1、第10讲 椭圆新课标要求经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。知识梳理1平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2焦点在x轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点坐标为(c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为1(ab0)，焦点坐标为(0，c)其中a，b，c的关系为 a2b2c2.3.椭圆的简单几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形范围axabybayabxb对称性对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(
2、0，c)焦距|F1F2|2c顶点A1(a,0)，A2(a,0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b离心率e(0,1)4点与椭圆的位置关系设点P(x0，y0)，椭圆1(ab0)5直线与椭圆的位置关系及判定位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式)相交2个2个解0相切1个1个解0相离0个无解0名师导学知识点1 椭圆定义的应用【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|PF2|8，则动点P的轨迹是()A椭圆B圆C直线 D线段(2)若P是以F1，F2为焦点
3、的椭圆1上一点，则PF1F2的周长等于()A16 B18C20 D不确定【分析】根据椭圆的定义求解【解析】(1)|F1F2|8，|PF1|PF2|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2，故选D.(2)由1可知，c2a2b225916，c4，故F1(4,0)，F2(4,0)|F1F2|8，根据椭圆的定义，可知|PF1|PF2|2a10，PF1F2的周长为10818，故选B.【答案】(1)D(2)B【例1-2】若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A9m16 B9mC.m16 Dm【分析】方程表示焦点在y轴上的椭圆，表明方程中y2下面对应的分母大于x2下面对应的分母，由此建立关于m
4、的不等式组，求得实数m的取值范围【解析】依题意，可得解得m16.【答案】C【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则PF1F2是()A钝角三角形 B锐角三角形C斜三角形 D直角三角形【解析】由题意，得|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又c24，c2，2c4，即|F1F2|4.|PF2|2|F1F2|2|PF1|2，PF1F2为直角三角形【答案】D【变式训练1-2】若方程x2ky23表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_【解析】将方程化为1，由于它表示焦点在x轴上的椭圆，所以有30，解得k1.
5、【答案】(1，)知识点2 求椭圆的标准方程【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点坐标分别为(0，2)，(0,2)，且经过点(4，3)；(2)a8，c6；(3)经过两点(，2)，(2，1)【分析】(1)中有两种方法，一是定义法，二是根据点在椭圆上求解；(2)中由于焦点所在的坐标轴不确定，故分情况讨论；(3)可利用椭圆的一般方程求解【解】(1)解法一：由题意，得2a(6)(6)12，解得a6.又c2，b2a2c232.所求的椭圆的方程为1.解法二：椭圆的焦点在y轴上，设所求的椭圆方程为1(ab0)由题意得得所求的椭圆方程为1.(2)a8，c6，b2a2c2643628.当焦点在x轴上
6、时，椭圆方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(3)设所求的椭圆的方程为Ax2By21，其中A0，B0.由题意，得得故所求的椭圆的标准方程为1.【变式训练2-1】已知F1(1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则椭圆C的方程为()A.y21 B1C.1 D1【解析】|AB|3，|AF2|，在RtAF1F2中，|AF1|24，即|AF1|，|AF1|AF2|42a，即a2.c1，b，椭圆C的方程为1.【答案】C知识点3 椭圆的简单几何性质【例3-1】求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶
7、点坐标和离心率【分析】欲解此题，需将椭圆化成标准形式，再确定焦点的位置及a，b，c的值，然后求解【解】椭圆方程可变形为1，a3，b2，c .椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率e.【变式训练3-1】若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.y21B.1C.y21或1D以上答案都不对【解析】直线与坐标轴交于(0,1)，(2,0)，当焦点在x轴上时，c2，b1，a25，方程为y21；当焦点在y轴上时，c1，b2，a25，方程为1.【答案】C知识点
8、4 根据椭圆的性质求椭圆的方程【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)长轴长为10，离心率为；(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.【分析】欲求椭圆的方程，只需确定a，b的值，确定焦点所在的坐标轴即可【解】(1)由题意，得2a10，a5.又e，c3.b2a2c225916.当焦点在x轴上时，椭圆方程为1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.(2)焦距为6，2c6，c3.B1FB2F，B1FO45，|OB1|OF|，bc3，a2b2c218.焦点在x轴上，所求的椭圆的标准方程为1.【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且
9、椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为_(2)若椭圆1的离心率为，则m_.【解析】(1)由题意，知2a12，a6.又e，c3.b2a2c236279.又焦点在x轴上，椭圆C的标准方程为1.(2)由题意，得e，a24c24(a2b2)，3a24b2，当焦点在x轴上时，a22，b2，即m，当焦点在y轴上时，b22，a2m，a2b2，即m，m或.【答案】(1)1(2)或知识点5 椭圆离心率的应用【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆
10、，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是，(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为()A. BC. D【分析】欲求离心率，只需由椭圆的几何性质分析得到a、c的值，再由e计算可得【解析】由题意，得acRR，acR，aR，cR，e，故选C.【答案】C【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为21，求这个椭圆离心率的取值范围【分析】应利用|PF|范围，再求e范围【解】设|PF1|PF2|21，即|PF1|2|PF2|，又|PF1|PF2|2a，|PF2|.又ac|PF2|ac，acac，解得e.又0e1，e1.【变式训练5-1】已知直线l：ykx与椭圆C：1(ab
11、0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A.，1 ）B（0，）C.（，1 ） D（0， 【解析】由题意得AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|OF|c.由|OA|b，即cb，得c2b2a2c2，即c2a2.又0e1，解得e1.【答案】C知识点6 直线与椭圆的位置关系【例6-1】已知椭圆C：y21.(1)若(，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；(2)m为何值时，直线yxm与椭圆C相交、相切、相离？【分析】对于(1)利用点与椭圆的位置关系求解；对于(2)，将直线与椭圆联立，利用判别式求解【解】(1)(，n)
12、在椭圆内，n21，解得n.n的取值范围是.(2)由得5x28mx4m240，64m245(4m24)16(4m25m25)16(5m2)当16(5m2)0，即m时，直线与椭圆相交；当16(5m2)0，即m时，直线与椭圆相切；当16(5m2)0，即m或m时，直线与椭圆相离【变式训练6-1】直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()Am1Bm1且m3Cm3 Dm0且m3【解析】由得(3m)x24mxm0.由题意，得解得m1且m3.【答案】B知识点7 弦长问题【例7-1】求直线yx1被椭圆1所截得的弦长【分析】将直线与椭圆方程联立，再套弦长公式可求出弦长【解】设直线yx1与椭圆相交于A(x
13、1，y1)，B(x2，y2)两点，由得3x24x20.由题意，得方程有两根x1，x2，根据韦达定理，得x1x2，x1x2，|AB| |x2x1|.直线yx1被1所截得的弦长为.【变式训练7-1】已知直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|，则k_.【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得k4k220，所以k21，所以k1.【答案】1知识点8 直线与椭圆的综合应用【例8-1】设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与椭
14、圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.【分析】(1)由椭圆C的方程可求得右焦点F的坐标，由于lx轴，从而求出A的坐标，进一步可求得AM的方程；(2)对直线l分三种情况讨论：当直线l与x轴重合时，可直接求得OMAOMB；当直线lx轴时，可直接求得OMAOMB；当直线l与x轴不重合也不垂直时，可设l的方程为yk(x1)(k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用斜率公式表示出kMAkMB.把直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y转化为x的一元二次方程，利用根与系数的关系可证明kMAkMB0，从而证得OMA
15、OMB.【解】(1)由椭圆方程为y21，得F(1,0)，当l与x轴垂直时，l的方程为x1.由已知可求得，点A的坐标为或.又M(2,0)，所以AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴重合时，OMAOMB；当lx轴时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB；当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x20”是“方程mx2ny21表示的曲线是椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若方程mx2ny21表示椭圆，则m0，n0，且mn，可推得mn0.反之不成立，所以“mn0”是“方程mx2n
16、y21表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件【答案】B2方程 2表示()A椭圆 B圆C直线 D线段【解析】设P(x，y)，A(1,0)，B(1,0)，则方程表示|PA|PB|2，而|AB|2.|PA|PB|AB|，方程表示线段AB.【答案】D3椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，则k的值为()A1 BC. D25【解析】将椭圆5x2ky25化为标准方程x21，由题意，得k1.【答案】A4已知ABC的周长为18，|AB|8，A(4,0)，B(4,0)，|CA|CB|，则点C的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(y0)C.1(y0，x0)D.1(y0，x|AB|，点C的轨迹是椭圆，且2a10,2
17、c8，a5，c4，b2a2c29，椭圆方程为1.又|CA|CB|，xb0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则椭圆C的离心率为()A. B C. D【解析】由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.【答案】A5我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”设F1，F2是“优美椭圆”C：1(ab0)的两个焦点，则椭圆C上满足F1PF290的点P的个数为()A0B1 C2D4【解析】如图所示，在RtOF1B中，|F1B|a，|OF1|c，则sin F1BO，F1BO4
18、5，F1BF20)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为()A. B C. D【解析】椭圆y21的焦点在x轴上，焦点坐标为( ，0)由题意，得y21，y.|AB|1，1，a2，c ，离心率e.【答案】A7已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_【解析】设P(x，y)，则(xc，y)，(xc，y)，x2c2y2c2，即x2y22c2，即椭圆上存在点P，使得|PO|c，又|PO|b，abca，b22c2a2，由a2c22c2，得e，由2c2a2，e2，e，e，.【答案】，8已知F1，F2
19、是椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且F1PF290，则该椭圆的离心率为_【解析】由题，可知|OP|OF2|，bc，a22c2，e2，即e.【答案】9设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_【解析】设M(m，n)，m，n0，椭圆C：1的a6，b2，c4，e，由M为椭圆C上一点且在第一象限，得|MF1|MF2|.又MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|2c或|MF2|2c，即有6m8，即m3，n，或6m8，即m30，舍去综上，M(3，)【答案】(3，)10已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e，且过点P(2,3
20、)，求此椭圆的标准方程【解】当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意得解得a240，b210，故所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，由题意得解得a225，b2，故所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.11已知椭圆C：1(ab0)的上顶点坐标为(0，)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求的取值范围【解】(1)由题意，得解得椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)得，A(2,0)，F(1,0)，设P(x，y)，则(2x，y)，(1x，y)，(2x)(1x)y2x2x23
21、x2x2x1(x2)2(2x2)0,412在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率求椭圆的标准方程【解】由题设，知a2b2c2，e，由点(1，e)在椭圆上，得1，即1，b2c2a2b2，a2a2b2，b21，c2a21.由点在椭圆上，得1，即1，1，整理得a44a240，解得a22.椭圆的标准方程为y21.B组-素养提升已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是_【解析】如图，设右焦点为F1，PF中点为M，则OM
22、为FPF1的中位线，由题意，得|OF|2，则|OM|2，|PF1|4，又|PF1|PF2|2a6，|PF|2，在PFF1中，cos PFF1，sin PFF1，ktan PFF1.【答案】3.1.3直线与椭圆的位置关系A组-应知应会1过椭圆1(a)的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|，则a的值为()A4B2C3 D9【解析】|AB|，a4.【答案】A2过坐标原点，作斜率为的直线，交椭圆1于A，B两点，则|AB|的长为()A2 B4C. D【解析】由得x2，解得x，|AB| |x2x1|4.【答案】B3已知圆M：x2y22mx30(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(
23、c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1C2 D4【解析】圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(m0)，m1，则圆心M的坐标为(1,0)由题意知，直线l的方程为xc，又直线l与圆M相切，c1，a231，a2.【答案】C4设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为()A. BC. D【解析】不妨设椭圆C的方程为1(ab0)，由已知，得a，e .【答案】C5已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1(ab0)的两个焦点，P在椭圆上，F1PF2，且当时，F1PF2的
24、面积最大，则椭圆的标准方程为()A.1 B1C.1 D1【解析】由题意，知c3，当F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的顶点重合，此时F1PO.a2，b，椭圆的标准方程为1.【答案】A6在焦距为2c的椭圆M：1(ab0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“bc”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1PF2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1PF2，则bc，所以“bb0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_【解析】由F2AB是面积为4的等边三
25、角形知，ABx轴，得2c，2c4，又a2b2c2，联立，得a29，b26，c23，故所求的椭圆C的方程为1.【答案】19(怀化模拟)已知椭圆1(ab0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得F1PF2120，则椭圆的离心率的取值范围是_【解析】由题意可得，椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中，顶角应大于等于120，所以底角小于等于30，则，即e.又0eb0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知动直线yk(x1)与椭圆C相交于A，B两点，若P，0，求证：为定值【解】(1)由题意，得解得即椭圆C的方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y
26、2)，联立得(13k2)x26k2x3k250，36k44(3k21)(3k25)48k2200，x1x2，x1x2，所以x1，y1x2，y2x1x2y1y2x1x2k2(x11)(x21)(1k2)x1x2k2(x1x2)k2(1k2)k2k2k2.故为定值11已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线yx2所得线段长为，求椭圆的标准方程【解】设椭圆的标准方程为1(ab0)，又a2b，椭圆方程可化为1.设直线yx2与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)由得5x216x164b20，由题意得，方程有两根x1，x2，且x1x2，x1x2b2.又|AB|x2x1|.解得b
27、24.故所求的椭圆的标准方程为1.12设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解】(1)根据c及题设，知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故椭圆C的离心率为.(2)由题意得，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入椭圆C的方程，得1.将及c代入，得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.B组-素养提升(日照模拟)已知椭圆E：1的一个顶点为H(2,0)，对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MPMH，则实数t的取值范围是_【解析】设M(x0，y0)(2x02)，则1.(tx0，y0)，(2x0，y0)，由MPMH，可得0，即(tx0)(2x0)y0.由消去y0，整理得t(2x0)x2x03.因为x02，所以tx0.因为2x02，所以2t1.所以实数t的取值范围为(2，1)【答案】(2，1)
