1、上海交大附中上海交大附中 曹建华曹建华兼谈课堂教学的有效性兼谈课堂教学的有效性20192019年上半年上海市中小学课程与教学工年上半年上海市中小学课程与教学工作会议上，市教委分管基础教育的副主任尹作会议上，市教委分管基础教育的副主任尹后庆谈了他的忧虑：后庆谈了他的忧虑：上海学生的学业成绩在上海学生的学业成绩在全国处于较高水平，但较高水平的数据背后全国处于较高水平，但较高水平的数据背后隐藏着一些深层次的问题隐藏着一些深层次的问题学业负担较重、学业负担较重、家庭作业时间过长、家庭作业时间过长、国家中长期教育改革和发展纲要国家中长期教育改革和发展纲要 减轻学生过重课业负担减轻学生过重课业负担减轻学生
2、过重课业负担是全社会的共同责任，政减轻学生过重课业负担是全社会的共同责任，政府、学校、家庭、社会必须共同努力，标本兼治，府、学校、家庭、社会必须共同努力，标本兼治，综合治理。把减负落实到中小学教育全过程综合治理。把减负落实到中小学教育全过程，调整教材内容，科学设计课程难度调整教材内容，科学设计课程难度 全国中学青年数学教师优秀课评价标准全国中学青年数学教师优秀课评价标准 1.1.教学目的教学目的 知识深广度、技能训练、能力培养、思想品德、心理知识深广度、技能训练、能力培养、思想品德、心理素质素质 2.2.教材选择教材选择 与教学目的一致性、重视基础与创新、知识的应用、与教学目的一致性、重视基础
3、与创新、知识的应用、因材施教、结合学生实际选择教材因材施教、结合学生实际选择教材 3.3.教学过程教学过程 正确处理教与学的关系、创设教学情境、使学生认识正确处理教与学的关系、创设教学情境、使学生认识数学本质、引导学生积极思考、主动参与学习活动、培养数学本质、引导学生积极思考、主动参与学习活动、培养创新精神实践能力、妥善处理反馈与调节、归纳与小结创新精神实践能力、妥善处理反馈与调节、归纳与小结 4.4.教学手段教学手段 现代教学手段运用的必要性和有效性现代教学手段运用的必要性和有效性5.5.教学方法教学方法 贯彻教学原则和学习理论的正确性和充分性、重贯彻教学原则和学习理论的正确性和充分性、重视
4、教学方法针对性和灵活性、学习方法指导的有效视教学方法针对性和灵活性、学习方法指导的有效性性 6.6.教师素养教师素养 语言、板书、观察、聆听、教态语言、板书、观察、聆听、教态优质教学的标准优质教学的标准(德国德国 Hibert Meyer)Hibert Meyer)1.1.体现相互尊重、自觉遵守制度、承担责任、公正体现相互尊重、自觉遵守制度、承担责任、公正合理以及相互帮助的合理以及相互帮助的学习氛围学习氛围2.2.清晰的清晰的教学内容教学内容3.3.明确清晰的明确清晰的教学结构教学结构4.4.提高学生的提高学生的净学习时间净学习时间的比例的比例5.5.有助于学生有助于学生学习动机与兴趣学习动机
5、与兴趣提高的交流提高的交流6.6.方法方法的多样性的多样性7.7.个别个别的促进的促进8.8.思考型的思考型的练习练习9.9.明朗的明朗的成绩期待成绩期待10.10.学习环境学习环境的准备的准备数学本质数学本质的内涵的内涵数学知识数学知识内在联系内在联系数学规律数学规律形成过程形成过程数学理性数学理性精神体验精神体验数学思想数学思想方法提炼方法提炼（1 1）要提高教学质量，提高课堂教学的有要提高教学质量，提高课堂教学的有效性，必须充分了解学情。效性，必须充分了解学情。学情的了解离不开学生学习数学的心理基础，近年学情的了解离不开学生学习数学的心理基础，近年来，西方的心理学已经有了长足的发展，来，
6、西方的心理学已经有了长足的发展，如如:Piaget:Piaget理论、理论、VanHieleVanHiele的几何学习水平分类、的几何学习水平分类、认知心理学、信息加工理论、建构主义心理学等等。认知心理学、信息加工理论、建构主义心理学等等。这些理论对于我们分析学生数学概念建构、数学理这些理论对于我们分析学生数学概念建构、数学理解水平、代数和几何中的认知问题，包括数学教学解水平、代数和几何中的认知问题，包括数学教学中的情感因素、男女生数学学习差异问题都能起到中的情感因素、男女生数学学习差异问题都能起到积极的作用。积极的作用。（2 2）重视学生数学概念建构）重视学生数学概念建构J JBiggsBi
7、ggs和和K.CollisK.Collis认为学生具体认知发展认为学生具体认知发展要经历四个阶段，每一阶段有单结构、多结要经历四个阶段，每一阶段有单结构、多结构、关系和进一步抽象等不同水平的活动，构、关系和进一步抽象等不同水平的活动，而且阶段之间有一个重迭或交叉期，前一阶而且阶段之间有一个重迭或交叉期，前一阶段的关系活动就是后一阶段的前结构活动，段的关系活动就是后一阶段的前结构活动，后一阶段中的单结构活动则相当于在前一阶后一阶段中的单结构活动则相当于在前一阶段基础上所作的进一步的抽象。前结构活动段基础上所作的进一步的抽象。前结构活动表示学生还无能力达到这个阶段的活动方式表示学生还无能力达到这个
8、阶段的活动方式要素的水平，但可以视为一个准备期，要素的水平，但可以视为一个准备期，单结构活动表示只能对这个阶段的单个因素进单结构活动表示只能对这个阶段的单个因素进行操作；多结构活动已能将原先认为无关联的行操作；多结构活动已能将原先认为无关联的几个方面联系起来，组成一个相对较大的整体；几个方面联系起来，组成一个相对较大的整体；进一步的抽象是把上述几个水平的活动综合起进一步的抽象是把上述几个水平的活动综合起来，组织成下一水平的具有新功能的活动。后来，组织成下一水平的具有新功能的活动。后一阶段在前一阶段的基础上进行形式上类似的一阶段在前一阶段的基础上进行形式上类似的结构重组，每一个水平的功能有其自己
9、的整体，结构重组，每一个水平的功能有其自己的整体，自己的特点和使用的材料，为后一阶段提供素自己的特点和使用的材料，为后一阶段提供素材。后一阶段则将前一阶段整合，在结构重组材。后一阶段则将前一阶段整合，在结构重组过程中发展、过渡，再被更高阶段整合。过程中发展、过渡，再被更高阶段整合。举例举例1 1：学生在初中学习实数和绝对值，学生在初中学习实数和绝对值，在高中学习复数和模。根据认知结构和发在高中学习复数和模。根据认知结构和发展理论，这两个学习过程处于认知发展的展理论，这两个学习过程处于认知发展的两个阶段，从实数到复数、绝对值到模是两个阶段，从实数到复数、绝对值到模是一个水平到另一个水平的过渡和发
10、展。一个水平到另一个水平的过渡和发展。数数 式式 数数 式式教学启示教学启示：教师在教学中要重视学生以往：教师在教学中要重视学生以往经验对数学学习的作用，了解学生已有的经验对数学学习的作用，了解学生已有的认知结构及其建立的背景，比如在复数概认知结构及其建立的背景，比如在复数概念教学中，要适当介绍数系扩张的原则，念教学中，要适当介绍数系扩张的原则，讲清概念及法则、公式、定理成立的条件，讲清概念及法则、公式、定理成立的条件，并且向学生强调在实数内成立的法则、公并且向学生强调在实数内成立的法则、公式、定理及其它一些性质，未经证明，不式、定理及其它一些性质，未经证明，不能在复数范围内使用。在学生容易发
11、生错能在复数范围内使用。在学生容易发生错误的地方，抓住典型，将错就错，搞好错误的地方，抓住典型，将错就错，搞好错例分析，亡羊补牢。例分析，亡羊补牢。（3 3）关注学生数学理解）关注学生数学理解数学教育家数学教育家R.SkempR.Skemp认为数学理解有认为数学理解有“工具性理工具性理解解”和和“关系性理解关系性理解”之分。工具性理解是指之分。工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由，即知道符号所代知道法则但并不懂得其理由，即知道符号所代表的事物或操作的规则，但不知道其逻辑依据；表的事物或操作的规则，但不知道其逻辑依据；而关系性理解是指对符号的意义、获得符号所而关系性理解是指对符号的意义、获得符
12、号所代表的事物意义的途径、规则的逻辑依据等有代表的事物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识。深刻的认识。“理解理解”不是单方面的，它有多不是单方面的，它有多个侧面、多个成分，它是一个发展、变化的个侧面、多个成分，它是一个发展、变化的“范围范围”。举例举例2 2：“已知已知xRxR，zCzC，x x、z z满足满足 x x2 2+zx+3z+4i=0+zx+3z+4i=0，求，求z”z”。可以不设可以不设z z而直接求的，学生经常设而直接求的，学生经常设z=a+bi,(a,bR)z=a+bi,(a,bR)，这说明他们对复数的理解还，这说明他们对复数的理解还只是停留在只是停留在“工具性理解工具
13、性理解”层面上；从层面上；从S.PirieS.Pirie和和T.KierenT.Kieren（19941994）的数学理解模型来看，当学生）的数学理解模型来看，当学生对复数的外层理解即整体理解建立不起来时，他对复数的外层理解即整体理解建立不起来时，他们就要一次次地折返回去，将相应的内层水平的们就要一次次地折返回去，将相应的内层水平的认识即复数的代数表达式作再建构以满足外层水认识即复数的代数表达式作再建构以满足外层水平的要求，这样来回往返，波浪式地推进，保证平的要求，这样来回往返，波浪式地推进，保证了理解发展获得内层水平的支持，从而逐步推动了理解发展获得内层水平的支持，从而逐步推动他们大脑中的复
14、数概念向着结构化发展。他们大脑中的复数概念向着结构化发展。教学启示：教学启示：教师在教学中要意识到：一个数教师在教学中要意识到：一个数学概念由学概念由“过程过程”到到“对象对象”的建立往往既是困的建立往往既是困难的又是漫长的，其中必须经过多次的反复，难的又是漫长的，其中必须经过多次的反复，是螺旋式的上升，而不是直线的前进，甚至是螺旋式的上升，而不是直线的前进，甚至会出现短暂的倒退，教师认识到这一规律，会出现短暂的倒退，教师认识到这一规律，要帮助学生在头脑中建立起数学知识的直观要帮助学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象，不断注意指导他们用简洁的符号结构形象，不断注意指导他们用简洁的符号来表示
15、复数及其有关概念，描述其性质，适来表示复数及其有关概念，描述其性质，适当的时候推动向对象化发展。当的时候推动向对象化发展。(4)(4)关注数学教学中的情感因素关注数学教学中的情感因素教师在教学工作中要感觉到学生的情感因素，教师在教学工作中要感觉到学生的情感因素，如动机、兴趣等对学生学习的影响。在评估如动机、兴趣等对学生学习的影响。在评估学生的时候，不光要评价他们的认知结果，学生的时候，不光要评价他们的认知结果，而且要重视情感因素对认知的影响，对这些而且要重视情感因素对认知的影响，对这些非智力因素进行认真的研究和探讨，在教学非智力因素进行认真的研究和探讨，在教学中对学生作积极引导，促进数学学习效
16、果的中对学生作积极引导，促进数学学习效果的提高。提高。举例举例3:3:曲线和方程曲线和方程的教学的教学引入问题引入问题:一个人沿着靠在墙角的梯子向上爬，爬到正中一个人沿着靠在墙角的梯子向上爬，爬到正中间，梯子滑落了，这个人是直直的摔下去呢？还是间，梯子滑落了，这个人是直直的摔下去呢？还是划了一条划了一条“优美优美”的曲线摔出去呢？的曲线摔出去呢？(假如这个人假如这个人一直不离开梯子一直不离开梯子)引例引例:已知线段已知线段AB长为长为6，两个端点，两个端点A和和B分别在分别在x轴和轴和y轴上滑动，求线段轴上滑动，求线段AB的中点的中点M的轨迹方程。的轨迹方程。OxyBAM举例举例4 4：基本不
17、等式：基本不等式 1.1.创设情境创设情境 (1)(1)在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种降价方案：价。有三种降价方案：甲方案：第一次打甲方案：第一次打 p p 折销售，第二次打折销售，第二次打 q q 折销售；折销售；乙方案：第一次打乙方案：第一次打 q q 折销售，第二次打折销售，第二次打 p p 折销售；折销售；丙方案：两次都打丙方案：两次都打 (p+q)/2(p+q)/2 折销售折销售 请问哪一种方案降价较多？请问哪一种方案降价较多？(2)(2)用一个有毛病用一个有毛病(天平的两臂之长略有差异，其它因天平的两臂之长略有差异，其
18、它因素忽略素忽略)的天平怎样称物体的重量？有人说只要左右各称量的天平怎样称物体的重量？有人说只要左右各称量一次，再相加后除以一次，再相加后除以2 2即可，你认为怎样？即可，你认为怎样？2.2.开展探究开展探究 3.3.发现原理发现原理 ，4.4.探究证明思路探究证明思路 (1)(1)比较法比较法 (2)(2)分析法分析法 (3)(3)综合法综合法 (4)(4)几何法几何法 5.5.证明原理证明原理 abba2abababba222 6.6.应用原理应用原理 7.7.拓展推广拓展推广 从这两个基本不等式出发，再可以发现和证明从这两个基本不等式出发，再可以发现和证明哪些关于两个实数哪些关于两个实数
19、 、或更多实数的不等式？或更多实数的不等式？若若 、是正实数，是正实数，给出下面，给出下面6 6个量由大个量由大到小的顺序到小的顺序 ababba 2,2,2,2211bababaabba 举例举例5 5：数学归纳法数学归纳法的教学的教学1.1.创设情境创设情境 摸球、哥特巴赫猜想、天气等摸球、哥特巴赫猜想、天气等 举例说明归纳法得到的结论不一定正确举例说明归纳法得到的结论不一定正确(证明对于无穷多证明对于无穷多个正整数结论都成立个正整数结论都成立)2.2.实验探索实验探索 如何证明？多米诺骨牌实验如何证明？多米诺骨牌实验(有限到无限、递推有限到无限、递推)3.3.发现原理发现原理 直观描述直
20、观描述 自然语言自然语言 数学语言数学语言(归纳假设、递推归纳假设、递推)，4.4.理解原理理解原理 原理的可靠性原理的可靠性(归纳假设、递推归纳假设、递推)5.5.应用举例应用举例 证明等差数列通项公式证明等差数列通项公式(关键找出关键找出递推关系递推关系)6.6.初步练习初步练习 证明等比数列通项公式证明等比数列通项公式(关键找出关键找出递推关系递推关系)7.7.深入理解深入理解 两个步骤缺一不可；必须运用归纳假设两个步骤缺一不可；必须运用归纳假设8.8.变式练习变式练习 证明自然数前证明自然数前n n项和的恒等式项和的恒等式(关键找出关键找出递推关系递推关系)9.9.小结小结 数学归纳法
21、的本质数学归纳法的本质(用用“有限有限”证明证明“无限无限”，递推关，递推关系系)数学归纳法证明步骤数学归纳法证明步骤 运用数学归纳法证明注意事项运用数学归纳法证明注意事项数学归纳法的本质数学归纳法的本质1.1.用用“有限有限”代替代替“无限无限”用两个证明步骤代替无限个证明步骤用两个证明步骤代替无限个证明步骤2.2.递推关系递推关系 证明的第二步关键是找出当证明的第二步关键是找出当n=k+1n=k+1 和和n=kn=k 时结论之间的递推关系时结论之间的递推关系 (5)(5)预设与生成的关系预设与生成的关系 学生回答有困难学生回答有困难学生回答有错误学生回答有错误学生有不同解法学生有不同解法学
22、生有不同看法学生有不同看法学生提出问题学生提出问题启发启发引导引导研究研究讨论讨论鼓励鼓励 学生可能发生的情况 解决的方法举例举例6 6：函数复习课：函数复习课1.1.实例引入实例引入 甲、乙两地相距甲、乙两地相距S S千米，汽车从甲地匀速驶往乙地，千米，汽车从甲地匀速驶往乙地，已知汽车每小时的运输成本已知汽车每小时的运输成本(以元为单位以元为单位)由可变部分和固由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度定部分组成：可变部分与速度x x(千米千米/小时小时)的平方成正比，的平方成正比，比例系数为比例系数为m m，固定部分为固定部分为n n 元，把全程运输成本元，把全程运输成本y y 表示表示为速
23、度为速度x x 的函数。的函数。2.2.研究函数研究函数 学生分小组进行研究：学生分小组进行研究：定义域，值域，奇偶性，单调性，图像。定义域，值域，奇偶性，单调性，图像。教师进行指导。教师进行指导。3.3.交流和评价交流和评价 展示不同思路和研究方法，相互置疑，展开讨展示不同思路和研究方法，相互置疑，展开讨论论 4.4.观察图像，发现特征观察图像，发现特征 引导进一步探究：图像位置，最低点、最高点，引导进一步探究：图像位置，最低点、最高点，渐近线渐近线5.5.小结小结学生可能发生的情况学生可能发生的情况 解决方法解决方法不知道研究什么不知道研究什么回忆已学过的函数研究什么回忆已学过的函数研究什
24、么求不出值域求不出值域复习值域的各种求法复习值域的各种求法提示提示用配方法用配方法(或基本不等式或基本不等式)讨论单调性有困难讨论单调性有困难启发分区间讨论启发分区间讨论图像画得不规范图像画得不规范引导学生画出渐近线引导学生画出渐近线不知道下一步研究什么不知道下一步研究什么指出研究方向：观察图像特指出研究方向：观察图像特征征(6)(6)训练系统要关注学生能力表现训练系统要关注学生能力表现 美国高中数学能力表现说明美国高中数学能力表现说明函数与代数的概念函数与代数的概念学生用数学概念解决问题，用多种方法表示学生用数学概念解决问题，用多种方法表示数学概念（如数、图形、符号、图表、词语数学概念（如数
25、、图形、符号、图表、词语等），以及向他人解释来显示对数学概念的等），以及向他人解释来显示对数学概念的理解。所有表明理解的三种途径理解。所有表明理解的三种途径应用、表应用、表示、解释示、解释要求符合这项标准。要求符合这项标准。表明学生理解函数与代数概念的根据，即学表明学生理解函数与代数概念的根据，即学生能够：生能够：M3a M3a 用公式与函数对给出的情况建构模型，用公式与函数对给出的情况建构模型，并按情况解释给出的公式与函数。并按情况解释给出的公式与函数。M3bM3b描述、推广和应用基本类型的函数：线描述、推广和应用基本类型的函数：线性、指数、幂、有理、平方与平方根，立性、指数、幂、有理、平方
26、与平方根，立方与立方根。方与立方根。M3cM3c利用斜率的概念、赋值、逆函数。利用斜率的概念、赋值、逆函数。M3dM3d作多种类型的比率，并用数、符号、图作多种类型的比率，并用数、符号、图形表达。形表达。M3oM3o利用函数分析模型并表示其结构。利用函数分析模型并表示其结构。举例举例5 5：一辆用过的汽车以：一辆用过的汽车以95009500美元出售，如果以美元出售，如果以每年每年5%5%跌价，一年后汽车值多少钱？跌价，一年后汽车值多少钱？5 5年以后呢？年以后呢？1212年以后呢，年以后呢，n n年以后呢？（大学预科数学）年以后呢？（大学预科数学）3a,3b,3c3a,3b,3c能力目标四层次
27、架构及解释能力目标四层次架构及解释举例举例7 7：药物释放问题：药物释放问题为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒。为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(y(毫克毫克)与时与时间间 t(t(时时)成正比；药物释放完后，成正比；药物释放完后，y y 与与 t t 的函数关系式为的函数关系式为 y=a/t y=a/t(a(a为常数为常数)，如图所示。，如图所示。10.530py/毫克t/时 根据图中提供的信息，解答下根据图中提供的信息，解答下列问题：列问题：（1 1）
28、写出从药物释放开始，）写出从药物释放开始，y y与与t t之之间的两个函数关系式以及相应间的两个函数关系式以及相应的自变量取值范围；的自变量取值范围；（2 2）据测定，当空气中每立方米的含药量降至）据测定，当空气中每立方米的含药量降至0.250.25毫克以下时，毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 多长时间，学生才能进入教室？多长时间，学生才能进入教室？l通过药熏消毒的实际问题，领会正比、反比例关系，它们的函通过药熏消毒的实际问题，领会正比、反比例关系，它们的函数表达式及自变量取值范围的含义。数表达式及自变量取值范围的
29、含义。l识别正比例函数识别正比例函数y=kty=kt与反比例函数与反比例函数y=a/ty=a/t两种常见的类型；根两种常见的类型；根据提供的信息，先后确定据提供的信息，先后确定a a、k k的数值（的数值（3/23/2、2/32/3），学会解决），学会解决该常规问题的推理思路，这里初涉了该常规问题的推理思路，这里初涉了“分段函数分段函数”的知识。的知识。l推算经过一定时间（推算经过一定时间（6 6小时）学生才能安全进入教室，让他们小时）学生才能安全进入教室，让他们懂得函数概念的实际应用。懂得函数概念的实际应用。(7)(7)当前教学中值得思考的几个问题：当前教学中值得思考的几个问题：情境不是外衣
30、，重在促进理解情境不是外衣，重在促进理解。实际。实际问题经过教学加工才能进入课堂，扯得问题经过教学加工才能进入课堂，扯得太远，反而冲淡学生学习的主题。太远，反而冲淡学生学习的主题。兴趣是动力，但不是所有的数学问题都兴趣是动力，但不是所有的数学问题都是有趣的是有趣的。一味地追求兴趣，重心发生偏。一味地追求兴趣，重心发生偏移。移。信心有必要，成功必须大于挫折，但挫信心有必要，成功必须大于挫折，但挫折不能等于零折不能等于零。学生一时的误解是重要的。学生一时的误解是重要的教学资源，课上得太顺，教师的教学机智教学资源，课上得太顺，教师的教学机智无处发挥。无处发挥。数学教学不只是习题训练数学教学不只是习题
31、训练。即使是习题，。即使是习题，也要疏理每道题的作用与意义，多而无度、也要疏理每道题的作用与意义，多而无度、缺乏梯度是突出问题。缺乏梯度是突出问题。课题学习是不同于寻常知识内容的学习方课题学习是不同于寻常知识内容的学习方式式，它是一种让学生学会，它是一种让学生学会“做数学做数学”的过的过程，不是教结论、更不是讲解难题。引导程，不是教结论、更不是讲解难题。引导学生做数学，老师至少也要学会做数学。学生做数学，老师至少也要学会做数学。探究是高位的理解，好的探究必须讲究探究是高位的理解，好的探究必须讲究基础基础。合作学习与独立思考相辅相成，什么。合作学习与独立思考相辅相成，什么时候合作才有效应引起大家的重视。时候合作才有效应引起大家的重视。“具象具象表象表象抽象抽象”是递进关系是递进关系，该抽，该抽象的时候用具象、做测量反而使思维水平象的时候用具象、做测量反而使思维水平下降；介于具象、抽象之间的表象（如线下降；介于具象、抽象之间的表象（如线段图、示意图）思考是促进提升的重要手段图、示意图）思考是促进提升的重要手段。段。教材常有教材常有“混而不错混而不错”的处理的处理，但，但“混混”中常有陷阱，混错了对学生会产生误导。中常有陷阱，混错了对学生会产生误导。教参有时是一家之言，不能迷信，是参教参有时是一家之言，不能迷信，是参考借鉴，不是依据准绳。考借鉴，不是依据准绳。
