1、2.3.1 两直线的交点坐标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系一、自主导学两条直线的交点1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.2. 方程组的解一组无数
2、组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.二、小试牛刀1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是()A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1) 一、问题导学在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。二、典例解
3、析例1.直线l过直线xy20和直线xy40的交点，且与直线3x2y40平行，求直线l的方程求过两直线交点的直线方程的方法(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.(2)过两条相交直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线方程可设为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含直线l2).跟踪训练1三条直线ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一点，求a的值例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l
4、2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是.例3 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程; (2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点. 利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)
5、=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0 C.x+2y=0D.x-2y=0例4 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.点关于直线的对称点的求法 点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系Ax
6、+x02+By+y02+C=0,y-y0x-x0=BA,解方程组可得点P0的坐标.跟踪训练4 直线y=2x是ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.金题典例 过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10) C.(9,10) D.(9,-10)2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24 B.24 C.6 D. 63.
7、已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1l2,则点P的坐标为.4.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 5已知两直线l1：x8y70和l2：2xy10.(1)求l1与l2的交点坐标；(2)求过l1与l2交点且与直线xy10平行的直线方程. 参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.解析:解方程组x+y=5,x-y=3,得x=4,y=1.因此交点坐标为(4,1).答案:B 学习过程例1. 解法一：联立方程解得即直线l过点(1,3)因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y3(x1)，即3x2y90.法二：因为直线xy20不与
8、3x2y40平行，所以可设直线l的方程为xy4(xy2)0，整理得(1)x(1)y420，因为直线l与直线3x2y40平行，所以，解得，所以直线l的方程为xy0，即3x2y90.跟踪训练1 解解方程组得所以两条直线的交点坐标为(4,2)由题意知点(4,2)在直线ax2y70上，将(4,2)代入，得a42(2)70，解得a.例2.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.解:(1)方程组2x-y-7=0,3x+2y-7=0的解为x=3,y=-1.因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组2x-6y+4=0,4x-12y+8=0有无数个解,这表明
9、直线l1和l2重合.(3)方程组4x+2y+4=0,y=-2x+3无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1l2.跟踪训练2 解析:由5x+4y=2a+1,2x+3y=a,得x=2a+37,y=a-27,由2a+370,a-27-32,a2.-32a2.答案:-32,2例3 思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出,即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.解方程组-x-y-1=0,x+2=0,得直线所过定点.解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0.点P(1,0)在直线上, 1-2+
10、(3+2)=0.=15.所求方程为x+2y-2+15(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.解方程组-x-y-1=0,x+2=0,得x=-2,y=1.所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).跟踪训练3 解析:(方法1)解方程组2x+3y+8=0,x-y-1=0,得交点为(-1,-2).又直线l经过原点,由两点式得其方程为y-0-2-0=x-0-1-0,即2x-y=0.(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+(x-y-1)=0,
11、因其过原点,所以8+(-)=0,=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:B 例4 思路分析:求点A关于直线l的对称点A求反射光线所在直线的方程求入射光线与反射光线的交点坐标求入射光线所在的直线方程解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0,y0),则2+x02+3+y02+1=0,y0-3x0-2=1,解之,得A(-4,-3).由于反射光线经过点A(-4,-3)和B(1,1),所以反射光线所在直线的方程为y-1=1+31+4(x-1),即4x-5y+1=0.解方程组4x-5y+1=0,x+y+1=0,得反射点P(-23,-13).所以入射光线所在直线的方程为y-3=3+132+23(x-
12、2),即5x-4y+2=0.跟踪训练4 解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A(a,b),则kAA=b-2a+4,线段AA的中点坐标为(a-42,b+22),则b-2a+42=-1,b+22=2a-42,解得a=4,b=-2,A(4,-2),y=2x是角C平分线所在直线的方程,A在直线BC上,直线BC的方程为y+21+2=x-43-4,即3x+y-10=0,由y=2x,3x+y-10=0,解得x=2,y=4,C(2,4).金题典例 解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.解法一:
13、若直线斜率不存在,则方程为x=3.由x=3,2x-y-2=0,得A(3,4).由x=3,x+y+3=0,得B(3,-6).由于4+(-6)2=-10,P不为线段AB的中点.若直线斜率存在,设为k,则方程为y=k(x-3).由y=k(x-3),2x-y-2=0,得A(3k-2k-2,4kk-2).由y=k(x-3),x+y+3=0,得B(3k-3k+1,-6kk+1).P(3,0)为线段AB的中点,3k-2k-2+3k-3k+1=6,4kk-2-6kk+1=0.2k-16=0,k2-8k=0.k=8.所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0
14、)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).点A,B分别在已知两直线上,2x1-y1-2=0,(6-x1)+(-y1)+3=0.解得x1=113,y1=163.A113,163.点A,P都在直线AB上,直线AB的方程为y-0163-0=x-3113-3,即8x-y-24=0.分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.2(3+a)-b-2=0,3-a+(-b)+3=0
15、.a=23,b=163.直线AB的斜率即直线AP的斜率,值为b-03+a-3=ba=8.所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.解法三:P(3,0)为线段AB的中点,可设A(3+a,b),B(3-a,-b).点A,B分别在已知直线上,达标检测1.解析:解方程组2x+y+8=0,x+y-1=0,得x=-9,y=10,即交点坐标是(-9,10).答案:B 2.解析:直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),2a-k=0,
16、a+12=0,解得a=-12,k=-24,故选A.答案:A 3.解析:直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1l2,a1+1(a-2)=0,解得a=1,联立方程x+y-6=0,x-y=0,易得x=3,y=3,点P的坐标为(3,3).答案:(3,3) 4.证明:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有x+2y-1=0,x+y-5=0,解得x=9,y=-4.m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).5 解析： (1)联立两条直线的方程： 解得x1，y1.所以l1与l2的交点坐标是(1，1)(2)设与直线xy10平行的直线l方程为xyc0，因为直线l过l1与l2的交点(1,1)，所以c0.所以直线l的方程为xy0.
