1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 等比数列及其前 n 项和 考纲传真 1.理解等比数列的概念 .2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 .3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题 .4.了解等比数列与指数函数的关系 (对应学生用书第 72 页 ) 基础知识填充 1等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个常数 (不为零 )，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 an 1an q(n N*， q 为非零常数 ) (2)等比中项：如果
2、在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a， G， b 成 等比数列 ，那么根据等比数列的定义， Ga bG， G2 ab， G ab，那么 G 叫作 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与b 的等比中项 ?a， G， b 成等比数列 ?G2 aB 2等比数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)通项公式： an a1qn 1. (2)前 n 项和公式： Sn? na1 q ，a1 qn1 q a1 anq1 q q3等比数列的性质 已知 an是等比数列， Sn是数列 an的前 n 项和 (1)若 k l m n(k， l， m， n N )，则有 ak al am an. (2)等比数列
3、an的单调性： 当 q 1， a1 0 或 0 q 1， a1 0 时，数列 an是 递增 数列； 当 q 1， a1 0 或 0 q 1， a1 0 时，数列 an是 递减 数列； 当 q 1 时，数列 an是 常数列 (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， ak m， ak 2m， ? 仍是等比数列，公比为 qm. (4)当 q 1，或 q 1 且 n 为奇数时， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为qn. 知识拓展 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 “ G2 ab” 是 “ a， G， b 成等比数列 ” 的必要不充分条件 2若 q0 ， q1
4、 ，则 Sn k kqn(k0) 是数列 an成等比数列的充要条件，此时 k a11 q. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)满足 an 1 qan(n N*， q 为常数 )的数列 an为等比数列 ( ) (2)G 为 a， b 的等比中项 ?G2 aB ( ) (3)若 an为等比数列， bn a2n 1 a2n，则数列 bn也是等比数列 ( ) (4)数列 an的通项公式是 an an，则其前 n 项和为 Sn a an1 a .( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (2018 广州模拟 )已知等比数列 an的公比
5、为 12，则 a1 a3 a5a2 a4 a6的值是 ( ) A 2 B 12 C 12 D 2 A a1 a3 a5a2 a4 a6 a1 a3 a5 12 a1 a3 a5 2. 3 (2017 东北三省四市一联 )等比数列 an中， an0， a1 a2 6， a3 8，则 a6 ( ) 【导学号： 00090168】 A 64 B 128 C 256 D 512 A 设等比数列的首项为 a1，公比为 q， 则由? a1 a2 a1 a1q 6，a3 a1q2 8， 解得? a1 2，q 2 或 ? a1 18，q 23 (舍去 )， 所以 a6 a1q5 64，故选 A 4 (教材改编
6、 )在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_ 27,81 设该数列的公比为 q，由题意知， 243 9 q3， q3 27， q 3. 插入的两个数分别为 93 27,273 81. =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 (2018 长春模拟 )在数列 an中， a1 2， an 1 2an， Sn为 an的前 n 项和若 Sn 126，则 n _. 6 a1 2， an 1 2an， 数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 又 Sn 126， 2n1 2 126，解得 n 6. (对应学生用书第 72 页 ) 等比数列的基本运算 (1)(2018
7、 合肥模拟 )已知 Sn是各项为正数的等 比数列 an的前 n 项和， a2 a4 16，S3 7，则 a8 ( ) A 32 B 64 C 128 D 256 (2)已知数列 an是递增的等比数列， a1 a4 9， a2a3 8，则数列 an的前 n 项和等于_ (1)C (2)2n 1 (1) an为等比数列， a2 a4 16， a3 4. a3 a1q2 4， S3 7， S2 a1 q21 q 3， 4q2(1 q2) 3(1 q)，即 3q2 4q 4 0， q 23或 q 2. an0， q 2， 则 a1 1， a8 27 128. (2)设等比数列的公比为 q，则有? a1
8、 a1q3 9，a21 q3 8， 解得? a1 1，q 2 或 ? a1 8，q 12. 又 an为递增数列， ? a1 1，q 2， Sn1 2n1 2 2n 1. 规律方法 1.等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a1， n， q， an， Sn，一般可以 “ 知三求二 ” ，体现了方程思想的应用 2在使用等比数列的前 n 项和公式时，应根据公比 q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算 变式训练 1 (1)在等比数列 an中， a3 7，前 3 项和 S3 21，则公比 q 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 12 C
9、 1 或 12 D 1 或 12 (2)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 27a3 a6 0，则 S6S3 _. 【导学号： 00090169】 (1)C (2)28 (1)根据已知条件得? a1q2 7， a1 a1q a1q2 21， 得 1 q q2q2 3. 整理得 2q2 q 1 0， 解得 q 1 或 q 12. (2)由题可知 an为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以 a3 a1q2， a6 a1q5，所以 27a1q2 a1q5，所以 q 3，由 Sn a1 qn1 q ，得 S6a1 361 3 ， S3a1 331 3 ，所以S6S3a1 361 3 1
10、3a1 33 28. 等比数列的判定与证明 (2016 全国 卷 )已知数列 an的前 n 项和 Sn 1 a n，其中 0. (1)证明 an是等比数列，并求其通项公式； (2)若 S5 3132，求 . 解 (1)证明：由题意得 a1 S1 1 a 1， 2 分 故 1 ， a1 11 ，故 a10. 3 分 由 Sn 1 a n， Sn 1 1 a n 1得 an 1 a n 1 a n， 即 an 1( 1) a n. 5 分 由 a10 ， 0 得 an0 ，所以 an 1an 1. 因此 an是首项为 11 ，公比为 1的等比数列， 于是 an 11 ? ? 1 n 1. 7 分
11、=【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)得 Sn 1 ? ? 1 n. 9 分 由 S5 3132得 1 ? ? 1 5 3132，即 ? ? 1 5 132. 10 分 解得 1. 12 分 规律方法 等比数列的判定方法 (1)定义法：若 an 1an q(q 为非零常数， n N*)，则 an是等比数列 (2)等比中项法：若数列 an中， an0 ，且 a2n 1 an an 2(n N*)，则数列 an是等比数列 (3)通项公式法：若数列通项公式 可写成 an c qn(c， q 均是不为 0 的常数， n N*)，则an是等比数列 说明： 前两种方法是证明等比数列的常用方法，
12、后者常用于选择题、填空题中的判定 变式训练 2 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn中， b1 a1， bn an an 1(n2) ，且 an Sn n. (1)设 cn an 1，求证： cn是等比数列； (2)求数列 bn的通项公式 解 (1)证明： an Sn n， an 1 Sn 1 n 1， 得 an 1 an an 1 1，即 2an 1 an 1， 2(an 1 1) an 1，即 2cn 1 cn. 3 分 由 a1 S1 1 得 a1 12， c1 a1 1 12， 从而 cn0 ， cn 1cn 12. 数列 cn是以 12为首项， 12为公比的等比数列 .
13、6 分 (2)由 (1)知 cn 12 ? ?12 n 1 ? ?12 n， 7 分 又 cn an 1， an cn 1 1 ? ?12 n， 9 分 当 n2 时， bn an an 1 1 ? ?12 n ? ?1 ? ?12 n 1 ? ?12 n. 又 b1 a1 12，适合上式，故 bn ? ?12 n.12 分 等比数列的性质及应用 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)(2016 安徽六安一中综合训练 )在各项均为正数的等比数列 an中，若 am1 am 1 2am(m2) ，数列 an的前 n 项积为 Tn，若 T2m 1 512，则 m 的值为 ( ) A 4 B 5 C
14、 6 D 7 (2)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S6S3 3，则 S9S6 ( ) 【导学号： 00090170】 A 2 B 73 C 83 D 3 (1)B (2)B (1)由等比数列的性质可知 am 1 am 1 a2m 2am(m2) ，所以 am 2，即数列an为常数列， an 2，所以 T2m 1 22m 1 512 29，即 2m 1 9，所以 m 5，故选 B (2)法一：由等比数列的性质及题意，得 S3， S6 S3， S9 S6 仍成等比数列，由已知得 S6 3S3， S6 S3S3 S9 S6S6 S3，即 S9 S6 4S3， S9 7S3， S9S6 73. 法二： S6S3 1 a4 a5 a6a1 a2 a3 1 q3 3，所以 q3 2. 则 S9S6 1 q91 q61 231 2273. 规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质 “ 若 m n p q，则 am an ap aq” ，可以减少运算量，提高解题速度 2等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 变式训练 3 (1)(2017 合肥三次质检 )在正项等比数列 an中， a1 00
