1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 等比数列及其前 n 项和 A组 基础题组 1.在等比数列 an中 ,a2a3a4=8,a7=8,则 a1=( ) A.1 B.1 C.2 D.2 2.已知 Sn是各项均为正数的等比数列 an的前 n项和 ,若 a2a 4=16,S3=7,则 a8=( ) A.32 B.64 C.128 D.256 3.已知等比数列 an的前 n项和 Sn=a2 n-1+ ,则 a的值为 ( ) A.- B. C.- D. 4.(2017 课标全国 ,3,5 分 )我国古代数学名著算法统宗中有如下问题 :“ 远望巍巍塔七层 ,红光点点倍加增 ,共灯三百八十一 ,请问尖头
2、几盏灯 ?” 意思是 :一座 7层塔共挂了 381盏灯 ,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍 ,则塔的顶层共有灯 ( ) A.1 盏 B.3盏 C.5盏 D.9 盏 5.(2017广东广州综合测试 (一 )已知等比数列 an的各项都为正数 ,且 a3, a5,a4成等差数列 ,则 的值是 ( ) A. B. C. D. 6.设等比数列 an的前 n项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= . 7.(2017 东北四市模拟 )等比数列 an的各项均 为正数 ,Sn是其前 n项和 ,且满足 2S3=8a1+3a2,a4=16,则S4= . 8.设等比数列 an的前 n项和为 S
3、n,若 27a3-a6=0,则 = . 9.已知数列 an满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n2). (1)求证 :an+1+2an是等比数列 ; (2)求数列 an的通项公式 . 10.(2017课标全国 ,17,12 分 )记 Sn为等比数列 an的前 n项和 .已知 S2=2,S3=-6. (1)求 an的通项公式 ; (2)求 Sn,并判断 Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 1.在正项等比数列 an中 ,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n等于 ( ) A.12
4、B.13 C.14 D.15 2.在递增的等比数列 an中 ,已知 a1+an=34,a3a n-2=64,且前 n项和 Sn=42,则 n等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2018 云南昆明质检 )已知 an是等差数列 ,满足 a1=3,a4=12,数列 bn满足 b1=4,b4=20,且 bn-an为等 比数列 . (1)求数列 an和 bn的通项公式 ; (2)求数列 bn的前 n项和 . 4.设数列 an的前 n项和为 Sn,nN *.已知 a1=1,a2= ,a3= ,且当 n2 时 ,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求 a4的值 ; (2)证明
5、: 为等比数列 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.A 因为数列 an是等比数列 ,所以 a2a3a4= =8,所以 a3=2,所以 a7=a3q4=2q4=8,所以 q2=2,则 a1= =1,故选A. 2.C 由题意及等比数列的性质 知a2a 4= =16,a n0,a 3=4,a 3=a1q2=4,S3=7,S 3= =7,S2= =3,3q 2-4q-4=0,解得 q=- 或q=2,a n0,q=2,a 1=1,a 8=27=128. 3.A 当 n2 时 ,Sn-Sn-1=a2 n-1-a2 n-2=a2 n-2,a n=a2 n-2.当 n=1时
6、 ,a1=S1=a+ ,所以 a+ = ,所以 a=- . 4.B 由题意可设 ,由上到下灯的盏数为 a1,a2,a3,?,a 7构成以 2为公比的等比数列 ,S 7= =381,a 1=3.故选 B. 5.A 设等比数列 an的公比为 q,由 a3, a5,a4成等差数列可得 a5=a3+a4,即 a3q2=a3+a3q,故 q2-q-1=0,解得q= 或 q= (舍去 ),由 = = = = = = .故选 A. 6. 答案 63 解析 由等比数列的性质得 (S4-S2)2=S2(S 6-S4),即 122=3(S 6-15),解得 S6=63. 7. 答案 30 解析 由题意得 ,2(a
7、1+a2+a3)=8a1+3a2,所以 2a3-a2-6a1=0.设 an的公比为 q(q0),则 2a1q2-a1q-6a1=0,即2q2-q-6=0,解得 q=2或 q=- (舍去 ).因为 a4=16,所以 a1=2,则 S4= =30. 8. 答案 28 解析 设等比数列 an的公比为 q. 27a 3-a6=0,即 a6=a3q3=27a3,q 3=27, = = =1+q3=1+27=28. 9. 解析 (1)证明 :a n+1=an+6an-1(n2),a n+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n2). a 1=5,a2=5,a 2+2a1=15,a n+2
8、an-10(n2), =3(n2), =【 ;精品教育资源文库 】 = 数列 an+1+2an是以 15为首项 ,3 为公比的等比数列 . (2)由 (1)得 an+1+2an=153 n-1=53 n,则 an+1=-2an+53 n,a n+1-3n+1=-2(an-3n). a 1-3=2,a n-3n0,a n-3n是以 2为首项 ,-2为公比的等比数列 . a n-3n=2( -2)n-1,即 an=2( -2)n-1+3n. 10. 解析 (1)设 an的公比为 q,由题设可得 解得 q=-2,a1=-2. 故 an的通项公式为 an=(-2)n. (2)由 (1)可得 Sn= =
9、- +(-1)n . 由于 Sn+2+Sn+1=- +(-1)n =2 =2Sn, 故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列 . B组 提升题组 1.C 设数列 an的公比为 q,由 a1a2a3=4= q3与 a4a5a6=12= q12可得 q9=3,由于 an-1anan+1= q3n-3=324,因此q3n-6=81=34=q36,所以 3n-6=36,解得 n=14. 2.A 因为 an为等比数列 ,所以 a3a n-2=a1a n=64,又 a1+an=34,所以 a1,an是方程 x2-34x+64=0的两根 ,解得 或 又因 为 an是递增数列 ,所以 由 Sn= = =42,解
10、得 q=4,由an=a1qn-1=24 n-1=32,解得 n=3,故选 A. 3. 解析 (1)设等差数列 an的公差为 d,由题意得 d= = =3. 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?). 设等比数列 bn-an的公比为 q,由题意得 q3= = =8,解得 q=2. 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,?). (2)由 (1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,?). =【 ;精品教育资源文库 】 = 数列 3n的前 n项 和为 n(n+1),数列 2n-1的前 n项和为 1 =2n-1. 所以数列 bn的前
11、 n项和为 n(n+1)+2n-1. 4. 解析 (1)当 n=2时 ,4S4+5S2=8S3+S1,即 4(a1+a2+a3+a4)+5(a1+a2)=8(a1+a2+a3)+a1,整理得 a4= , 又 a2= ,a3= ,所以 a4= . (2)证明 :当 n2 时 ,有 4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1,即 4Sn+2+4Sn+Sn=4Sn+1+4Sn+1+Sn-1, 所以 4(Sn+2-Sn+1)=4(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1),即 an+2=an+1- an(n2). 经检验 ,当 n=1时 ,上式成立 . 因为 = = = 为常数 ,且 a2- a1=1, 所以数列 是以 1为首项 , 为公比的等比数列 .
