1、 6.3.5平面向量数量积的坐标表示导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.会用坐标表示平面向量的数量积.2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.【自主学习】知识点1 面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和知识点2 平面向量长度(模)的坐标表示(1)向量模公式：设a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知识点3 两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x
2、2y1y20.知识点3 向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos .【合作探究】探究一 平面向量数量积的坐标运算【例1】已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.解(1)设ab(，2) (0)，则有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展
3、开，再依据已知计算.【练习1】若a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，则(ab)c_；a(bc)_.答案(16，8)(8，12)解析ab2(1)3(2)8，(ab)c8(2,1)(16，8)bc(1)2(2)14，a(bc)(2,3)(4)(8，12)探究二 向量的模的问题 【例2】向量与向量a(3,4)的夹角为，|10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为()A(7,8) B(9，4)C(5,10) D(7，6)解析(1)向量与向量a(3,4)的夹角为，设kak(3,4)(3k,4k)(k0且cos1，即ab0且a与b方向不同，即ab120，且amb(m0)，解得(，2)(2，)故选
4、A.【例3-2】已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.答案7解析因为ab(m1,3)，ab与a垂直，所以(m1)(1)320，解得m7.【例3-3】已知a(3，1)，b(1，2)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.答案B解析|a|，|b|，ab5.cosa，b.又a，b的夹角范围为0，a与b的夹角为.归纳总结：根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出ab及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定.【练习3-1】已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角解设a与b
5、的夹角为，则ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0且a与b不反向由ab0得120，故0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)【练习3-2】设向量a与b的夹角为，且a(3,3)，2ba(1，1)，cos_.答案 1解析ba(1，1)(1,1)，ab6.又|a|3，所以cos1.课后作业A组 基础题一、选择题1.若单位向量满足，向量满足，且向量的夹角为60，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案及解析】：B
6、【分析】由向量垂直得其数量积为0，从而由向量数量积的运算律可求得，再由数量积的定义可得模【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故选：B.2.已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则向量与向量的夹角是（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案及解析】：C【分析】由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量夹角公式即可求解【详解】解：由数量积的定义知向量在向量方向上的投影为，所以，所以，所以夹角.故选：C.3.已知向量满足，且与的夹角为，则（ ）A. B. C. 1D. 13【答案及解析】：C【分析】根据求解即可.【详解】解析：.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等
7、，属于基础题.4.已知，则在方向上的射影为（ ）A. B. C. D. 【答案及解析】：B【分析】由于在方向上的射影为，代入值直接求解即可.【详解】解：因为，所以在方向上的射影为，故选：B5.已知向量，若，则实数m= ( )A. 1B. 1C. 2D. 2【答案及解析】：B【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.6.已知向量，满足，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案及解析】：D【分析】先求，进而可求，再求，即可求，利用结合，即可求解.【详解】，设向量与
8、的夹角为，因为，所以，所以与的夹角为.故选：D7.若，且，则向量的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150【答案及解析】：B【分析】由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.【详解】根据题意，由于向量，且，故，又向量夹角的范围为，故可知向量的夹角为.故选：B8.已知非零向量、满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案及解析】：C【分析】由，可得.根据数量积的运算律和定义，可求与的夹角.【详解】是非零向量，且，设与的夹角为，则.，.故选：C9.设非零向量，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也
9、不必要条件【答案及解析】：C【分析】根据可得，由也可得，再根据充分条件和必要条件的定义来判断即可.【详解】因为，所以，因为，两边平方可得：即，由充分条件和必要条件可判断出是的充分必要条件故选：C二、填空题10.已知单位向量，满足，则与的夹角是_.【答案及解析】：【分析】将两边平方，代值计算即可.【详解】设与的夹角是，由题意两边平方后，得：，因为，为单位向量，.，.故答案为：.11.若向量，则与的夹角等于_.【答案及解析】：【分析】求出与的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断.【详解】，与的夹角等于.故答案为：12. 向量，若，则_.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求
10、得的值.【详解】因为，且，故，解得.故答案为：13.已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数_.【答案及解析】：【分析】根据题设知，又单位向量，的夹角是，即可得方程求值【详解】由向量，知：，而单位向量，的夹角是，解得故答案为：三、解答题14.已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求；（2）若，求【答案及解析】：（1）；（2）【分析】（1）对进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）由得，已知向量与向量的夹角为，且，所以化简得； 解得或（舍去）；（2）由得15
11、.已知平面向量，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离是（）求函数f(x)的单调递减区间；（）求函数f(x)在区间上的最值【答案及解析】：（）；（）最小值为，最大值为.【分析】（）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简表达式，结合图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得，利用整体代入法求得的单调减区间.（）利用三角函数最值的求法，求得函数在区间上的最值【详解】（）.由于图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，即，由于，所以.所以由，解得，所以的单调递减区间为.（）因为，所以，所以，.所以在区间上的最小值为，最大值为.B组 能力提升一、选择题1.非零向量满足：，则与夹角的大小为（ ）A. B
12、. C. D. 【答案及解析】：.A【分析】由得向量垂直，作图表示向量和，由向量减法法则得，从而可得夹角【详解】因为，所以，如图，则，又，所以，所以与夹角，即的夹角为故选：A【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出向量的夹角，方法简便2.已知向量，向量在方向上的投影为-4，若，则实数的值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案及解析】：B【分析】由，根据向量模的方法求得，再根据在方向上的投影为-4，求得，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数的值.【详解】解：由题可知，则，在方向上的投影为，则，又，即，即，则，解得：.故选：B.3.已知向量，若与的夹角
13、为，则（ ）A. 2B. C. D. 1【答案及解析】：B【分析】求出、，利用平面向量数量积的运算性质求出的值，即可得解.【详解】，则，同理，因此，.故选：B.4.如图所示，在中，设为的外心，向量，若，则等于（ ）A. 6B. 5C. 3D. 1【答案及解析】：A【分析】取中点，根据平面向量线性运算将所求数量积化为，根据数量积的运算律可求得结果.【详解】取中点，连接，为的外心，为的垂直平分线，又，.故选：.5.已知、是在同一平面内的单位向量，若与的夹角为60，则的最大值是（ ）A. B. 2C. D. 【答案及解析】：D【分析】计算出的值，设向量与的夹角为，利用平面向量数量积运算律和定义可求得
14、的最大值.【详解】单位向量与的夹角为，则，则，所以，.故选：D.二、填空题6.如图，在平面四边形ABCD中，E、F分别为边BC、CD的中点，则_【答案及解析】：【分析】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出的值.【详解】以点为坐标原点，、分别为轴、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.7.在ABC中，若，则_.【答案及解析】：【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐标系,根据求出的坐标,进而求得即
15、可.【详解】由余弦定理可得,即,因为,故解得.过作垂直的延长线于,再以为坐标原点,为轴, 为轴建立平面直角坐标系.则,.设,因为,故,故,解得,即.故故答案为：8.在锐角ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，若，且，则实数的值为_【答案及解析】：3【分析】将表示为，由题意得知与不垂直，由可得出，进而可求得实数的值.【详解】如下图所示：，是锐角三角形，则与不垂直，即，则，即，因此，.故答案为：.9.已知，,若点P是ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于_.【答案及解析】：13【分析】建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得的坐标，可化为，再利用基本不等式求得它的最大值.【详解】解：由
16、题意建立如图所示的坐标系，可得,，,当且仅当，即时，取等号的最大值为,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.三、解答题10.已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，D是函数与定义域的交集且D不是空集，判断元素f(x)与集合P的关系，说明理由.【答案及解析】：（1），或，；（2）时，时，【分析】（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；（2）由化简变形可得结果.【详解】解：（1）因为，所以，当时，由得，解得或，所以方程的解集为或（2）当时，化简得， 解得，所以当时，当时，【点睛】此题考查向量的数量积和
17、向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.C组 挑战压轴题一、选择题1.设，为非零不共线向量，若则（ ）A. B. C. D. 【答案及解析】：D【分析】，化简得到，故，得到答案.【详解】，故，化简整理得到：，即，故，故.故选：D.2.已知ABC中，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（ ）A. B. 4C. D. 23【答案及解析】：C【分析】由题意，故，展开可得关于的一元二次函数，配方，即可求得的最大值.【详解】AB
18、C中，.由题意，,当时， 取得最大值，最大值为.故选：C.二、填空题3.已知平面向量满足，则的最小值为_【答案及解析】：4【分析】设，由，可求，再代入，可得，由此表示出，从而可求出最小值.【详解】设，由，得：，又，则，解得：，故的最小值为-4.故答案为：-4.4.已知平面向量、满足、，则的取值范围是_.【答案及解析】：【分析】可根据得出，然后根据解得，最后通过即可得出结果.【详解】，因为，所以，因为，所以，解得，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：5. ABC是等腰直角三角形，点D满足，点E是所在直线上一点.如果，则_；在上的投影的取值范围是_.【答案及解析】：2 ;【分析】首先由条件确定
19、出点的位置，然后由三点共线可得，根据条件分别计算出和，然后可得，然后消元变形、分类讨论可求出其范围.【详解】由知，在边的延长线上，且为的中点，因为点是所在直线上一点，且，所以即.因为，由题意，所以，由得，所以.令，由于，所，令，则且当时，；当时，由于，当且仅当时等式成立，可得.当时，则，所以可得综上可得，故答案为：2，6.在面积为1的平行四边形ABCD中，则_；点P是直线AD上的动点，则的最小值为_.【答案及解析】： ；【分析】由平行四边形的面积为1可得，根据向量数量积的定义即可得出的值；由于，取BC的中点Q，连接PQ，则，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【详解】平行四边形的面积为1，即，故.，取BC的中点Q，连接PQ，则，此时，故答案为：，.
