1、第11讲 双曲线新课标要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标(c,0)(0，c)a，b，c的关系c2a2b23.双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)范围xa或xaya或ya顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长虚轴长2b，实轴长2a焦点(c,0
2、)，(c,0)(0，c)，(0，c)焦距2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点离心率e(1，)渐近线yx，yxyx，yx4.直线与双曲线的位置关系及判定直线：AxByC0，双曲线：1(a0，b0)，两方程联立消去y，得mx2nxq0.则直线与双曲线的位置关系如下表：位置关系公共点个数判定方法相交2个或1个m0或相切1个m0且0相离0个m0且0名师导学知识点1 双曲线定义的应用【例1-1】(1)动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是()A双曲线B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若方程1表示双曲线，则k的取值范围是()A(5，) B(，3)C(3,5)
3、 D(，3)(5，)【变式训练1-1】(1)(马鞍山高二测试)已知点P的坐标满足4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C两条射线 D一条射线(2)若动点P到F1(5,0)与F2(5,0)的距离的差为8，则P点的轨迹方程是()A.1 B1C.1 D1知识点2 求双曲线的标准方程【例2-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，a3，c5；(2)与椭圆1有共同焦点，且过点(3，)的双曲线的标准方程；(3)经过两点(3，4)，.【变式训练2-1】已知椭圆1(a0)与双曲线1有相同的焦点，则a的值为()A.BC4 D知识点3 双曲线定义及其标准方程的应用【例3-1】如图所示，若
4、F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【变式训练3-1】已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状知识点4 双曲线的简单几何性质【例4-1】求双曲线4y29x24的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图【变式训练4-1】(北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0
5、)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_知识点5 利用双曲线的性质求双曲线的标准方程【例5-1】根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为；(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)与双曲线x21共渐近线，焦点坐标为(2,0)【变式训练5-1】求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分知识点6 双曲线的离心率问题【例6-1】(1)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为()
6、A.BC4 D(2)双曲线1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是_【变式训练6-1】(1)(北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A. B4 C2 D(2)(全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则双曲线C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C. D知识点7 直线与双曲线的位置关系【例7-1】已知过点P(0,1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，求直线l的斜率k的值【变式训练7-1】(龙岩一中月考)斜率为2的直线l过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，且与双曲线的左、右
7、两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是()A2，) B(1，)C(1，) D(，)知识点8 弦长问题【例8-1】(福州检测)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，虚轴长为4.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求OAB的面积【变式训练8-1】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值知识点9 中点弦问题【例9-1】(吉林实验中学检测)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且.(1)求
8、双曲线C的方程；(2)已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B且线段AB的中点P在圆x2y25上，求m的值【变式训练9-1】双曲线C：x2y22右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率k的值若不存在，则说明理由名师导练3.2.1 双曲线及其标准方程A组-应知应会1双曲线1的焦距为10，则实数m的值为()A4 B16C16 D812双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为()A. B C. D3若M在双曲线1上，双曲线的两个焦点分别为F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则|MF1|的值为()A4 B
9、8 C12 D244已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，P点在双曲线C上，F1PF260，则P到x轴的距离为()A. B C. D5已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()Ax21(x1) Bx21(x0) Dx21(x1)6已知点F1(，0)，F2(，0)，动点P满足|PF2|PF1|2，当点P的纵坐标为时，点P到坐标原点的距离是()A. B C. D27已知P是双曲线1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|17，则|PF2|的值为_8中心在原点，实轴在y轴上，一个焦点为
10、直线3x4y240与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_9已知定点A，B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为_10(马鞍山测试)已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左，右焦点，且三角形三内角A，B，C满足sin Bsin Asin C.(1)求|AB|；(2)求顶点C的轨迹方程11求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.12已知椭圆1与双曲线x21有公共点P，求P与双曲线的两个焦点的连线构成的三角形的面积B组-素养提升(广州模拟)若椭圆1与双曲线1(m，n，p，
11、q均为正数)有共同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则|PF1|PF2|等于()Ap2m2 BpmCmp Dm2p23.2.2 双曲线的简单几何性质A组-应知应会1(大庆市模拟)已知双曲线1，则该双曲线的渐近线方程为()A9x4y0 B4x9y0C3x2y0 D2x3y02双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx3(淮北市第一中学月考)F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A，B两点，若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A. B C. D4已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分
12、别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线的交点为(4,3)，则此双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D15点P在双曲线1(a0，b0)上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，F1PF290，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A2 B3C4 D56设F1，F2分别是双曲线M：1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，若点F2满足0，则双曲线的离心率e的取值范围是()A1e1C1e7若双曲线1(a0)的离心率为，则a_.8已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点F(，0)，则a
13、_，b_.9设双曲线C：1(a0，b0)经过点(4,1)，且与y21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_10求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的一条渐近线方程为xy0，且与椭圆x24y264共焦点；(2)与双曲线1有共同渐近线，且经过点(3，2)11(1)已知双曲线的渐近线方程为yx，求双曲线的离心率；(2)双曲线的离心率为，求双曲线的两渐近线的夹角12设双曲线1(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率B组-素养提升(全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2
14、a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则双曲线C的离心率为()A. B C2 D3.2.3 直线与双曲线的位置关系A组-应知应会1(哈尔滨三中二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线经过圆E：x2y22x4y0的圆心，则双曲线C的离心率为()A. BC2 D2过双曲线x21的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|4，则这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条3(龙岩一中月考)已知双曲线1(a0，b0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1、k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dy2x4若圆(
15、x)2(y1)23与双曲线1(a0，b0)的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为()A. BC2 D5若斜率存在且过点P的直线l与双曲线1(a0，b0)有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于()A2B4 C1或2D2或46已知直线yx与双曲线1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPAkPB()A. BC. D与P点位置有关7已知直线l：ykx与双曲线4x2y216，若直线l与双曲线有两个公共点，则实数k的取值范围是_8(北京西城区二模)双曲线C：1的焦距是_；若圆(x1)2y2r2(r0)与双曲线C的渐近
16、线相切，则r_.9(吉林实验中学期中)已知直线yx2与双曲线1的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使t，则t的值_10已知双曲线1(b0)的右焦点为(2,0)(1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x2围成的三角形的面积11(平顶山期末调研)已知双曲线C的渐近线方程为yx，右焦点坐标为(2,0)，O为坐标原点(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且0，试求实数k的取值范围12已知直线yax1与双曲线3x2y21相交于A，B两点(1)求线段|AB|的长；(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？B组-素养提升(全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则双曲线C的离心率为_
