1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十二节 定积分与微积分基本定理 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .2.了解微积分基本定理的含义 (对应学生用书第 42 页 ) 基础知识填充 1定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点将区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i 1,2， ? ， n)，作和式 s f( 1) x1 f( 2) x2 ? f( i) xi ? f( n) xn.当每个小区间的长度 x趋于 0时， s 的值趋于一个常数 A 我们称常数 A叫作
2、函数 f(x)在区间 a， b上的定积分，记作 ?abf(x)dx，即?abf(x)dx limnni 1b anf( i) (2)有关概念 在 ?abf(x)dx 中，? 叫作积分号， a 与 b 分别叫作积分下限与积分上限，函数 f(x)叫作被积函数 (3)定积分的几何意义 f(x) ?abf(x)dx 的几何意义 f(x)0 表示由直线 x a， x b， x 轴及曲线 y f(x)所围 曲边梯形 的面积 f(x) 0 表示由直线 x a， x b， y 0 及曲线 y f(x)所围成的曲边梯形的面积的 相反数 f(x)在 a， b上有正有负 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积 减去
3、位于 x 轴下方的曲边梯形的面积 2.定积分的性质 (1)?ab1dx b a； (2)?abkf(x)dx k?abf(x)dx(k 为常数 )； (3)?abf1(x) f2(x)dx ?abf1(x)dx ?abf2(x)dx； =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)?abf(x)dx?acf(x)dx?cbf(x)dx(其中 acb) 3微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x) F( x)，那么 ?abf(x)dx F(b)F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿 莱布尼茨公式 通常称 F(x)是 f(x)的一个原函数 为了方便，常把 F(
4、b) F(a)记作 F(x)|ba， 即 ?abf(x)dx F(x)|ba F(b) F(a) 知识拓展 函数 f(x)在闭区间 a， a上连续，则有 (1)若 f(x)为偶函数，则 ? aa f(x)dx 2?0af(x)dx. (2)若 f(x)为奇函数，则 ? aa f(x)dx 0. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)设函数 y f(x)在区间 a， b上连续，则 ?abf(x)dx ?abf(t)dt.( ) (2)定积分一定是曲边梯形的面积 ( ) (3)若 ?abf(x)dx 0，那么由 y f(x)的图像，直线 x
5、 a，直线 x b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方 ( ) (4)若 f(x)是偶函数，则 ? aa f(x)dx 2?0af(x)dx.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )已知质点的速率 v 10t，则从 t 0 到 t t0质点所经过的路程是 ( ) A 10t20 B 5t20 C 103t20 D 53t20 B S ?0t0 vdt ?0t010tdt 5t2?t00 5t20. 3.? 11 e|x|dx 的值为 _ 2e 2 ? 11 e|x|dx? 10 e xdx?01exdx e x?0-1 ex?10=【 ;精品教育资源文库 】 =
6、 e0 ( e) (e e0) 1 e e 1 2e 2. 4曲线 y x2与直线 y x 所围成的封闭图形的面积为 _ 16 如图，阴影部分的面积即为所求 由? y x2，y x， 得 A(1,1) 故所求面积为 S ?01(x x2)dx ? ?12x2 13x3 ?10 16. 5若 ?0Tx2dx 9，则常数 T 的值为 _ 3 ?0Tx2dx 13T3 9， T 0， T 3. (对应学生用书第 43 页 ) 定积分的计算 计算下列定积分 (1)?-11 (x2 sin x)dx； (2)?02|1 x|dx； (3)?-11 (x2tan x x3 1)dx. 解 (1)?-11
7、(x2 sin x)dx ?-11 x2dx?-11 sin xdx 2?01x2dx 2 x33?10 23. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)?02|1 x|dx?01(1 x)dx?12(x 1)dx ? ?x 12x2 ?10 ? ?12x2 x ?21 ? ?1 12 0 ? ?122 2 2 ? ?121 2 1 1. (3) x2tan x x3是奇函数 ， ?-11 (x2tan x x3 1)dx?-11 ldx x?1-1 2. 规律方法 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 对被积函数要先化简 ，再求积分 . 求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分 “
8、 对区间的可加性 ” ，分段积分再求和 . 对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分 . 注意用 “ F x f x 检验积分的对错 . 2.根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分 . 跟踪训练 (1)(2018 江西九校联考 )?01(2x 1 x2)dx _. 【导学号： 79140091】 (2)设 f(x)? x2， x0 ， 1，1x， x (1， e)(e 为自然对数的底数 )，则 ?0ef(x)dx 的值为_ (1)1 4 (2)43 (1) ?01 1 x2dx 等于半径为 1 的圆面积的 14， ?01(2x 1 x2)dx?012xdx?01 1 x2d
9、x x2?10 14 1 2 1 4. (2) f(x)? x2， x0 ， 1，1x， x (1， e)， ?0ef(x)dx?01x2dx?1e1xdx ?13x3?10 ln x?e1 13 ln e 43. 定积分的几何意义 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2018 南宁、钦州第二次适应性考试 )定义 mina， b? a， a b，b， a b， 设 f(x) min? ?x2， 1x ，则由函数 f(x)的图像与 x轴、直线 x 2所围成的封闭图形的面积为 ( ) A 712 B 512 C 13 ln 2 D 16 ln 2 (2)已知曲线 y x2 与直线 y kx(
10、k 0)所围成的曲边图形的面积为 43，则 k_. (1)C (2)2 (1)由题意得所求封闭图形的面积为 ?01x2dx?121xdx13x3?10 ln x|21 13ln 2，故选 C (2)由? y x2，y kx， 得 ? x 0，y 0 或 ? x k，y k2， 则曲线 y x2与直线 y kx(k 0)所围成的曲边梯形的面积为 ?0k(kx x2)dx?k2x2 13x3 |k0k3213k3 43， 即 k3 8，所以 k 2. 规律方法 利用定积分求平面图形面积的步骤 根据题意画出图形 . 借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限 . 把曲边梯形的面积表示成若干
11、个定积 分的和 . 计算定积分，写出答案 . 易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数 .当图形的边界不同时，要分不同情况讨论 . 跟踪训练 (1)曲线 y x 2， y x与 x 轴所围成的面积为 _ (2)(2017 山西大学附中第二次模拟 )曲线 y 2sin x(0 x )与直线 y 1 围成的封闭图形的面积为 _. 【导学号： 79140092】 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)76 (2)2 3 23 (1)如图所示，由 y x及 y x 2 可得交点横坐标为 x 1.由定积分的几何意义可知，由 y x， y x 2 及 x 轴所围成的封闭图
12、形的面积为 ?01xdx ?12( x 2)dx 23x32?10 ? ?2x x22 ?21 76. (2)令 2sin x 1，得 sin x 12，当 x0 ， 时，得 x 6 或 x 56 ， 所以所求面积 S?656 (2sin x 1)dx ( 2cos x x) ?656 2 3 23 . 定积分在物理中的应用 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t) 7 3t 251 t(t 的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离 (单位： m)是( ) A 1 25ln 5 B 8 25ln113 C 4 25ln 5 D 4 5
13、0ln 2 C 由 v(t) 7 3t 251 t 0，可得 t 4? ?t 83舍去 ，因此汽车从刹车到停止一共行 驶 了 4 s ， 此 期 间 行 驶 的 距 离 为 ?04 v(t)dt ?04?7 3t 251 t dt ?7t 32t2 25ln(1 t)?40 4 25ln 5. 规律方法 定积分在物理中的两个应用 求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 v v t ，那么从=【 ;精品教育资源文库 】 = 时刻 t a 到 t b 所经过的路程 s ?abv t t. 变力做功，一物体在变力 F x 的作用下，沿着与 F x 相同方向从 x a 移动到 x b 时，力 F x 所做的功是 W ?abF x x 跟踪训练 一物体在力 F(x)? 5， 0 x2 ，3x 4， x 2 (单位： N)的作用下沿与力 F相同的方向，从 x 0 处运动到 x 4(单位： m)处，则力 F(x)做的功为 _J. 36 由题意知，力 F(x)所做的功为 W ?04F(x)dx?025dx?24(3x 4)dx 52 ? ?32x2 4x ?42 10 ? ?324 2 44 ? ?322 2 42 36(J)
