1、第1页，共36页。目目 录录第2页，共36页。一、静矩一、静矩分别为图形对分别为图形对 z z 轴和轴和 y y 轴的静矩。轴的静矩。说明：说明：1 1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。2 2、静矩的数值可正可负，也可以为零、静矩的数值可正可负，也可以为零。3 3、静矩的单位：、静矩的单位：mm3 3 或或 m3 3yzOdAyz定义定义:面积对轴的一次矩。面积对轴的一次矩。AzSAySAyAzd,d第3页，共36页。对均质薄板来
2、说，形心与重心坐标相同。对均质薄板来说，形心与重心坐标相同。二、形心二、形心AAzzAAyyACACd,dASzASyyCzc,即即:从而：从而：AzSAySCyCz,推论推论1 1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。坐标轴必通过图形的形心。2 2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，即：轴过形心即：轴过形心 S S该轴该轴=0=0 yzOdAyzzCyCC通过形心的轴称为形心轴。通过形心的轴称为形心轴。第4页，共36页。求所示图形对求所示图形对y 轴的静矩。轴的静矩。
3、zyzORz+dz解法解法1 1：zzRzAzSRAydd0222022d21zzRRd21202RR2z)d(212022RRR3023231)(32212RRR第5页，共36页。解法解法2 2：yzO rdrdr+drrrrAzSAAyddsinddsind2002rrR 331R试想想还有没有其它方法？试想想还有没有其它方法？yzO第6页，共36页。三、组合图形的静矩和形心三、组合图形的静矩和形心1 1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：矩的代数和，即：niiiyniiizzASyAS11,其中：
4、其中：Ai i，yi i，zi i 分别代表第分别代表第i个图形的面积和形心坐标，个图形的面积和形心坐标，n n为为分割成的简单图形的个数。分割成的简单图形的个数。2 2、组合图形的形心坐标、组合图形的形心坐标AzAASzAyAASyniiiycniiizc11,其中：其中：yc c、zc c为组合图形的形心坐标，为组合图形的形心坐标，S Sz、S Sy为组合图形分别对为组合图形分别对z z轴和轴和y y轴的静矩轴的静矩,A为组合图形的总面积为组合图形的总面积,niiAA1第7页，共36页。1002014020CzzyC21200010020mmA求所示图形的形心位置。求所示图形的形心位置。2
5、2280014020mmAmmz1501mmz702212211AAzAzAAzAziiiCmm3.1032800200070280015020000Cy由于由于z轴是对称轴轴是对称轴解：解：第8页，共36页。（3 3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图形而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关面积相对于坐标轴的分布情况有关.平面图形的面积相对坐标轴平面图形的面积相对坐标轴越远越远,其惯性矩越大其惯性矩越大;反之反之,其惯性矩越小其惯性矩越小.一、惯性矩一、惯性矩定义：定义：图形面积对某轴的二次矩：图形面积对某轴的二次矩：特点：特点：（
6、1 1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 4、cm4 4 、mm4 4.（2 2）惯性矩恒为正值）惯性矩恒为正值AzIAyIAyAzd,d22yzOdAyz第9页，共36页。其中其中i iy y、i iz z分别为平面图形对分别为平面图形对z z轴和轴和y y轴的轴的惯性半径惯性半径。（4 4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和矩之和:（5 5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积的乘积,即即22yyzzAi
7、IAiI或或AIiAIiyyzzniyiynizizIIII11,第10页，共36页。第11页，共36页。第12页，共36页。（2 2）由于）由于2=y2+z2,所以有所以有Ip=Iy+Iz,即平面图形对通过一点即平面图形对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等,并且等于平面图并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。形坐标原点的极惯性矩。二、极惯性矩二、极惯性矩定义：定义：图形面积对某点的二次矩：图形面积对某点的二次矩：特点：特点：（1 1）具有惯性矩的特点。）具有惯性矩的特点。AdIAp2yzOdAyz第13页，共36页。一、惯性积一、惯性积定义：定
8、义：yzOdAyz图形对一对相互垂直的轴的矩。图形对一对相互垂直的轴的矩。AdyzIAyz 特点特点:(1)(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 4、cm4 4 、mm4 4.(2)(2)其值可正、可负，可为零。其值可正、可负，可为零。(3)(3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。第14页，共36页。有对称轴截面的惯性积有对称轴截面的惯性积Iyz=(yizidA-yizidA)=0第15页，共36页。二、几个主要定义二、几个主要定义(1)(1)主惯性轴：主惯性轴：I Iy y0 0z z0 0=0=0，
9、则，则y y0 0、z z0 0为主惯性轴。为主惯性轴。有对称轴截面的主惯性轴有对称轴截面的主惯性轴Iyz=(yizidA-yizidA)=0当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主惯性轴。轴即为过二者交点的主惯性轴。第16页，共36页。(4)(4)形心主惯性矩：形心主惯性矩：对形心主惯性轴的惯性矩对形心主惯性轴的惯性矩(2)(2)主惯性矩：主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。对任一主惯性轴的惯性矩。(3)(3)形心主惯性轴：形心主惯性轴：过形心的主惯性轴。过形心的主惯性轴。22004212yzzyzyzyIIIIIIIIImi
10、nmax第17页，共36页。dhbzyzdzObdzdA 求所示图形的形心主惯性矩。求所示图形的形心主惯性矩。1232222bhdzbzdAzI/h/hAy 解：解：1232hbdAyIAz zyPIII 求所示图形的形心主惯性矩求所示图形的形心主惯性矩6424dIIIPzy 解：解：)(DIIzy44164 同理，对于空心圆：同理，对于空心圆：zyODd 其其中中dD第18页，共36页。ayyC bzzC AydAzI2 ACdA)bz(2 AACACdAadAyadAy222CyIAb2CyS0 一、惯性矩的平行移轴公式一、惯性矩的平行移轴公式 C C为形心，为形心，y y、z z为原坐标
11、轴，为原坐标轴，y yc c、z zc c为过为过形心形心C C分别与分别与y y、z z平行的坐标轴平行的坐标轴yzOzcycCabyz ACdA)ay(2 AACACdAbdAzbdAz222CzICzSAa20 CyCz第19页，共36页。(1)(1)两平行轴中必须有一轴为过形心轴。两平行轴中必须有一轴为过形心轴。(2)(2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。来换算。(3)(3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。为最小。则
12、有：则有：AaIIAbIIcczzyy22说明：说明：yzOzcycCabyzCyCzdA第20页，共36页。二、惯性积的平行移轴公式二、惯性积的平行移轴公式说明：说明：abAIIcczyyz 不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a a、b b（形（形心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。cczyI AyzyzdAI ACCdA)az)(by(AACACACCdAabdAyadAzbdAzyCCzyIabA0ycS0zcSyzOzcycCabyzCyCz第21页，共36页。三、组合图形形心主惯性矩的计算三、组
13、合图形形心主惯性矩的计算3 3、利用平行移轴公式，叠加、利用平行移轴公式，叠加1 1、确定组合图形的形心主惯性轴、确定组合图形的形心主惯性轴2 2、求各组成图形分别对自身形心轴、求各组成图形分别对自身形心轴y yi i、z zi i轴的惯性矩轴的惯性矩,y yi i、z zi i轴分别轴分别平行与平行与y y、z z轴。轴。a.a.确定形心确定形心b.b.确定形心主惯性轴确定形心主惯性轴)AbI()I(I)AaI()I(Iniiiyniiyyniiizniizzii 121121第22页，共36页。4h4h4h4hddb例例5：试计算图示截面的形心主惯性矩。试计算图示截面的形心主惯性矩。解解：
14、（1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。由于由于y、z为对称轴，故为对称轴，故y、z都为形心都为形心主惯性轴。主惯性轴。（2）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩。性矩。12123311hbI,bhIzy （3 3）计算组合图形的形心惯性矩。）计算组合图形的形心惯性矩。6464122243321dhdbhIIIIyyyy zy6464446422422432dhddhdIIyy 64432dIIzz 321243321dhbIIIIzzzz 第23页，共36页。3003027050例例6：试计算试计算T形截面的形心主惯性矩。形截面的形心主惯性矩
15、。CC1C2zyyc解解：（1）确定形心及形心主惯性轴。）确定形心及形心主惯性轴。90212211 AAzAzAzc 由于由于z为对称轴，故为对称轴，故yc、zc都为形都为形心主惯性轴。心主惯性轴。（2）计算两矩形对自身形心）计算两矩形对自身形心C1、C2的的惯性矩。惯性矩。,.I,.I,.I,.Izyzy63737353108121250270102812270501075612300301075612303002211 611103170 .I)I(Inizniizzi（3 3）计算形心惯性矩。）计算形心惯性矩。61211068203 .)AbI()I(Iniiiyniiyyic第24页，
16、共36页。工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录例如：型号为例如：型号为25a的工字钢的工字钢查表可知：查表可知：mmdcmicmhIWcmIcmAxxxx0.82.10402254.50235.48342第25页，共36页。课堂练习第26页，共36页。求图示截面对求图示截面对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。864)2(2144RRIz1682144RRIz422431212aaaaIz4441631163aaaIz习题负面负面积法积法第27页，共36页。Eg1 Eg1 求图求图I-2I-2所示半圆形的所示半圆形的 静矩静矩及形心
17、位置及形心位置 第28页，共36页。解解：由对称性，由对称性，0Cy0zSydA现取平行于现取平行于 轴的狭长条作为微面积轴的狭长条作为微面积 dzzRydzdA222AyzdAS3022322RdzzRzR34RASzyC 第29页，共36页。Eg2Eg2、如图所示、如图所示,确定其形心位置。确定其形心位置。第30页，共36页。解：将图形看作由两个矩形解：将图形看作由两个矩形I和和组成，组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为1200101201A52101Cy6021201Cz80010802A50280102Cy52101Cz矩形矩形：m
18、m2 mm，矩形矩形：mm2 mm，mmmm第31页，共36页。整个图形形心整个图形形心C的坐标为的坐标为mm2380012005080051200212211AAyAyAyCCCmm3880012005800601200212211AAzAzAzCCC第32页，共36页。yIyzIEg3 求如图求如图I-6所示图形的所示图形的 及及 第33页，共36页。ydzydAyzzhby 解解：取平行于取平行于 轴的狭长矩形，由于轴的狭长矩形，由于 ，其中宽度，其中宽度 随随 变化，变化，43032bhdzzhbdAzIhAyAyzdAyzI82220hbydzyzIhyz由由如图如图则则 第34页，共36页。110CyI Eg4、由两个由两个8号槽钢和两块号槽钢和两块 cm2 钢板组成的截面，钢板组成的截面，如图如图 I-8 I-8，求，求 第35页，共36页。CyICy解：计算解：计算 根据平行移轴公式，求得每一钢板对根据平行移轴公式，求得每一钢板对 轴的惯性矩为轴的惯性矩为3.2035.41101211023IyCI从型钢表中查得每一槽钢对从型钢表中查得每一槽钢对 Cy 轴的惯性矩轴的惯性矩3.101IIyCI为为 cm4 cm4 则该组合截面对则该组合截面对 Cy 轴的惯性矩为轴的惯性矩为2.609)3.1013.203(2)(2IIyIyyCCCIIIcm4第36页，共36页。
