1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (五十二 ) 椭 圆 A 组 基础达标 一、选择题 1 (2016 全国卷 ) 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 14，则该椭圆的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 B 如图， |OB|为椭圆中心到 l 的距离，则 |OA| OF| |AF| OB|，即 bc a b2，所以 e ca 12. 2已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、 F2，离心率为33 ，过 F2的直线l 交 C 于 A、 B 两点若 AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方
2、程为 ( ) 【导学号： 79140286】 A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 A 由题意及椭圆的定义知 4a 4 3，则 a 3，又 ca c3 33 ， c 1， b2 2， C 的方程为 x23y22 1，选 A. 3设 P 是椭圆 x225y29 1 上一点， M， N 分别是两圆： (x 4)2 y2 1 和 (x 4)2 y2 1 上的点，则 |PM| |PN|的最小值、 最大值分别为 ( ) A 9,12 B 8,11 C 8,12 D 10,12 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦
3、点，由椭圆的定义可知 |PF1| |PF2| 10，易知 |PM| |PN| (|PM| |MF1|) (|PN| |NF2|) 2，则其最小值为 |PF1| |PF2| 28，最大值为 |PF1| |PF2| 2 12. 4若点 O 和点 F 分别为椭圆 x24y23 1 的中心和左焦点，若 P 为椭圆上的任意一点，则 OP FP的最大值为 ( ) A 2 B 3 C 6 D 8 C 由题意知， O(0,0)， F( 1,0)，设 P(x， y)，则 OP (x， y)， FP (x 1， y)， OP FP x(x 1) y2 x2 y2 x.又 x24y23 1， y2 3 34x2，
4、OP FP 14x2 x 3 14(x 2)2 2. 2 x2 ， 当 x 2 时， OP FP 有最大值 6. 5 (2017 河北衡水六调 )已知 A( 1,0)， B 是圆 F： x2 2x y2 11 0(F 为圆心 )上一动点，线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x212y211 1 B.x236y235 1 C.x23y22 1 D.x23y22 1 D 由题意得 |PA| |PB|， | PA| |PF| |PB| |PF| r 2 3 |AF| 2， 点 P 的轨迹是以 A、 F 为焦点的椭圆，且 a 3， c 1， b 2， 动点
5、 P 的轨迹方程为 x23y22 1，故选 D. 二、填空题 6已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 55 ，且过点 P( 5,4)，则椭圆的标准方程为 _ x245y236 1 由题意设椭圆的标准方程为x2a2y2b2 1(a b 0)由离心率 e55 可得 a2=【 ;精品教育资源文库 】 = 5c2，所以 b2 4c2，故椭圆的方程为 x25c2y24c2 1，将 P( 5,4)代入可得 c2 9，故椭圆的方程为 x245y236 1. 7 (2017 太行中学 )如图 852， OFB 6 ， ABF 的面积为 2 3，则以 OA 为长半轴，OB 为短半轴， F 为一个焦点
6、的椭圆方程为 _ 图 852 x28y22 1 设所求椭圆方程为x2a2y2b2 1(ab0)，由题意可知， |OF| c， |OB| b， | BF| a. OFB 6 ， bc 33 ， a 2b. S ABF 12| AF| BO| 12(a c) b 12(2b 3b)b 2 3， 解得 b2 2，则 a 2b 2 2. 所求椭圆的方程为 x28y22 1. 8已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， 满足 MF 1 MF 2 0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _. 【导学号： 79140287】 ?0， 22 满足 MF1 MF2 0 的点 M 的轨迹是以 F1F2为
7、直径的圆，若其总在椭圆内部，则有 c b，即 c2 b2，又 b2 a2 c2，所以 c2 a2 c2， 即 2c2 a2，所以 e2 12，又因为0 e 1，所以 0 e 22 . 三、解答题 9已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为22 ，其中左焦点为 F( 2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，且线段 AB 的中点 M 在圆 x2 y2 1 上，求 m 的值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)由题意，得? ca 22 ，c 2，a2 b2 c2，解得 ? a 2 2，b 2. 椭圆 C 的方程为
8、x28y24 1. (2)设点 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，线段 AB 的中点为 M(x0， y0)， 由? x28y24 1，y x m，消去 y 得， 3x2 4mx 2m2 8 0， 96 8m20， 2 3b0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0)，点 B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM| 2|MA|，直线 OM 的斜率为 510. (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为 (0， b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 72，求 E 的方程 解 (1)由
9、题设条件知，点 M 的坐标为 ? ?23a， 13b ，又 kOM 510，从而 b2a 510，进而得 a 5b， c a2 b2 2b，故 e ca 2 55 . (2)由题设条件和 (1)的计算结果可得，直线 AB 的方程为 x5b yb 1，点 N 的坐标为?52 b，12b . 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ? ?x1，72 ，则线段 NS 的中点 T 的坐标为?54 bx12，14b74 . 又点 T 在直线 AB 上，且 kNS kAB 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而有? 54 bx125b 14b 74b 1，7212bx1 52 b 5，解得
10、 b 3. 所以 a 3 5，故椭圆 E 的方程为 x245y29 1. B 组 能力提升 11 (2017 全国卷 ) 设 A， B 是椭圆 C： x23y2m 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足 AMB 120 ，则 m 的取值范围是 ( ) A (0,19 ， ) B (0， 39 ， ) C (0,14 ， ) D (0， 34 ， ) A 法一：设焦点在 x 轴上，点 M(x， y) 过点 M 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 N， 则 N(x,0) 故 tan AMB tan( AMN BMN) 3 x|y| 3 x|y|1 3 x|y| 3 x|y| 2 3|y|x2
11、y2 3. 又 tan AMB tan 120 3， 且由 x23y2m 1 可得 x2 3 3y2m ， 则 2 3|y|3 3y2m y2 3 2 3|y|?1 3m y2 3. 解得 |y| 2m3 m. 又 03 时，焦点在 y 轴上， 要使 C 上存在点 M 满足 AMB 120 ， 则 abtan 60 3， 即 m3 3，解得 m9. 故 m 的取值范围为 (0,19 ， ) 故选 A. 12过椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且点B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F2，若 13k12，则椭圆的离心率的取值范
12、围是 _. 【导学号： 79140288】 ?12，23 如图所示， |AF2| a c， |BF2| a2 c2a ， k tan BAF2 |BF2|AF2|a2 c2aa c a ca 1 e. 又 13k12， 131 e12，解得 12e23. 13 (2017 云南统测 )已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于 32 ，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5.直线 l： y kx m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 相交于 A， B 两个点 (1)求椭圆 E 的方程； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 AP 3PB ，求 m2的取值
13、范围 解 (1)根据已知设椭圆 E 的方程为 y2a2x2b2 1(a b 0)，焦距为 2c，由已知得ca32 ， c32 a， b2 a2 c2 a24. 以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5， 4 a2 b2 2 5a 4 5， a 2， b 1. 椭圆 E 的方程为 x2 y24 1. (2)根据已知得 P(0， m)，设 A(x1， kx1 m)， B(x2， kx2 m)，由? y kx m，4x2 y2 4 0 得， (k2 4)x2 2mkx m2 4 0. 由已知得 4m2k2 4(k2 4)(m2 4) 0，即 k2 m2 4 0， 且 x1 x2 2kmk2 4， x1x2 m2 4k2 4. 由 AP 3PB 得 x1 3x2. 3( x1 x2)2 4x1x2 12x22 12x22 0. 12k2m2(k2 4)24(m2 4)k2 4 0，即 m2k2 m2 k2 4 0. 当 m2 1 时， m2k2 m2 k2 4 0 不成立， k2 4 m2m2 1. k2 m2 4 0， 4 m2m2 1 m2 4 0， 即 (4 m2)m2m2 1 0.1 m2 4. m2的取值范围是 (1,4)
