1、-1-第17讲复数-2-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点课标导引教材核心知识课标要求学业水平评价要求复数的定义及相关概念通过方程的解认识复数了解复数的几何意义及其应用理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义理解复数代数形式的四则运算掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加减运算的几何意义理解-3-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦1.复数的定义及相关概念(1)复数的定义:形如a+bi(a,bR)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部.(2)复数的分类:已知复数z=a+bi(a,bR),当b=0时,复数z为实数;当b0时,复数z为虚数;当
2、 时,复数z为纯虚数.(4)共轭复数:当两个复数实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,即z=a+bi的共轭复数 =a-bi.(5)两个复数相等:若两个复数的实部和虚部分别对应相等,则称这两个复数相等,即a+bi=c+di .-4-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦2.复数的几何意义及其应用复平面:我们知道实数与数轴上的点一一对应,推广到复数,每一个复数a+bi(a,bR)都与平面直角坐标系上的点(a,b)一一对应,将这个平面称为复平面.点的横坐标代表复数的实部,纵坐标代表复数的虚部,横轴称为实轴,纵轴称为虚轴.复数的几何意义:复数z=a+bi(a,bR)一一对应复平
3、面内的点Z(a,b)一一对应 平面向量 .-5-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点知识聚焦3.复数代数形式的四则运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)(1)加法:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1z2=(ac-bd)+(ad+bc)i;注:乘法运算可以把i理解为字母,进行分配律的运算.注:除法不要死记公式而要理解方法:由于复数的标准形式为z=a+bi(a,bR),所以不允许分母带有i,那么利用平方差公式及i2=-1的特点,分子分母同时乘以z2的共轭复数即可.-6-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考
4、点考点一考点二考点三复数的概念角度1.复数的分类例1(1)(2020浙江高考)已知aR,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1B.-1C.2D.-2(2)(2020嘉兴高二期末)已知aR,复数z=a2-2a+(a2-1)i(i是虚数单位),则“a=0”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件-7-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三答案 (1)C(2)A 解析(1)因为(a-1)+(a-2)i为实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.(2)z为纯虚数 a=0或a=2,所以a=0是z为纯虚数
5、的充分不必要条件.故选A.-8-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查复数的分类,当复数a+bi为实数时,则b=0;为虚数时,则b0;为纯虚数时,则a=0且b0.-9-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角度2.复数的模例2(2019浙江高考)复数z=(i为虚数单位),则|z|=.-10-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查复数的模的定义,若复数z=a+bi,则|z|=-11-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角度3.共轭复数例3(2018浙江高考)复数 (i为虚数单
6、位)的共轭复数是()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案 B-12-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查共轭复数的定义,若两个复数为共轭复数,则它们的实部相等,虚部互为相反数,即复数z=a+bi的共轭复数 =a-bi.-13-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三角度4.复数相等的条件例4(2017浙江高考)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.答案 52-14-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查复数的运算及复数相等,在处理复数相等问题时,
7、通常把等号两边复数整理成代数形式,即a+bi=c+di,从而得到-15-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三复数的几何意义例5(1)设复数z满足iz=2+i,其中i为虚数单位,则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限-16-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三答案 (1)D(2)C 解析(1)z=1-2i,该复数在复平面内对应的点为(1,-2),在第四象限中.故选D.(2)z1=2-i,复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称,z2=-2-i,-17-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考
8、点一考点二考点三本题主要考查复数的几何意义,通常方法是转化成复数的代数形式z=a+bi,从而得到该复数在复平面内对应的点(a,b).-18-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三复数的运算例6设复数z满足z(2+i)=-1+2i(i为虚数单位,则z=()A.-iB.iC.-1D.1答案 B 解析 方法一:z(2+i)=-1+2i,故选B.方法二:设z=a+bi,则z(2+i)=(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i=-1+2i,-19-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查复数的代数运算.可以直接运算或者把复数设成代数形式a+bi,再进行运算,最后得到a,b的值.-20-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三例7设i是虚数单位,且i2 014=,则实数k等于()A.2B.0C.1D.-1答案 D-21-第17讲复数课标导引知识聚焦核心考点核心考点考点一考点二考点三本题主要考查复数的运算.(1)i的指数幂呈周期性变化(周期为4),即i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1.故可依照周期性,将i的较高指数幂进行降幂.(2)对于呈分式形式的复数等式,一般有两种处理方法:一是对分式本身进行化简,二是利用等式性质进行“去分母”.
