的有关知识就构成下位关系，利用这种关系获得数学命题的学习形式叫下位利用这种关系获得数学命题的学习形式叫下位学习。学习。n分类分类：派生类属学习（正方形的面积）
19、；：派生类属学习（正方形的面积）； 相关类属学习（梯形的面积）相关类属学习（梯形的面积）n上位学习上位学习：通过对原有认知结构中有关内容的归纳和：通过对原有认知结构中有关内容的归纳和综合，概括出新的数学命题的学习形式叫做上位学习。综合，概括出新的数学命题的学习形式叫做上位学习。 课例：分数除法课例：分数除法n基本条件：所学习的数学命题在概括层次上一定要基本条件：所学习的数学命题在概括层次上一定要 高于原有认知结构中的已有知识；高于原有认知结构中的已有知识； 原有认知结构中一定要有可供归纳和概括原有认知结构中一定要有可供归纳和概括 的内容的内容u小学数学命题学习的基本形式小学数学命题学习的基本形
20、式n并列学习并列学习：利用所学数学命题与原有认知结构：利用所学数学命题与原有认知结构中有关知识之间的并列关系，通过类比掌握数中有关知识之间的并列关系，通过类比掌握数学命题的学习形式叫做并列学习。学命题的学习形式叫做并列学习。n举例举例：圆的面积公式与圆柱的体积公式；：圆的面积公式与圆柱的体积公式； 分数的基本性质与比的基本性质分数的基本性质与比的基本性质u小学数学命题学习的基本形式小学数学命题学习的基本形式u小学生学习运算法则的心理分析小学生学习运算法则的心理分析n从具体到抽象再到具体的过程从具体到抽象再到具体的过程n从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省
21、略的思维活动的过程思维活动的过程n从明确意识法则到完全不用意识法则的过程从明确意识法则到完全不用意识法则的过程n阅读两个启示：书阅读两个启示：书P154倒数第二段倒数第二段有意义的接受学习有意义的接受学习自主学习自主学习合作学习合作学习探究学习探究学习四、小学数学学习方式四、小学数学学习方式u有意义的接受学习有意义的接受学习n定义：是指在课堂教学中教师采用讲授或演示等方式，定义：是指在课堂教学中教师采用讲授或演示等方式，以定论的形式将所要教学的数学知识提供给学生，学以定论的形式将所要教学的数学知识提供给学生，学生根据教师的讲授或演示进行积极思维活动，使新知生根据教师的讲授或演示进行积极思维活动
22、，使新知识与头脑里已有的旧知识之间建立起实质性的联系，识与头脑里已有的旧知识之间建立起实质性的联系，并通过这种联系实现对所学新知识的内化并通过这种联系实现对所学新知识的内化n基本条件：学生具有主动接受数学知识的心理倾向；基本条件：学生具有主动接受数学知识的心理倾向； 学习材料要具有潜在意义；学习材料要具有潜在意义； 学生头脑里要具有联系新内容的知识经验学生头脑里要具有联系新内容的知识经验u有意义的接受学习有意义的接受学习n优势：是学生获取数学知识的主要手段；优势：是学生获取数学知识的主要手段； 是一种经济有效的学习方式；是一种经济有效的学习方式； 有利于学生正确理解数学知识，保证数学知识有利于
23、学生正确理解数学知识，保证数学知识 的科学性的科学性n不足：在教学中若过分强调教师的讲授，则容易产生不足：在教学中若过分强调教师的讲授，则容易产生 灌输的现象，导致学生的被动学习和机械接受；灌输的现象，导致学生的被动学习和机械接受； 处理不当会影响知识形成过程的了解，削弱经历处理不当会影响知识形成过程的了解，削弱经历 与体验；与体验； 情感体验，数学学习乐趣较少情感体验，数学学习乐趣较少 u小学生学习运算法则的心理分析小学生学习运算法则的心理分析n从具体到抽象再到具体的过程从具体到抽象再到具体的过程n从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程
24、思维活动的过程n从明确意识法则到完全不用意识法则的过程从明确意识法则到完全不用意识法则的过程n阅读两个启示：书阅读两个启示：书P154倒数第二段倒数第二段u小学生学习运算法则的心理分析小学生学习运算法则的心理分析n从具体到抽象再到具体的过程从具体到抽象再到具体的过程n从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程思维活动的过程n从明确意识法则到完全不用意识法则的过程从明确意识法则到完全不用意识法则的过程n阅读两个启示：书阅读两个启示：书P154倒数第二段倒数第二段u小学生学习运算法则的心理分析小学生学习运算法则的心理分析n从具体到抽象再到具体的过
25、程从具体到抽象再到具体的过程n从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程思维活动的过程n从明确意识法则到完全不用意识法则的过程从明确意识法则到完全不用意识法则的过程n阅读两个启示：书阅读两个启示：书P154倒数第二段倒数第二段要循序渐进地进行要循序渐进地进行要关注数学知识的形成过程要关注数学知识的形成过程要重视感性材料的作用要重视感性材料的作用要加强教师的指导作用要加强教师的指导作用五、小学数学学习中几个需要注意的问题五、小学数学学习中几个需要注意的问题u要循序渐进地进行要循序渐进地进行n遵循数学知识本身的逻辑顺序遵循数学知识本身的逻辑顺序n
26、遵循学生的认识发展顺序遵循学生的认识发展顺序u要关注数学知识的形成过程要关注数学知识的形成过程n数学学习要联系生活实际，充分利用所学数学数学学习要联系生活实际，充分利用所学数学知识在现实生活中的实际背景去理解知识知识在现实生活中的实际背景去理解知识n充分利用新旧知识之间的联系学习数学充分利用新旧知识之间的联系学习数学n对自己的学习进行反思对自己的学习进行反思u要重视感性材料的作用要重视感性材料的作用n通过感性材料帮助学生在头脑里建立数学知识的表象，通过感性材料帮助学生在头脑里建立数学知识的表象，利用表象的中介作用实现学生对所学数学知识的理解利用表象的中介作用实现学生对所学数学知识的理解与保持与
27、保持n通过感性材料降低学习难度，排除思维障碍，确保学通过感性材料降低学习难度，排除思维障碍，确保学生在数学学习的智力活动中逻辑思维得以顺利进行生在数学学习的智力活动中逻辑思维得以顺利进行n利用感性材料的直观形象，特别是计算机多媒体形象利用感性材料的直观形象，特别是计算机多媒体形象化的演示活动，把那些静态的数学知识转化成一种动化的演示活动，把那些静态的数学知识转化成一种动态的活动过程，引导学生结合动态的画面更好地理解态的活动过程，引导学生结合动态的画面更好地理解数学知识的形成过程数学知识的形成过程u要加强教师的指导作用要加强教师的指导作用n创设合适的学习情境创设合适的学习情境 一方面激发学生的学习兴趣，调动他们学习的一方面激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，让他们带着强烈的学习愿望参与数学积极性，让他们带着强烈的学习愿望参与数学学习；另一方面通过具体的问题情境为学生提学习；另一方面通过具体的问题情境为学生提供学习资源和活动线索供学习资源和活动线索n引导学生的学习方式引导学生的学习方式n及时解决学生学习中的疑难问题及时解决学生学习中的疑难问题
