1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 正弦定理和余弦定理的应用 课时作业 A 组 基础对点练 1一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45 ，沿点 A 向北偏东 30 前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30 ，则水柱的高度是 ( ) A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m 解析：设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， BAC 60 ， AC h， AB 100，BC 3h，根据余弦定 理得， ( 3h)2 h2 1002 2 h100cos
2、 60 ，即 h2 50h 5 000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即 h 50，故水柱的高度是 50 m. 答案： A 2如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40 ，灯塔B 在观察站南偏东 60 ，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ( ) A北偏东 10 B北偏西 10 C南偏东 80 D南偏西 80 解析：由条件及图可知， A CBA 40 ，又 BCD 60 ，所以 CBD 30 ，所以 DBA 10 ，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 答案： D 3如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选
3、定一点 C，测出 AC的距离为 50 m， ACB 45 ， CAB 105后，就可以计算出 A， B 两点的距离为 ( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D 25 22 m 解析：由正弦定理得 ABsin ACB ACsin B， =【 ;精品教育资源文库 】 = AB ACsin ACBsin B 50 2212 50 2，故 A， B 两点的距离为 50 2 m. 答案： A 4 (2018 昆明市检测 )在 ABC 中，已知 AB 2， AC 5， tan BAC 3，则 BC 边上的高等于 ( ) A 1 B 2 C. 3 D 2 解析：因为 tan BAC
4、3，所以 sin BAC 310， cos BAC 110.由余弦定理，得 BC2 AC2 AB2 2AC ABcos BAC 5 2 2 5 2( 110) 9，所以 BC 3，所以 SABC12AB ACsin BAC12 2 531032，所以 BC 边上的高 h2S ABCBC 2 323 1，故选A. 答案： A 5 (2018 西安模拟 )游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路线路 1 是从 A沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 119 倍
5、，甲走线路 2，乙走线路1，最后他们同时到达 C 处经测量， AB 1 040 m， BC 500 m，则 sin BAC 等于 _ 解析：依题意，设乙的速度为 x m/s， 则甲的速度为 119x m/s， 因为 AB 1 040， BC 500， 所以 ACx 1 040 500119x，解得： AC 1 260， 在 ABC 中由余弦定理可知 cos BAC AB2 AC2 BC22AB AC 1 0402 1 2602 500221 0401 260 84911213， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 sin BAC 1 cos2 BAC 1 ? ?1213 2 513. 答案
6、： 513 6如图所示，在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角 ，在山坡的 A 处测得 DAC 15 ，沿山坡前进 50 m 到达 B处，又测得 DBC 45 ，根据以上数据可得 cos _. 解析：由 DAC 15 ， DBC 45 可得 BDA 30 ， DBA 135 ， BDC 90 (15 ) 30 45 ，由内角和定理可得 DCB 180 (45 ) 45 90 ，根据正弦定理可得 50sin 30 DBsin 15 ，即 DB 100sin 15 100sin(45 30) 25 2( 3 1)，又 25sin
7、45 25 2 3 ，即 25sin 45 25 2 3cos ，得到 cos 3 1. 答案： 3 1 7已知在岛 A 南偏西 38 方向，距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇岛A 处的一艘走私船正以 10 海里 /时的速度向岛北偏西 22 方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用 0.5 小时能截住该走私船？ ?参考数据： sin 38 5 314 ， sin 22 3 314 解析：如图，设缉私艇在 C 处截住走私船， D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC 0.5x， AC 5 海里，依题意， BAC 180 38 22 120 ，由余弦定
8、理可得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 ， 所以 BC2 49， BC 0.5x 7，解得 x 14. 又由正弦定理得 sin ABC ACsin BACBC 5 327 5 314 ， 所以 ABC 38 ，又 BAD 38 ，所以 BC AD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶， 恰好用 0.5 小时截住该走私船 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8如图，在 ABC 中， ABC 90 ， AB 3， BC 1， P 为 ABC 内一点， BPC 90. (1)若 PB 12，求 PA； (2)若 APB 150 ，求 tan PBA. 解析： (1)由
9、已知得 PBC 60 ，所以 PBA 30. 在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 3 14 2 3 12cos 30 74.故 PA 72 . (2)设 PBA ，由已知得 PB sin . 在 PBA 中，由正弦定理得， 3sin 150 sin ， 化简得 3cos 4sin . 所以 tan 34 ，即 tan PBA 34 . B 组 能力提升练 1一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏 东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B，
10、C 两点间的距离是 ( ) A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 3海里 D 20 2海里 解析：如图所示，易知，在 ABC 中， AB 20 海里， CAB 30 ， ACB 45 ，根据正弦定理得 BCsin 30 ABsin 45 ， 解得 BC 10 2(海里 ) 答案： A =【 ;精品教育资源文库 】 = 2如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30 ，沿倾斜角 15 的斜坡向上走 a 米到B，在 B 处测得山顶 P 的仰角 60 ，则山高 h ( ) A. 22 a 米 B a2米 C. 32 a 米 D a 米 解析：在 PAB 中， PAB 15 ， BPA (9
11、0 ) (90 ) 30 ， 所以 asin 30 PBsin 15 ，所以 PB 6 22 a， 所以 PQ PC CQ PBsin asin 6 22 asin 60 asin 15 22 a(米 ) 答案： A 3如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30 ，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75 ，则山顶的海拔高度为 (精确到 0.1 km，参考数据： 31.732)( ) A 8.4 km B 6.6 km C 6.5 km D 5.6 km 解析 ：因为 AB 1 000 160 503
12、 km， 所以 BC ABsin 45 sin 30 503 2(km) 所以航线离山顶的高度 h 503 2sin 75 503 2sin(45 30)11.4 km. 所以山高为18 11.4 6.6(km) 答案： B 4如图所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C，然后给出 了三种测量方案： ( ABC 的角 A， B， C 所对的边分别记为 a， b， c) =【 ;精品教育资源文库 】 = 测量 A， C， b 测量 a， b， C 测量 A， B， a 则一定能确定 A， B 间距离的所有方案的个数为 ( ) A 3 B 2
13、C 1 D 0 解析：对于 ，利用内角和定理先求出 B A C， 再利用正弦定理 bsin B csin C解出 c， 对于 ，直接利用余弦定理 cos C a2 b2 c22ab 即可解出 c， 对于 ，先利用内角和定理求出 C A B， 再利用正弦定理 asin A csin C解出 c. 答案： A 5 (2018 福州市质检 )在距离塔底分别为 80 m， 160 m， 240 m 的同一水平面上的 A， B， C处，依次测得塔顶的仰角分别为 ， ， .若 90 ，则塔高为 _ 解析：设塔高为 h m依题意得， tan h80， tan h160， tan h240.因为 90 ，所以
14、 tan( )tan tan(90 )tan cos sin sin cos 1，所以tan tan 1 tan tan tan 1，所以h80h1601 h80 h160 h240 1，解得 h 80，所以塔高为 80 m. 答案： 80 m 6 (2018 遂宁模拟 )海轮 “ 和谐号 ” 从 A 处以每小时 21 海里的速度出发，海轮 “ 奋斗号 ”在 A 处北偏东 45 的方向，且与 A 相距 10 海里的 C 处，沿北偏东 105 的方向以每小时 9海里的速度行驶，则海轮 “ 和谐号 ” 与海轮 “ 奋斗号 ” 相遇所需的最短时间为 _小时 解析：设海轮 “ 和谐号 ” 与海轮 “ 奋斗号 ” 相遇所需的最短时间为 x 小时，如图，则由已知得 ABC 中， AC 10， AB 21x， BC=【 ;精品教育资源文库 】 = 9x， ACB 120 ， 由余弦定理得： (21
