1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （2） 导学案 1了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2掌握求函数最值的方法及其应用；3体会数形结合、化归转化的数学思想重点：求函数最值的方法及其综合应用 难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系1.求函数 y=f(x)的极值的一般方法：解方程 f (x) = 0.当 f (x0) = 0 时：如果在x0附近的左侧f (x)0,右侧f (x)0 ，那么 f (x0) 为极大值；如果在x0附近的左侧f (x)0 ，那么 f (x0) 为极小值；2求函数f (x)在闭区间a，b上的最值的步骤(1)求函数yf (x)在区间(a，b
2、)上的_；(2)将函数yf (x)的_与_处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_极值 ；各极值 ；端点 ；最大值 ；最小值 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得( )(2)开区间上的单调连续函数无最值 ( )(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值 ()(4)若函数yf (x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点 ()一、 新知探究我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果
3、x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f (x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f (x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间a,b的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？探究2：那么f (x)在区间a,b的内最大值、最小值呢?探究3：观察a,b上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在a,b上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？1函数的最大(小)值的存在性一般地，
4、如果在区间a，b上函数yf (x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值连续不断 问题1：函数的极值与最值的区别是什么？二、典例解析例6: 求fx=13x3-4x+4在0,3的最大值与最小值.求函数最值的着眼点(1)从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.(2)单调区间取端点,当图象连续不断的函数f(x)在a，b上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.求下列各函数的最值(1)f (x)3x39x5，x2，2；(2)f (x)sin 2x
5、x，x.例7: 给定函数fx=x+1ex.（1）判断函数fx的单调性，并求出fx的极值；（2）画出函数fx的大致图像；（3）求出方程fx= a(aR)的解的个数.函数fx的图像直观地反映了函数fx的性质，通常可以按如下步骤画出函数fx的大致图像（1）求出函数fx的定义域；（2）求导数f(x)及函数f(x)的零点；（3）用零点将fx的定义域为若干个区间，列表给出f(x)在各个区间上的正负，并得出fx单调性与极值；（4）确定fx图像经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；（5）画出fx的大致图像.例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分,其r (单位：cm)中是瓶子的
6、半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?1优化问题生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题利润最大；用料最省；效率最高2解决优化问题的基本思路函数；导数跟踪训练2请你设计一个帐篷如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积1函数y的最大值为()Ae1 BeCe2D102设函数f (x)x32x5，若对任意x1
7、，2，都有f (x)m，则实数m的取值范围是_3已知a是实数，函数f (x)x2(xa)，求f (x)在区间0，2上的最大值4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下
8、：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值参考答案：知识梳理1解析： (1)函数在闭区间a，b上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确(3)因为y最大值y极值，y最小值y极值，故错误(4)正确答案(1)(2)(3)(4)学习过程二、 新知探究探究1： 极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值： f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大
9、值：f(a);最小值：f(x3)探究3： 最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)问题1： 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值二、 典例解析例6: 解：因为y=x2-4 =x+2x-2令y=0,解得：x1=-2,x2=2又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在0,3上取得最大值4
10、，当x=2时，函数f(x)在0,3上取得最小值- 43.跟踪训练1.解(1)f (x)9x299(x1)(x1)，令f (x)0得x1或x1.当x变化时，f (x)，f (x)变化状态如下表：x2(2，1)1(1，1)1(1，2)2f (x)00f (x)111111从表中可以看出，当x2时或x1时，函数f (x)取得最小值1.当x1或x2时，函数f (x)取得最大值11.(2)f (x)2cos 2x1，令f (x)0，得cos 2x，又x，2x，2x.x.函数f (x)在上的两个极值分别为f ，f .又f ，f .比较以上函数值可得f (x)max，f (x)min.例7: 解：（1）函数
11、的定义域为xR因为fx=x+1ex+x+1(ex)=ex+x+1ex=x+2ex令f(x)=0,解得：x=-2.f(x)、fx的变化情况如表所示所以，fx在区间-，-2上单调递减，在区间-2，+上单调递增。当x=-2时，fx有极小值f-2= - 1e2.（2）令fx=0，解得：x=-1.当x-1时， fx-1时， fx0.所以fx的图像经过特殊点A(-2,- 1e2),B-1,0,C0,1.当x-时，与一次函数相比，指数函数y=e-x 呈爆炸性增长，从而y=x+1e-x 0;当x+时， fx+, f(x)+根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程fx=a(aR)的解的个数为函数y=f
12、x的图像与直线y=a的交点个数。由（1）及图可得，当x=-2时，有最小值f-2=- 1e2所以，方程fx= a的解得个数有如下结论；当a- 1e2时，解为0个当a=- 1e2或a0时，解为1个当-1e2a0时，解为2个例8.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=fr=0.243r3 -0.8r2=0.8r33-r2,0a6.所以fr=0.8(r2-2r)令fr=0,解得r=2.当x(0,2)时，fr0.因此，当半径r2时，fr0,fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r2时，fr0, fr单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时f20，
13、表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值。跟踪训练2 解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥，如图所示设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为x m，帐篷的体积为V(x) m3，且1x4.由题设可得正六棱锥的底面边长为(m)，故底面正六边形的面积为6()2(82xx2)(m2)，故V(x)(82xx2)(1612xx3)，则V(x)(123x2)令V(x)0，解得x12，x22(舍去)当1x0，V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0，V(x)为减函数所以当x2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)16.综上可得，当帐篷的
14、顶点到底面中心的距离为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16 m3.达标检测1A令y0xe.当xe时，y0；当0xe时，y0，所以y极大值e1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.2f (x)3x2x20，x1或x.f (1)，f ，f (1)，f (2)7，m.3 解f (x)3x22ax.令f (x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f (x)在0，2上单调递增，从而f (x)maxf (2)84a.当2，即a3时，f (x)在0，2上单调递减，从而f (x)maxf (0)0.当02，即0a3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，从而f (x)max综上所述，f (x)max4.解(1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x).而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0，当50，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元
