1、4.2.1 等差数列的概念（2） 导学案 1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.2.能用等差数列的性质解决一些相关问题.3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.重点：等差数列的性质及其应用 难点：等差数列的性质的推导 1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nN*)2等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2A.3.等差数列的通项公式；ana1(n1)d，nN*
2、；4.通项公式的应用；一、典例解析例3.某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用.将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程.跟踪训练1. 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预
3、计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（ ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？A.2026 B. 2027 C. 2028 D.2029例4. 已知等差数列an 的首项a12，d=8,在an 中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn.(1)求数列bn 的通项公式.(2) b29是不是数列an 的项？若是，它是an 的第几项？若不是 ，请说明理由.对于第（2）小题，你还有其他解法吗？等差数列的性质 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入 k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差 数列.例5. 已知数列a
4、n 是等差数列，p,q,s,tN*,且 p+q=s+t求证:ap+aq=as+at例5 是等差数列的一条性质，右图是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？1在等差数列an中，若a3a5a7a9a11100，则3a9a13的值为()A20B30 C40 D502某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费_元3已知数列an是等差数列，若a4a7a1
5、017，a4a5a6a12a13a1477且ak13，则k_.4在首项为31，公差为4的等差数列中，绝对值最小的项是_. 5已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.1) 应用等差数列解决生活中实际问题的方法.2) 等差数列的每相邻两项之间都插入 k(kN*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列.3) 等差数列an，p,q,s,tN*, 若p+q=s+t，则ap+aq=as+at参考答案：知识梳理学习过程一、典例解析例3.分析：该设备使用n年后的价值构成数列an，由题意可知，anan1d (n2). 即：anan1d.所以an为公差为d的等差数列.1
6、0年之内（含10年），该设备的价值不小于（2205%=）11万元；10年后，该设备的价值需小于11万元利用an的通项公式列不等式求解解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列an由已知条件，得anan1d（n2）所以数列an是一个公差为d的等差数列.因为a1220d，所以an220d(n1)(d)220nd. 由题意，得a1011，a1111. 即：22010d1122011d11解得19d20.9所以，d的求值范围为19820，解得n475由于nN*，则n10,2019+10-1=2028所以该市在2028年 建住房面积开始大于820万平方米.例4. 分析：（1） an是一个确定
7、的数列，只要把a1 ，a2表示为bn中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设an中的第n项是bn中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是否为an的项.解：（1）设等差数列bn的公差为d.b1=a1, b5=a2, b5-b1 =a2 -a1=8b5-b1 =4d, 4d =8, d =2,bn=2+(n-1) 2=2n所以数列bn的通项公式是bn=2n（2）数列an的各项依次是数列bn的第1,5,9,13，项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列cn，则cn=4n -3令4n -3=29, 解得:n =8所以， b29是数列的第8项对于第（2
8、）小题，你还有其他解法吗？例5. 分析：利用等差数列的中的两个基本量 a1, d ,再根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，即可得证.证明：设数列an 的公差为d,则ap=a1+(p-1) d,aq=a1+(q-1) d,as=a1+(s-1) d,at=a1+(t-1) d,所以: ap+aq=2a1+(p+q-2)d,as+at=2a1+(s+t-2)d,因为p+q=s+t，所以ap+aq=as+at.例5 通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？思路：ap-asp-s=at-aqt-qp+q=s+t, p-s=t-qap-as
9、=at-aqap+aq=as+at达标检测1【答案】Ca3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2 23.2根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令a111.2，表示4 km处的车费，公差d1.2，那么当出租车行至14 km处时，n11，此时需要支付车费a1111.2(111)1.223.2(元)3【答案】18a4a7a103a717，a7.又a4a5a13a1411a977，a97.故d.aka9(k9)d13，137(k9)，k18.4 【答案】1可求得数列的通项公式为an354n.则当n8时an0；当n9时an0.又a83，a91.故绝对值最小的项为a91.5【答案】法一：设这三个数为a，b，c(abc)，则由题意得，解得法二：设这三个数为ad，a，ad，由已知得由得a6，代入得d2，该数列是递增的，d2舍去，这三个数为4,6,8.
