1、陕西省中考陕西省中考数数学历年学历年（2016-2022 年）真题分类汇年）真题分类汇编编专专题题 5 二次函二次函数数一、单选题一、单选题1已知抛物线 y=x22x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，将这条抛物线的顶点记为 C，连接 AC、BC，则 tanCAB 的值为（）A12B 55C2 55D22.已知抛物线 y=x22mx4（m0）的顶点 M 关于坐标原点 O 的对称点为 M，若点 M在这条抛物线上，则点 M 的坐标为（）A（1，5）B（3，13）C（2，8）D（4，20）3.对于抛物线 yax2(2a1)xa3，当 x1 时，y0，则这条抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C
2、第三象限D第四象限4.已知二次函数 y=x22x3 的自变量 x1，x2，x3 对应的函数值分别为 y1，y2，y3.当1x10，1x23 时，y1，y2，y3 三者之间的大小关系是（）A1 2 3B2 1 3C3 1 2D2 3 1 时，y 的值随 x 值的增大而增大6.在平面直角坐标系中，将抛物线 yx2（m1）x+m（m1）沿 y 轴向下平移 3 个单位.则平移 后得到的抛物线的顶点一定在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7在同一平面直角坐标系中，若抛物线 =2+(21)+24 与 =2(3+)+关 于 y 轴对称，则符合条件的 m，n 的值为（）7Am=5,n=187Bm=5
3、，n=-6Cm=-1，n=6二、综合题二、综合题Dm=1，n=-28如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx+5 经过点 M（1，3）和 N（3，5）1试判断该抛物线与 x 轴交点的情况；2平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（2，0），且与 y 轴交于点 B，同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由9.在同一直角坐标系中，抛物线 C1：y=ax22x3 与抛物线 C2：y=x2+mx+n 关于 y 轴对称，C2 与 x 轴交于 A，B 两点，其中点 A 在点 B 的左侧1求抛物线 C1，C2 的函数表达式；2求
4、A，B 两点的坐标；3在抛物线 C1 上是否存在一点 P，在抛物线 C2 上是否存在一点 Q，使得以 AB 为边，且以 A，B，P，Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、Q 两点的坐标；若不存在，请说 明理由10.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以 O 为坐标原 点，以所在直线为 x 轴，以过点 O 垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.根据设计要 求：=10，该抛物线的顶点 P 到的距离为9.1求满足设计要求的抛物线的函数表达式；2现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 A、B 处分别安装照明 灯.已知点
5、A、B 到的距离均为6，求点 A、B 的坐标.11.已知抛物线 =2+2+8 与 x 轴交于点 A、B（其中 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C.1求点 B、C 的坐标；2设点 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称在 y 轴上是否存在点 P，使 与 相似且 与 是对应边？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.12.如图1问题提出如图 1，在 中，=45，=8，=6，E 是 的中点，点 F 在 上 且 =5 求四边形 的面积.（结果保留根号）2问题解决某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境.如图 2 所示，现规划在河畔的一处滩地上建一个五边 形河畔公园 按设计要求，要在五边形河
6、畔公园 内挖一个四边形人工湖 ，使点 O、P、M、N 分别在边 、上，且满足 =2=2，=.已知五边形 中，=90，=800，=1200，=600，=900.满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小.请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖？若存在，求四边形 面积的最小值及这时点 到点 的距离；若不存在，请说明理由.13.已知抛物线 L：yx2x6 与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），并与 y 轴相交于 点 C1求 A、B、C 三点的坐标，并求出ABC 的面积；2将抛物线向左或向右平移，得到抛物线 L，且 L与 x 轴相交于 A、B两点（
7、点 A在点 B 的左侧），并与 y 轴交于点 C，要使ABC和ABC 的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数 表达式14.如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点（3，12）和（2，3），与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的对称轴为直线 l.（1）求该抛物线的表达式；（2）P 是该抛物线上的点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为 D，E 是 l 上的点.要使以 P、D、E 为顶点 的三角形与AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E 的坐标.15在平面直角坐标系中，已知抛物线 L：=2+()+经过点 A（-3，0）和点 B（0，-6，L 关于原点 O 对称的抛物线为 .1求抛物线 L 的表达式
8、；2点 P 在抛物线 上，且位于第一象限，过点 P 作 PDy 轴，垂足为 D.若POD 与AOB相似，求符合条件的点 P 的坐标.答案解析部答案解析部分分1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】D8.【答案】（1）解：由抛物线过 M、N 两点，把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得+5=39+3+5=5，解得=1=3，抛物线解析式为 y=x23x+5，令 y=0 可得 x23x+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与 x 轴没有交点；（2）解：AOB 是等腰直角三角形，A（2，0），点 B 在 y 轴上，B 点
9、坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n，当抛物线过点 A（2，0），B（0，2）时，代入可得=242+=0，解得=2=3，平移后的抛物线为 y=x2+3x+2，该抛物线的顶点坐标为（3，1），而原抛物线顶点坐标为（3，11），2424将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过 A（2，0），B（0，2）时，代入可得=2 42+=0，解得=1=2，平移后的抛物线为 y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（1，9），而原抛物线顶点坐标为（3，11），2424将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位
10、即可获得符合条件的抛物线9【答案】（1）解：C1、C2 关于 y 轴对称，C1 与 C2 的交点一定在 y 轴上，且 C1 与 C2 的形状、大小均相同，a=1，n=3，C1 的对称轴为 x=1，C2 的对称轴为 x=1，m=2，C1 的函数表示式为 y=x22x3，C2 的函数表达式为 y=x2+2x32解：在 C2 的函数表达式为 y=x2+2x3 中，令 y=0 可得 x2+2x3=0，解得 x=3 或 x=1，A（3，0），B（1，0）3解：存在AB 的中点为（1，0），且点 P 在抛物线 C1 上，点 Q 在抛物线 C2 上，AB 只能为平行四边形的一边，PQAB 且 PQ=AB，由
11、（2）可知 AB=1（3）=4，PQ=4，设 P（t，t22t3），则 Q（t+4，t22t3）或（t4，t22t3），当 Q（t+4，t22t3）时，则 t22t3=（t+4）2+2（t+4）3，解得 t=2，t22t3=4+43=5，P（2，5），Q（2，5）；当 Q（t4，t22t3）时，则 t22t3=（t4）2+2（t4）3，解得 t=2，t22t3=443=3，P（2，3），Q（2，3），综上可知存在满足条件的点 P、Q，其坐标为 P（2，5），Q（2，5）或 P（2，3），Q（2，3）10【答案】（1）解：依题意，顶点(5，9)，设抛物线的函数表达式为=(5)2+9，25将(0，
12、0)代入，得0=(05)2+9.解之，得=9.25抛物线的函数表达式为=9 5)2+9.(（2）解：令=6，得 9 5)2+9=6.(3325解之，得1=5 3+5，2=5 3+5.(55 3，6)，(5+5 3，6).331 1【答案】（1）解：令 =0，则 2+2+8=0，1=2，2=4(4,0).令 =0，则 =8.(0,8)（2）解：存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线 =1.点 与点 关于直线 =1 对称，(2,8)，=2./.点 P 在 y 轴上，=90当 =时，.设(0,)，4i）当 8 时，则 8=2，=16.(0,16)4ii）当 0 8 时，则 8=2，=16316(0,
13、3).2iii）当 ，与 =1 矛盾.点 P 不存在16(0,16)或(0,3)1 2【答案】（1）解：在 中，设 边上的高为 h.=6，=45，=sin45=3 2=，点 到 的距离为 .2四边形=(+)12122=(+)=24 2(2+2)=63 2159424（2）解：存在.如图，分别延长 与 ，交于点 F，则四边形 是矩形.设 =，则=，=2，=800，=12002.由题意，易知 =，=四边形=矩形2211112=800 1200(12002)2(800)(12002)2(800)2=422800+960000=4(350)2+470000.当 =350 时，四边形=470000.=1
14、2002=500 900，=350 600.符合设计要求的四边形 面积的最小值为 4700002，这时，点 N 到点 A 的距离为 350.1 3【答案】（1）解：当 y0 时，x2x60，解得 x13，x22，当 x0 时，y6，A(3，0)，B(2，0)，C(0，6)，SABC 1 ABOC 1 561522（2）解：将抛物线向左或向右平移时，A、B两点间的距离不变，始终为 5，那么要使ABC和ABC 的面积相等，高也只能是 6，设 A(a，0)，则 B(a5，0)，y(xa)(xa5)，当 x0 时，ya25a，当 C点在 x 轴上方时，ya25a6，a1 或 a6，此时 yx27x6
15、或 yx27x6；当 C点在 x 轴下方时，ya25a6，a2 或 a3，此时 yx2x6 或 yx2x6(与原抛物线重合，舍去)；所以，所有满足条件的抛物线的函数表 达式为：yx27x6，yx27x6，yx2x614【答案】（1）解：将点（3，12）和（2，3）代入抛物线表达式得12=9+3+，解得=23=42+=3，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；（2）解：抛物线的对称轴为 x1，令 y0，则 x3 或 1，令 x0，则 y3，故点 A、B 的坐标分别为（3，0）、（1，0）；点 C（0，3），故 OAOC3，PDEAOC90，当 PDDE3 时，以 P、D、E 为顶点的三角形与AOC
16、 全等，设点 P（m，n），当点 P 在抛物线对称轴右侧时，m（1）3，解得：m2，故 n22+2255，故点 P（2，5），故点 E（1，2）或（1，8）；当点 P 在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P（4，5），此时点 E 坐标同上，综上，点 P 的坐标为（2，5）或（4，5）；点 E 的坐标为（1，2）或（1，8）.15【答案】（1）解：由题意，得=693()+=0，解得：=6=1，L：y=x25x6（2）解：抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线为 ，点 A(-3，0)、B(0，-6)在 L上的对应点分别为 A(3，0)、B(0，6)，设抛物线 L的表达式 yx2bx6
17、，将 A(3，0)代入 yx2bx6，得 b5，抛物线 L的表达式为 yx25x6，A(3，0)，B(0，6)，AO3，OB6，设 P(m，m25m6)(m0)，PDy 轴，点 D 的坐标为(0，m25m6)，PDm，ODm25m6，RtPDO 与 RtAOB 相似，有 RtPDORtAOB 或 RtODPRtAOB 两种情况，36当 RtPDORtAOB 时，则 =，即 =25+6，解得 m11，m26，P1(1，2)，P2(6，12)；63当 RtODPRtAOB 时，则 =，即 =25+6，2解得 m3 3，m44，P3(3，3)，P4(4，2)，24P1、P2、P3、P4 均在第一象限，24符合条件的点 P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(3，3)或(4，2).
