1、 9.2.3总体集中趋势的估计导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)2.会求样本数据的众数、中位数、平均数3.理解集中趋势参数的统计含义【自主学习】知识点1 1众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数(3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做这n个数的平均数知识点2 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标
2、；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和【合作探究】探究一 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用【例1】某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？【答案】(1)甲中位数为1
3、5岁，众数为15岁都能较好地反映甲群市民的年龄特征(2)中位数为5.5岁，众数为6岁中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差【解析】(1)甲群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征(2)乙群市民年龄的平均数为15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差归纳总结：(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的
4、少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势【练习1】某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？
5、(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法【答案】(1)平均数是1 5001 5005912 091，中位数是1 500，众数是1 500.(2)新的平均数是1 5001 5001 7883 288，新的中位数是1 500，新的众数是1 500.(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平探究二 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数【例2】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩
6、(均为整数)的频率分布直方图如图所示(1)求这次测试数学成绩的众数；(2)求这次测试数学成绩的中位数；(3)求这次测试数学成绩的平均分【答案】(1) 75.(2) 73.3.(3)72.【解析】(1)由图知众数为75.(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.30.40.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.10.03(x70)，所以x73.3.(3)由图知这次数学成绩的平均分为：0.005100.015100.02100.03100.025100.0051072.归纳总结：(1)众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标(2)中位数：在频
7、率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和【练习2】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间分别是50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数、众数和中位数(要求写出计算过程，结果保留一位小数)【答案】(1)a0.005.(2)平均数73(分)，众数65(分)中位数71.7(分)【解析】 (1)由频率分布直方图中所
8、有小矩形面积之和为1，得10(2a0.020.030.04)1，解得a0.005.(2)这100名学生语文成绩的平均数为550.05650.4750.3850.2950.0573(分)，众数为65(分)这100名学生语文成绩在50,70)的频率为(0.0050.04)100.45，这100名学生语文成绩在70,80)的频率为0.03100.3，这100名学生语文成绩的中位数为701071.7(分)课后作业A组 基础题一、选择题1七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,84，则这组分数的中位数和众数分别是()A84,85B84,84C85,84D85,85【答案
9、】B把七位评委打出的分数按从小到大的顺序排列为：79,84,84,84,86,87,93，可知众数是84，中位数是84.2某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为()A20B25 C22.5D22.75【答案】C设中位数为x，则0.10.20.08(x20)0.5，得x22.5.316位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A平均数B极差 C中位数D方差【答案】C判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8名，所
10、以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8个的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8名的成绩就是这15位同学成绩的中位数4某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表：次品数01234频率0.50.20.050.20.05则次品数的平均数为()A1.1B3 C1.5D2【答案】A设数据xi出现的频率为pi(i1,2，n)，则x1，x2，xn的平均数为x1p1x2p2xnpn00.510.220.0530.240.051.1，故选A5已知样本数据x1，x2，x10，其中x1，x2，x3的平均数为
11、a，而x4，x5，x6，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为()A B C D【答案】B前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10.6一个样本数据从小到大的顺序排列为12,15,20，x,23,28,30,50，其中，中位数为22，则x( )A21 B15C22 D35【答案】A解析：因为数据有8个，所以中位数为：22，所以解得：x21，故选A.二、填空题7一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则x_.【答案】3一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，2x461055，解得x3.8若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下：93,91,94,96,
12、90,92,89,87，则这组数据的中位数和平均数分别是_【答案】91.5,91.5数据从小到大排列后可得其中位数为91.5，平均数为91.5.9某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为_ h.【答案】0.9由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h三、解答题10在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.60
13、1.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数【答案】在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是(1.5021.6031.901)1.69(m)故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.11现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，根据这些数据，以160,180)，180,200)，200,220)
14、，220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图所示(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220,240)，240,260)，260,280)，280,300的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240)内的用户中应抽取多少户？【答案】(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201得x0.007 5，故直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数为230.(0.0020.009 50.011)200.450.5，
15、月平均用电量的中位数在220,240)内，设中位数为a，由(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，得a224，即月平均用电量的中位数为224度(3)月平均用电量在220,240)内的有0.012 52010025(户)，月平均用电量在240,260)内的有0.007 52010015(户)，月平均用电量在260,280)内的有0.0052010010(户)，月平均用电量在280,300内的有0.002 5201005(户)，抽取比例为，月平均用电量在220,240)内的用户中应抽取255(户)B组 能力提升一、选择题1以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力
16、测试中的成绩(单位：分)甲：912 x 24 27乙：915 y 18 24已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A12, 15B15, 15C15, 18D18, 18【答案】C因为甲组数据的中位数为15，所以x15，又乙组数据的平均数为16.8，所以16.8，y18，故选C2甲、乙两组数的数据如下所示，则这两组数的平均数、极差及中位数相同的是()甲组：5, 12, 16, 21, 25, 37；乙组：1,6, 14,18,38,39.A极差B中位数C平均数D都不相同【答案】C由题中数据可知极差不同，甲的中位数为18.5，乙的中位数为16，甲，乙，所以
17、甲、乙的平均数相同故选C3由小到大排列的一组数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每个数据都小于1，那么对于样本1，x1，x2，x3，x4，x5的中位数可以表示为( )A.(1x2) B.(x2x1)C.(1x5) D.(x3x4)【答案】C解析：x1x2x3x4x51，x1x3x51x4x2，则该组样本的中位数为中间两数的平均数，即(1x5)4某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是( )A参与奖总费用最高B三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C
18、购买奖品的费用的平均数为9.25元D购买奖品的费用的中位数为2元【答案】D答案：参与奖的百分比为： 130%10%5%55%.设人数为单位1，一等奖费用： 205%1；二等奖费用： 1010%1；三等奖费用： 530%1.5；参与奖费用： 255%1.1.故购买奖品的费用的平均数为4.6元，参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元，故选D.5对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2.这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的值相等其中正确的结论的个数为( )A1 B2C3 D4【答案】A解析：在
19、这11个数据中，数据3出现了6次，出现次数最多，故众数是3；将这11个数据按从小到大排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间的数据是3，故中位数是3；平均数4.故选A.二、填空题6某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为_小时【答案】501 015由分层抽样可知，第一分厂应抽取10050%50(件)由样本的平均数估计总体的
20、平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 02050%98020%1 03030%1 015(小时)7某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班其中甲班有40人，乙班有50人现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分【答案】85解析：由题意知，该校数学建模兴趣班的平均成绩是 85.三、解答题8甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？从平均数和命中9环及9环
21、以上的次数相结合看，谁的成绩好些？从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？【答案】(1)由题图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.所以表格填写如下：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲77.53乙771(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好从折线图中看，在
22、后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力9为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)【答案】(1)由已知得0.70a0.200.15，故a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.
