1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.9.2 定点、最值与范围问题 课 时 跟 踪 检 测 1 (2018 届湖南益阳调研 )已知抛物线 C： y2 4x，过其焦点 F 作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线 C 于点 P1， P2和点 P3， P4，线段 P1P2， P3P4的中点分别为 M1， M2. (1)求线段 P1P2的中点 M1的轨迹方程； (2)求 FM1M2面积的最小值； (3)过 M1， M2的直线 l 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由 解： (1)由题设条件得焦点 F 坐标为 (1,0)， 设直线 P1P2的方程为 y k(x 1)， k0
2、. 联立? y k x ，y2 4x 得 k2x2 2(2 k2)x k2 0. 2(2 k2)2 4k2 k2 16(1 k2)0. 设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， M1(x， y)， 则 x 12(x1 x2) 1 2k2， y k(x 1) 2k， 所以 x 1 12y2. 所以线段 P1P2的中点 M1的轨迹方程为 y2 2(x 1)(x1) (2)由 (1)知点 M1的坐标为 ? ?1 2k2， 2k ，用 1k代换 k 可得 M2的坐标为 (1 2k2， 2k) 所以 |FM1| ? ?1 2 k2k22? 2k2 2k2 1 k2， |FM2| k2 2 2k
3、 2 2|k| 1 k2， 因此 S FM1M2 12|FM1| FM2| 2? ?1|k| |k| 4. 当且仅当 1|k| |k|，即 k 1 时， S FM1M2取到最小值 4. (3)过定点当 k1 时，直线 l 的斜率为 k k1 k2， 所以直线 l 的方程为 y 2k k1 k2(x 2k2 1)， 即 yk2 (x 3)k y 0， 当 x 3， y 0 时方程 对任意的 k(k1) 均成立，即直线 l 过点 (3,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k 1 时，直线 l 的方程为 x 3，也过点 (3,0) 所以直线 l 恒过定点 (3,0) 2已知椭圆 C： x2a
4、2y2b2 1(ab0)的离心率为63 ，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆与直线 2x 2y 6 0 相切 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)已知点 A， B 为动直线 y k(x 2)(k0) 与椭圆 C 的两个交点，问 ：在 x 轴上是否存在定点 E，使得 EA 2 EA AB 为定值？若存在，试求出点 E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由 解： (1)由 e 63 得 ca 63 ，即 c 63 a， 又以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆为 x2 y2 a2， 且与直线 2x 2y 6 0 相切， a 64 2 6，代入 得 c 2. b2 a2
5、c2 2. 椭圆 C 的方程为 x26y22 1. (2)由? x26y22 1，y k x ，得 (1 3k2)x2 12k2x 12k2 6 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， ? x1 x2 12k21 3k2，x1x2 12k2 61 3k2 ，假设存在定点 E(m,0)，使得 EA 2 EA AB 为定值， 则有 EA 2 EA AB EA ( EA AB ) EA EB m2 12m k2 m23k2 1 为定值， 要使上式为定值，则应有 3m2 12m 10 3(m2 6)， 即 m 73. 此时 EA 2 EA AB m2 6 59. 所以定点为 ? ?73，
6、 0 ，定值为 59. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2018 届贵阳市监测考试 )设点 F1( c,0)， F2(c,0)分别是椭圆 C： x2a2 y2 1(a0)的左、右焦点， P 为椭圆 C 上任意一点，且 PF1 PF2 的最小值为 0. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l： y kx m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作 F1M l， F2N l 分别交直线 l 于 M， N 两点，求四边形 F1MNF2的面积 S 的最大值 解： (1)设 P(x， y)，则 PF1 ( c x， y)， PF2 (c x， y)，所以 PF1 PF2 x2y2 c2
7、a2 1a2 x2 1 c2， x a， a， 由题意得， 1 c2 0， c 1，则 a2 2， 所以椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2)将直线 l 的方程 l： y kx m 代入椭圆 C 的方程 x22 y2 1 中，得 (2k2 1)x2 4kmx 2m2 2 0， 由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 16k2m2 4(2k2 1)(2m2 2) 0，化简得m2 2k2 1. 设 d1 |F1M| | k m|k2 1 ， d2 |F2N| |k m|k2 1. 当 k0 时，设直线 l的倾斜角为 ，则 |d1 d2| |MN|tan |，所以 |MN| 1|k|
8、d1 d2|， S 12 1|k|d1 d2|( d1 d2) 2|m|k2 1 4|m|m2 1 4|m| 1|m|. m2 2k2 1， 当 k0 时， |m|1， |m| 1|m|2， S|AB|， 所以点 P 的轨迹 Z 是以 A， B 为焦点， 4 为长半轴长的椭圆， 所以 a 4， c 2，则 b 2 3. 所以轨迹 Z 的方程是 x216y212 1. (2)当直线 l1， l2中有一条直线的斜率不存在时， |DE| |FG| 6 8 14； 当直线 l1的斜率存在且不为 0 时，设直线 l1的方程为 y k(x 2)， D(x1， y1)， E(x2，y2)， 联立? y k
9、x ，x216y212 1，整理得 (3 4k2)x2 16k2x 16k2 48 0， 所以 x1 x2 16k23 4k2， x1x216k2 483 4k2 ， 所以 |DE| k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 k23 4k2 ， 同理可得 |FG| k24 3k2 ， 所以 |DE| |FG| k2 2 3k2 4k2 ， 设 t k2 1，则 t1， 所以 |DE| |FG| 168 1t2 1t 12 168 ? ?1t 12 2 494， 又 01t1， 12 ? ?1t 12 2 494 494 ， 967 168 ? ?1t 12 2 49414， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 |DE| |FG|的取值范围是 ? ?967 ， 14 . 综上， |DE| |FG|的取值范围是 ? ?967 ， 14 .
