1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 统计图表、用样本估计总体 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点 .2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 .3.能从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均数、标准差 )，并做出合理的解释 .4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 (对应学生用书第 162 页 ) 基础知识填充 1常用统计 图表 (1)频率分布表的画法： 第一步：求 极差 ，
2、决定组数和组距，组距 极差组数 ； 第二步： 分组 ，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表 (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图 横轴表示样本数据，纵轴表示 频率组距 ，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 频率 (3)频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ，就得到频率分布折线图 总体密度曲线：随着样 本容量的增加，作图时 所分的组数 增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线 (4)茎叶图的画法： 第一步：将每个
3、数据分为茎 (高位 )和叶 (低位 )两部分； 第二步：将各个数据的茎按 大小 次序排成一列； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右 (左 )侧 2样本的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 数字特征 定义与求法 优点与缺点 众 数 一组数据中出现次数最多的数 通常用于描述出现次数最多的数，显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征 =【 ;精品教育资源文库 】 = 中 位 数 把一组数据按 大小顺序 排列，处在 最中间 位置的一个数据 (或两个数据的平均数 ) 中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
4、 平 均 数 如果有 n 个数据 x1， x2， ? ，xn，那么这 n 个数的平均数x 1n(x1 x2 ? xn) 平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低 (2)标准差、方差 标 准 差 ： 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 表 示 ， s 1n(x1 x )2 (x2 x )2 ? (xn x )2. 方差：标准差的平方 s2 s2 1n(x1 x )2 (x2 x )2 ? (xn x )2，其中 xi(i 1,2,3， ? ， n)是 样本数据 ，n 是 样本容
5、量 ， x 是 样本平均数 知识拓展 平均数、方差的公式推广 (1)若数据 x1， x2， ? ， xn的平均数为 x ，那么 mx1 a， mx2 a， mx3 a， ? ， mxna 的平均数是 m x a. (2)数据 x1， x2， ? ， xn的方差为 s2. 数据 x1 a， x2 a， ? ， xn a 的方差也为 s2； 数据 ax1， ax2， ? ， axn的方差为 a2s2. 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 ( ) (2)一组数据的方差越大，说明这组数
6、据越集中 . ( ) (3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高 ( ) (4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次 ( ) 解析 (1)正确平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势 (2)错误方差越大，这组数据越离散 =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)正确小矩形的面积组距 频率组距 频率 (4)错误茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故 (4)错误 答案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图 93
7、1 所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) 图 931 A 91.5 和 91.5 B 91.5 和 92 C 91 和 91.5 D 92 和 92 A 这组数据由小到大排列为 87,89,90,91,92,93,94,96. 所以中位数是 91 922 91.5， 平均数 x 87 89 90 91 92 93 94 968 91.5. 3 (2017 全国卷 ) 为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田这 n 块地的亩产量 (单位： kg)分别为 x1， x2， ? ， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( ) A x1， x2， ? ，
8、xn的平均数 B x1， x2， ? ， xn的标准差 C x1， x2， ? ， xn的最大值 D x1， x2， ? ， xn的中位数 B 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差故选 B 4如图 932 所示是一样本的频率分布直方图若样本容 量为 100，则样本数据在 15,20内的频数是 ( ) 图 932 A 50 B 40 C 30 D 14 C 因为 15,20对应的小矩形的面积为 1 0.045 0.15 0.3，所以样本落在=【 ;精品教育资源文库 】 = 15,20的频数为 0.3100 30，故选 C
9、5某校女子篮球队 7 名运动员身高 (单位： cm)分布的茎叶图如图 933，已知记录的平均身高为 175 cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么 x 的值为 _ 图 933 2 170 17(1 2 x 4 5 10 11) 175， 则 17(33 x) 5，即 33 x 35，解得 x 2. (对应学生用书第 163 页 ) 频率分布直方图 (2017 北京高考 )某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7组： 20,30)， 30,40)， ?
10、， 80,90，并整理得到如图 934 所示频率分布直方图： 图 934 (1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； (2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 40,50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为 (0.020.04)10 0.6， 所以样本中分数小于 70 的频率为 1 0.6 0.4， 所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概
11、率估计为 0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为 (0.01 0.02 0.04 0.02)10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 0.9， 分数在区间 40,50)内的人数为 100 1000.9 5 5， 所以总体中分数在区间 40,50)内的人数估计为 400 5100 20. (3)由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为 (0.02 0.04)10100 60， 所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 12 30， 所以样本中的男生人数为 302 60， 女生人数为 100 60 40， 所以 样本中男生和女生人数的比例为 6040 32 ， 所以
12、根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为 32. 规律方法 频率、频数、样本容量的计算方法 频率组距 组距频率 . 频数样本容量 频率，频数频率 样本容量，样本容量 频率频数 . 易错警示：绘制频率分布直方图时的 3 个注意点 制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确； 频率分布直方图的纵坐标是 频率组距 ，而不是频率 . 注意中值估算法 . 跟踪训练 (1)(2017 河南新乡调研 )统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图935 所示 (每组含右端点，不含左端点 )，则新生婴儿体重在 (2 700,3 000克内的频率为 ( ) 【导学号： 791
13、40329】 图 935 A 0.001 B 0.1 C 0.2 D 0.3 (2)(2016 山东高考 )某高校调查了 200 名学生每周的自习时间 (单位：小时 )，制成了如图 936 所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5,30，样本数据=【 ;精品教育资源文库 】 = 分组为 17.5,20)， 20,22.5)， 22.5,25)， 25,27.5)， 27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是 ( ) 图 936 A 56 B 60 C 120 D 140 (1)D (2)D (1)每组的频率即为相应小长方形的面积， 3
14、000.001 0.3. (2)由频率分布直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为 (0.16 0.080.04)2.5 0.7，则每周自习时间不少于 22.5 小时的人数为 0.7200 140.故选D 茎叶图 (1)某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数茎叶图如图 937 所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( ) 图 937 A 117 B 118 C 118.5 D 119.5 (2)(2017 山东高考 )如图 938 所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据 (单位：件 )若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为 ( ) 图 938 A 3,5 B 5,5 C 3,7 D 5,7 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)B (2)A (1)22 次考试中，所得分数最高的为 98，最低的为 56，所以极差为 9856 42， 将分数从小到大排列，中间两数为 76,76，所以中位数为 76，
