1、第第2章章 逻辑代数的基本运算逻辑代数的基本运算v2.1 逻辑代数逻辑代数v2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法第1页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是逻辑代数又称布尔代数，其基本思想是19世纪英国数学家乔治世纪英国数学家乔治布尔首先提出的。所布尔首先提出的。所谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，谓逻辑就是事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运
2、算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。它是用数学的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和它是用数学的方法来研究、证明、推理逻辑问题的一种数学工具。逻辑代数虽然和普通代数一样也是用字母表示变量，但是这两种代数中的变量含义是完全不同的，普通代数一样也是用字母表示变量，但是这两种代数中的变量含义是完全不同的，逻辑代数中的每个变量逻辑代数中的每个变量(逻辑变量逻辑变量)只有只有0和和1两种取值两种取值,0和和1不再表示数量的大小，而不再表示数量的大小，而是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动
3、机的工作与停止。是表示对立的两种逻辑状态。例如，电灯的亮与灭、电动机的工作与停止。下一页返回第2页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v在数字电路中，输入的信号是在数字电路中，输入的信号是“条件条件”，输出的信号是，输出的信号是“结果结果”，因此输入、输出，因此输入、输出信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用信号之间存在一定的因果关系，这种因果关系称为逻辑关系。描述逻辑关系可以用语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑语句、逻辑表达式、图形和表格等，描述逻辑关系的表格又称为真值表。表示逻辑运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻
4、辑代数中有运算所用的规定的图形符号称为逻辑符号。逻辑代数中有3种基本运算种基本运算:“与与”运算、运算、“或或”运算和运算和“非非”运算。下面就分别讨论这运算。下面就分别讨论这3种基本逻辑运算。种基本逻辑运算。下一页返回上一页第3页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v2.1.1 与运算与运算v首先，我们来看一个具体的电路试验，电路如首先，我们来看一个具体的电路试验，电路如图图2-1所示，电源所示，电源E通过通过A,B两个串两个串联的开关给电灯联的开关给电灯Y供电。供电。v从图从图2-1(a)可以看出，只有开关可以看出，只有开关A,B同时闭合，灯泡同时闭合，灯泡Y才会亮，才会亮，A,B中有一个
5、或两中有一个或两个断开，灯泡个断开，灯泡Y就不亮。其逻辑关系如表就不亮。其逻辑关系如表2-1所示，当开关的闭合用所示，当开关的闭合用1表示、断开表示、断开用用0表示，灯泡的亮用表示，灯泡的亮用1表示、不亮用表示、不亮用0表示时，表示时，表表2-1的逻辑关系就可以写成表的逻辑关系就可以写成表2-2的形式，的形式，表表2-2就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样一种逻辑关系就是该逻辑的真值表。以上试验说明了这样一种逻辑关系:“只只有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生。有当一个事件的几个条件全部具备之后，这个事件才会发生。”这种逻辑关系称为与逻辑这种逻辑关系称为与逻辑与逻辑的表达式可
6、以用下式来描述与逻辑的表达式可以用下式来描述:下一页返回上一页第4页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v Y=AB或或Y=AB (2-1)v式中的小圆点式中的小圆点“”表示表示A,B的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的前提下乘号的与运算，又叫逻辑乘。在不致引起混淆的前提下乘号“”可以被省略，而写成可以被省略，而写成Y=AB。在有些文献里，用符号。在有些文献里，用符号、表示与运算请读者注表示与运算请读者注意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如意。在电路中，与逻辑的逻辑符号如图图2-1(b)所示。所示。下一页返回上一页第5页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v2.1.2 或运算或运算v 当决定事件
7、结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足，结果就会发生当决定事件结果的几个条件中，只要有一个或一个以上的条件得到满足，结果就会发生时，这种逻辑关系称为或逻辑。如图时，这种逻辑关系称为或逻辑。如图2-2(a)所示就是或逻辑模型电路，图中所示就是或逻辑模型电路，图中A,B是两个是两个并联开关，并联开关，Y是灯泡，是灯泡，E是电源。当是电源。当A,B均不通时，则灯泡均不通时，则灯泡Y不亮不亮;只要开关只要开关A或或B有一个接通或两个均接通，则灯泡有一个接通或两个均接通，则灯泡Y亮。可以看出，该电路满足或逻辑关系，其逻亮。可以看出，该电路满足或逻辑关系，其逻辑关系如辑关系如表表2-3所示。
8、所示。下一页返回上一页第6页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v仿照前面的方法，用仿照前面的方法，用0和和1表示的或逻辑真值表如表表示的或逻辑真值表如表2-4所示，用逻辑表达式描述可所示，用逻辑表达式描述可写为写为v Y=A+B (2-2)v式中的符号式中的符号“+”表示表示A,B的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用符号的或运算，也称为逻辑加。在有些文献里，用符号,表示表示或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如或运算，请读者注意。在电路中或逻辑的逻辑符号如图图2-2(b)所示。所示。下一页返回上一页第7页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v2.1.3 非运算非运算v 另外一种基
9、本的逻辑运算就是非运算，即另外一种基本的逻辑运算就是非运算，即“一件事情一件事情(灯泡灯泡)的发生是以其相反的发生是以其相反的条件为依据的条件为依据”。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如。这种逻辑关系称为非逻辑，其逻辑电路如图图2-3(a)所示。图中所示。图中E是电是电源，源，R是限流电阻。开关是限流电阻。开关A闭合时，灯泡闭合时，灯泡Y不亮不亮;开关开关A断开时，灯泡断开时，灯泡Y则亮。则亮。下一页返回上一页第8页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数 其逻辑关系如表其逻辑关系如表2-5所示，同样也可写成真值表的形式，如表所示，同样也可写成真值表的形式，如表2-6所示，从真值表中可以所示，从
10、真值表中可以看出，非逻辑的运算规律为看出，非逻辑的运算规律为:输入。则输出输入。则输出1;输入输入1则输出则输出0,即即“输入、输出始终相输入、输出始终相反反”。非运算的逻辑表达式可写。非运算的逻辑表达式可写v (2-3)v式中，字母式中，字母A上方的上方的“-”表示非运算在某些文献里，也有用表示非运算在某些文献里，也有用“”或或“”来表示非运算来表示非运算的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如的。用非逻辑门电路实现非运算，其逻辑符号如图图2-3(b)所示。所示。YA下一页返回上一页第9页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v2.1.4 几种常见的复合逻辑关系几种常见的复合逻辑关系v 与、
11、或、非运算是逻辑代数中最基本的与、或、非运算是逻辑代数中最基本的3种运算，任何复杂的逻辑关系都可以通种运算，任何复杂的逻辑关系都可以通过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号以过与、或、非组合而成。常见的几种复合逻辑关系的逻辑表达式、逻辑符号以及逻辑真值表分别介绍如下。及逻辑真值表分别介绍如下。下一页返回上一页第10页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v1.与非运算与非运算v逻辑表达式为逻辑表达式为v （2-4）v逻辑符号如逻辑符号如图图2-4所示。所示。v真值表如表真值表如表2-7所示所示v 从从表表2-7中可以看出，只有中可以看出，只有A,B全为全为1时，时，Y
12、才为才为0，与非逻辑和与逻辑正好相反，即，与非逻辑和与逻辑正好相反，即“当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生当一件事情的几个条件全部具备之后，这件事情才不发生”。YAB下一页返回上一页第11页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v2.或非运算或非运算v逻辑表达式为逻辑表达式为v (2-5)v逻辑符号如图逻辑符号如图2-5所示。所示。v真值表如真值表如表表2-8所示。所示。v 同样从同样从表表2-8中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻辑关系读者可中可以看出，或非逻辑与或逻辑也正好相反。它的逻辑关系读者可以自己整理一下。以自己整理一下。YAB下一页返回上一页第12页，共99
13、页。2.1 逻辑代数逻辑代数v3.异或运算异或运算v逻辑表达式为逻辑表达式为v 或者或者 (2-6)v逻辑符号如逻辑符号如图图2-6所示。所示。v真值表如真值表如表表2-9所示。所示。v异或逻辑的特点是异或逻辑的特点是:输入相同时，输出为输入相同时，输出为0;输入相异时，输出为输入相异时，输出为1。YABABYAB下一页返回上一页第13页，共99页。2.1 逻辑代数逻辑代数v4.同或运算同或运算v逻辑表达式为逻辑表达式为v 或者或者 (2-7)v逻辑符号如逻辑符号如图图2-7所示。所示。v真值表如真值表如表表2-10所示。所示。YABABYAB下一页返回上一页第14页，共99页。2.1 逻辑代
14、数逻辑代数v5.与或非运算与或非运算v 这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、或运算和非运算这是一个很典型的组合逻辑运算，从字面上也可以看出，它是与运算、或运算和非运算3种逻辑运算的组合。如种逻辑运算的组合。如图图2-8所示是其逻辑符号，如所示是其逻辑符号，如图图2-9所示是其等效逻辑电路图所示是其等效逻辑电路图v逻辑表达式为逻辑表达式为v (2-8)v真值表如真值表如表表2-11所示。所示。v根据实际需要，可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。根据实际需要，可以选用不同数量输入端的与或非逻辑电路。YABCD返回上一页第15页，共99页。2.2 逻辑函数及其表示方法逻
15、辑函数及其表示方法v2.2.1 逻辑函数逻辑函数v 一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成的，自变量一般地，函数是由自变量、因变量和对应法则构成的，自变量A,B,C,的取值确定的取值确定以后，因变量以后，因变量Y的值也就唯一确定了。的值也就唯一确定了。Y称为称为A,B,C,的函数。逻辑函数也是如此，的函数。逻辑函数也是如此，但其变量取值只有但其变量取值只有0和和1逻辑函数的一般表达式可写为逻辑函数的一般表达式可写为v Y=F(A，B，C，)(2-9)v 与、或、非是与、或、非是3种基本的逻辑运算，即种基本的逻辑运算，即3种基本的逻辑函数。但在实际的逻辑问题种基本的逻辑函数。但在实际的逻辑
16、问题中，往往是由中，往往是由3种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的运算形式。种基本逻辑运算组合起来，构成一种复杂的运算形式。下一页返回第16页，共99页。2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v2.2.2 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法v 逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。其逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图等方法来表示。其中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形下面说明各方法之间的转换。中，逻辑图是用逻辑符号连接构成的图形下面说明各方法之间的转换。v例例2-1 已知逻辑函数的表达式为已知逻辑函数的表达式为 。要求。要求:列出相应
17、的真值表列出相应的真值表;已知输入波已知输入波形形;画出输出波形画出输出波形;画出逻辑图。画出逻辑图。YBAC下一页返回上一页第17页，共99页。2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v解解:根据逻辑表达式，画出逻辑图如根据逻辑表达式，画出逻辑图如图图2-10所示。所示。v 将将A,B,C的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如的所有组合代入逻辑表达式中进行计算，得到真值表如表表2-12所示。所示。v根据真值表画出的波形图如根据真值表画出的波形图如图图2-11所示。所示。下一页返回上一页第18页，共99页。2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v例例2-2 已知函数
18、已知函数Y的逻辑图如的逻辑图如图图2-12所示，写出函数所示，写出函数Y的逻辑表达式。的逻辑表达式。v解解:根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下根据逻辑图逐级写出输出端函数表达式如下:v最后得到函数最后得到函数Y的表达式为的表达式为123YABCYABCYABCYABCABCABC下一页返回上一页第19页，共99页。2.2 逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法v通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中通过真值表也可以直接写出逻辑表达式，方法是将真值表中Y为为1的输入变量相与，的输入变量相与，取值为取值为1的用原变量表示，为的用原变量表示，为0的用反变量表示，将这些与项相加，就
19、得到逻辑的用反变量表示，将这些与项相加，就得到逻辑表达式例如表达式例如.对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出对于异或逻辑关系，根据真值表可以直接写出 。YABAB下一页返回上一页第20页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v2.3.1 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v常用的逻辑代数定律和恒等式如下。常用的逻辑代数定律和恒等式如下。v自等律自等律v0-1律律v重叠律重叠律v互补律互补律0AA 1AA 11A 00AAAAAA A1AA0A A 下一页返回上一页第21页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒
20、等式v还原律还原律v交换律交换律v结合律结合律v分配律分配律v反演律反演律A BBAABBA()()ABCABC()()A BCAB C()A BCABACAA()()ABCAB ACABABA BAB下一页返回上一页第22页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v反演律公式或以推广到多个变量反演律公式或以推广到多个变量(摩尔根定律摩尔根定律)v吸收率吸收率v其他常用恒等式有：其他常用恒等式有：ABCABCABCABCAABAAABAB()()()A ABAAB ACABCABACBCABACABACBCDABAC下一页返回上一页第23页，共99页。2.3 逻
21、辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等这些基本定律可以直接利用真值表证明，如果等式两边的真值表相同，则等式成立。式成立。v例例2-3 证明反演率证明反演率v证明证明:列举列举A,B的所有取值，并计算出的所有取值，并计算出 。其真值表如。其真值表如表表2-13所示。所示。;.ABAB ABAB,.A BABABA B下一页返回上一页第24页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v从从表表2-13可以直接看出反演率可以直接看出反演率 是成立的。是成立的。v几个常用公式的证明如下。几个常
22、用公式的证明如下。v v证明证明ABABAB和AB(1)AABA(1)1AABABAA(2)()1(3)()()(4)()()1()ABABAABABA BBAAA ABAA ABAAABAABAAABAABAAABAA ABABAB 证明：证明：下一页返回上一页第25页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式(5)()(1)(1)(6)()()ABACBCABACABACBCABACAA BCABACABCABCABCACBABACABABABABABABABABAB ABAAABABBBABAB证明：证明：下一页返回上一页第26页，共99页。2.3 逻辑代数
23、的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v2.3.2 逻辑代数的逻辑代数的3个规则个规则v1.代入规则代入规则v在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等式仍然成立。在任何一个逻辑等式中，如果将某个变量用同一个函数式来代换，则等式仍然成立。v例例2-4 已知等式已知等式A+AB=A，若令，若令Y=C+D代替等式中的代替等式中的A，试证明新等式，试证明新等式(C+D)+(C+D)B=C+D成立。成立。v证明证明:(C+D)+(C+D)B=(C+D)(1+B)=(C+D)1=C+D下一页返回上一页第27页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等
24、式v2.反演规则反演规则v对于任意一个逻辑函数对于任意一个逻辑函数Y，如果要求其反函数，如果要求其反函数Y，只要将，只要将Y表达式中的所有表达式中的所有“”换成换成“+”，“+”换成换成“”,“0”换成换成“1”,“1”换成换成“0”，原变量换成反变量，反变量换，原变量换成反变量，反变量换成原变量，即可求出函数成原变量，即可求出函数Y的反函数。的反函数。v注意注意:v要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。下一页返回上一页第28页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v不是一个变量上的不是一个变量上的
25、“非非”号应保持不变号应保持不变2-5()()()()YABCDYAB CDYABCDAB CDAB CD例 应写成。证明：,YABCDYABCD例如：则下一页返回上一页第29页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v3.对偶规则对偶规则v对于函数对于函数Y，若把其表达式中的，若把其表达式中的“”换成换成“+”，“+”换成换成“”，“0”换成换成“1”换换成成“0”，就可得到一个新的逻辑函数，就可得到一个新的逻辑函数Y,Y就是就是Y的对偶式。的对偶式。,(),;,();,()();,ZA BCZABCZABCZA BCZABACZABACZABCZABC例如：
26、则则则则。下一页返回上一页第30页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也一定相等这就是对偶规则若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也一定相等这就是对偶规则v例如例如:A+BCD=(A+B)(A+C)(A+D)，则，则A(B+C+D)=AB+AQ+AD。v 使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非非”号应保持号应保持不变。不变。v利用对偶规则，可以从已知的公式中得到更多的运算公式，例如，吸收律利用对偶规则，可以从已知的公式中得到更多的运算公式，
27、例如，吸收律 成立，成立，则它的对偶式也是成立的。则它的对偶式也是成立的。AABAB()A ABAB下一页返回上一页第31页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v2.3.3 逻辑函数化简法逻辑函数化简法v1.化简的意义化简的意义v 逻辑函数的简化意味着实现这个逻辑函数的电路元件少，从而降低成本，提高电路的可逻辑函数的简化意味着实现这个逻辑函数的电路元件少，从而降低成本，提高电路的可靠性例如靠性例如:()()YABCABCABCABCAB CCBC AAABBC下一页返回上一页第32页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v逻
28、辑函数表达式的表达形式大致可分为逻辑函数表达式的表达形式大致可分为5种种:“与或与或”式、式、“与非与非-与非与非”式式“与或非与或非”式、式、“或与或与”式、式、“或非或非-或非或非”式。它们可以相互转换。例如式。它们可以相互转换。例如:()()()()()()YABACABACABACAB ACACABACABACABACABACAB下一页返回上一页第33页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v逻辑函数的化简，通常指的是化简为最简与或表达式。因为任何一个逻辑函逻辑函数的化简，通常指的是化简为最简与或表达式。因为任何一个逻辑函数表达式都比较容易展开成与或表
29、达式，一旦求得最简与或式，又比较容易数表达式都比较容易展开成与或表达式，一旦求得最简与或式，又比较容易变换为其他形式的表达式。变换为其他形式的表达式。v 所谓最简与或式，是指式中含有的乘积项最少，并且每一个乘积项包含的所谓最简与或式，是指式中含有的乘积项最少，并且每一个乘积项包含的变量也是最少的。变量也是最少的。下一页返回上一页第34页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v2.逻辑函数的化简法逻辑函数的化简法v 代数化简法就是运用逻辑代数的基本定律、规则和常用公式化简逻辑函数。代数化简法就是运用逻辑代数的基本定律、规则和常用公式化简逻辑函数。代数化简法经常采
30、用下列几种方法。代数化简法经常采用下列几种方法。v(1)合并项法合并项法v利用公式利用公式 ，将两项合并为一项，消去一个变量。，将两项合并为一项，消去一个变量。1AA()1()YABCABCBCBC AABCBCBCYABCABABCB ACAACB例如：下一页返回上一页第35页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v(2)吸收法吸收法,()AABAABACABACYABABCD EFABYABDABCCDABDABCYADADABACBDABEFBEFAABACBDABEFBEFABDBEF利用公式及消去多余乘积项。例如：下一页返回上一页第36页，共99页。
31、2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v(3)消去法消去法()()AABABYAABBEABBEABEYABACBCABAB CABABCABCYABABABCDABCDABABABAB CDABABABABCDABABCD利用公式消去多余因子。例如：下一页返回上一页第37页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v(4)配项法配项法v利用公式利用公式 ，给某个乘积项配项，以达到进一步简化的目的。，给某个乘积项配项，以达到进一步简化的目的。1,AA()()()YABBCBCABAB CCBCBC AAABABCABCBCABCABCABAB
32、BCAC BBABBCAC例如：下一页返回上一页第38页，共99页。2.3 逻辑代数的基本定律和恒等式逻辑代数的基本定律和恒等式v使用配项法时要有一定的经验，否则越配越繁。通常对逻辑表达式进行化简要综合使用配项法时要有一定的经验，否则越配越繁。通常对逻辑表达式进行化简要综合使用上述技巧例如使用上述技巧例如:v在数字电路中，经常大量使用与非门，所以如何把一个化简了的与或表达式转换为在数字电路中，经常大量使用与非门，所以如何把一个化简了的与或表达式转换为与非与非-与非式，并用与非门去实现它，是十分重要的。一般来讲，用两次求与非式，并用与非门去实现它，是十分重要的。一般来讲，用两次求反法可以将一个化
33、简了的与或式转换成与非反法可以将一个化简了的与或式转换成与非-与非式与非式()()YACABCBCABCAC BBABCBC AAABCABCABCABCABCABCABCABCYABBCCDABBCCDABBCCD例如：返回上一页第39页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v2.4.1 最小项的定义和性质最小项的定义和性质v1.最小项的定义最小项的定义v 对于对于N个变量，如果个变量，如果P是一个含有万个因子的乘积项，而在是一个含有万个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称量或反变量的形式出现一
34、次，且仅出现一次，那么就称P是万个变量的一个最小项。是万个变量的一个最小项。例如例如 是是3个变量个变量A,B,C的最小项而的最小项而 则不是则不是。v 因为每个变量都有以原变量和反变量两种形式出现的可能，所以因为每个变量都有以原变量和反变量两种形式出现的可能，所以N个变量有个变量有2N个个最小项。最小项。,ABC A BC,()ABCA AB A BC下一页返回第40页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v2.最小项的性质最小项的性质v每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为1,而其他变量取值都使它的值为而其他变量取值都使它
35、的值为0。v任意两个不同的最小项的乘积恒为任意两个不同的最小项的乘积恒为0。v全部最小项之和恒为全部最小项之和恒为1。下一页返回上一页第41页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v为了分析最小项的性质，下面列出为了分析最小项的性质，下面列出3个变量的所有最小项的真值表，如表个变量的所有最小项的真值表，如表2-14所示。所示。v由逻辑函数的真值表可以很容易地写出其标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、由逻辑函数的真值表可以很容易地写出其标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或
36、式。()()()YABBCACAB CCBC AAAC BBABCABCABCABC例：下一页返回上一页第42页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v3.最小项编号及表达式最小项编号及表达式v为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是:把与最小项对应的那一组变量把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数就是该最小项的编号。代表符取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数就是该最小项的编号。代表符号如号如表表2-15所示。所示。v在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。例如在标准与或式中，常用最
37、小项的编号来表示最小项。例如:常写成常写成 或或 。Y ABC ABC ABC ABC3567(,)YF A B Cmmmm(3,5,6,7)Ym下一页返回上一页第43页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。达式的方法。v例如例如:要将要将 化成最
38、小项表达式，这时可以利用化成最小项表达式，这时可以利用 的基本运的基本运算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量算关系，将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A,B,C的项，即的项，即:v此式是由此式是由4个最小项构成的，它是一组最小项之和，因此是一个最小项表达式。个最小项构成的，它是一组最小项之和，因此是一个最小项表达式。(,)Y A B CABAC1AA(,)()()Y A B CABACAB CCAC BBABCABCABCABC下一页返回上一页第44页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v对照表对照表2-15，上式中各最小项可分别表示为，上式中各最小项
39、可分别表示为m7、m6、m3、m1、，所以又可写、，所以又可写为为v由此可见，任何一个逻辑函数都可以化为唯一的最小项表达式。由此可见，任何一个逻辑函数都可以化为唯一的最小项表达式。3567(,)(1,3,6,7)(,)()()()()()(3,5,6,7)YA B CmY A B CABABC ABABABCABAB AB CABABAB CABABCABCABABCABCAB CCABCABCABCABCmmmmm又如：下一页返回上一页第45页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v2.4.2 逻辑函数的卡诺图表达法逻辑函数的卡诺图表达法v1.逻辑变量卡诺图逻辑变量
40、卡诺图v 卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目n，则应有则应有2n个小方格，每个小方格代表一个最小项。个小方格，每个小方格代表一个最小项。v卡诺图中将卡诺图中将n;个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值决定了小方格的个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值决定了小方格的编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。如编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。如图图2-13所示所示分别列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图
41、。分别列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。下一页返回上一页第46页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。v 所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同。所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同。v所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，还包括方格间具有对称相邻性。对所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接
42、小方格的相邻，还包括方格间具有对称相邻性。对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。也就是说，各小方格上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子不同，有些文献中称此也就是说，各小方格上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子不同，有些文献中称此特点为循环邻接，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。特点为循环邻接，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。下一页返回上一页第47页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v卡诺图的主要缺点是随着变量
43、数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在5个以上个以上时，很少使用卡诺图。时，很少使用卡诺图。v2.逻辑函数的卡诺图表达法逻辑函数的卡诺图表达法v 根据逻辑函数的最小项表达式画函数卡诺图时，只要将表达式中包含的最根据逻辑函数的最小项表达式画函数卡诺图时，只要将表达式中包含的最小项对应的小方格内填上小项对应的小方格内填上1，没有包含的最小项填上，没有包含的最小项填上0(或不填或不填)，就可以得到函，就可以得到函数的卡诺图。数的卡诺图。下一页返回上一页第48页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v(2)画
44、出其卡诺图画出其卡诺图(见见图图2-14)。321(,)(,)1,2,3Y A BABY A BABABABABmmmm例2-6 请画出逻辑函数的卡诺图。解：(1)求出逻辑函数的最小项表达式。（）下一页返回上一页第49页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v(2)画出其卡诺图画出其卡诺图(见见图图2-15)(,)()()()()()(15,13,10,6,0)(1,2,3,4,57,8,9,11,12,14)Y A B C DABCDABCD ABCD ABCD ABCDYABCDABCDABCDABCDABCDmYm例2-7 画出逻辑函数的卡诺图。解：(1)由摩根
45、定律，Y的反函数所以下一页返回上一页第50页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v2.4.3 利用卡诺图化简逻辑函数利用卡诺图化简逻辑函数v1.化简的依据化简的依据v 我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量，如图邻最小项的和将消去一个变量，如图2-13(c)所示四变量卡诺图中的所示四变量卡诺图中的m5和方格和方格m7，它，它们的逻辑加是们的逻辑加是 ,消去了变量消去了变量C，即消去了相邻方格中不相同，即消去了相邻方格中不相同的那个因子
46、若卡诺图中的那个因子若卡诺图中4个相邻的方格为则这个相邻的方格为则这4个相邻的最小项的和将消去两个个相邻的最小项的和将消去两个变量，如图变量，如图2-13(c)所示四变量卡诺图中的所示四变量卡诺图中的m2,m3,m6,m7自们的逻辑加是自们的逻辑加是:()ABCDABCDABD CCABD()()()ABCDABCDABCDABCDABC DDABC DDABCABCAC BBAC下一页返回上一页第51页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v从式中可以看出，消去了变量从式中可以看出，消去了变量B和和D,即消去相邻即消去相邻4个方格中不相同的那两个因个方格中不相同的那
47、两个因子，这样反复应用子，这样反复应用 的关系，就可使逻辑表达式得到化简。这就是的关系，就可使逻辑表达式得到化简。这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的基本原理。利用卡诺图法化简逻辑函数的基本原理。v2.化简的步骤化简的步骤v用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下。用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下。v将逻辑函数写成最小项表达式。将逻辑函数写成最小项表达式。1AA下一页返回上一页第52页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填，其余方格填0(或或不填不填)。
48、v合并最小项，即将相邻的合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组，每一组含方格圈成一组，每一组含2n个方格，对应每个组写成个方格，对应每个组写成一个新的乘积项一个新的乘积项(消去不同的变量，相同的变量写成与项消去不同的变量，相同的变量写成与项)。v将所有组对应的乘积项相加。将所有组对应的乘积项相加。v有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的、两步骤就可合为一步。两步骤就可合为一步。下一页返回上一页第53页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v注意注意:画卡诺图的包围圈时应遵循以下原则。画卡诺图的包围圈时应遵循以下原则。v包围圈内的方格
49、数必定为包围圈内的方格数必定为2n个，个，n等于。等于。,1,2,3,.v相邻方格包含上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。相邻方格包含上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。v同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈是多余的。则该包围圈是多余的。v包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。下一页返回上一页第54页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v化简后，一个包围圈对应一个与项化简后，一个包围圈对应一个
50、与项(乘积项乘积项)，包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。，包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。下面通过例子来熟悉用卡诺图化简逻项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。下面通过例子来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。辑函数的方法。下一页返回上一页第55页，共99页。2.4 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法v例例2-8 化简化简 。v解：解：(1)画出函数的卡诺图，如图画出函数的卡
