1、第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析主要内容主要内容第一节第一节 LTILTI离散系统的响应离散系统的响应第二节第二节 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应第三节第三节 卷积和卷积和离散系统分析与连续系统分析在许多方面是相互平行离散系统分析与连续系统分析在许多方面是相互平行的的,它们有许多类似之处。它们有许多类似之处。连续系统：微分方程描述；卷积积分；连续系统：微分方程描述；卷积积分；离散系统：差分方程描述；卷积和；离散系统：差分方程描述；卷积和；tytf,kykf,3.1 LTI3.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应主要内容主要内容一、差分与差分方程一、差分与差分方
2、程二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应一、一、差分与差分方程差分与差分方程(书上这部分符号有错误，请改正书上这部分符号有错误，请改正）1、一阶差分的定义及序列求和运算（一阶差分的定义及序列求和运算（85页）页）设设有序列有序列 ，则称则称 等为等为 的移位序列的移位序列。kf 2,1,1 kfkfkf kf仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。tttftfttfttfttfttfttt )()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变
3、化率有两种表示形式：kkkfkfkkf )1()()1()()1()1()()(kkkfkfkkf一阶一阶前向差分前向差分定义为定义为：kfkfkf 1 1 kfkf一阶一阶后向差分后向差分定义为定义为：1 kfkfkf一阶一阶前、后向差分的关系前、后向差分的关系：序列序列 求和运算为求和运算为：kf kiif因此，可定义：因此，可定义：2、差分的线性性质差分的线性性质：21,aa由差分的定义，若有序列由差分的定义，若有序列 和常数和常数 则则：kfkf21、kfakfa22113、二阶及更高阶差分定义二阶及更高阶差分定义 kfkf 2 212 kfkfkf类似地，可定义三阶、四阶等高阶差分类
4、似地，可定义三阶、四阶等高阶差分.11 22112211 kfakfakfakfa kfakfa2211 11222111 kfkfakfkfa 1 kfkf 1 kfkf因此差分具有线性性质。因此差分具有线性性质。4、差分方程差分方程差分方程是包含关于变量差分方程是包含关于变量 的未知序列的未知序列 及其及其各阶差分的方程式各阶差分的方程式，它的一般形式可写为它的一般形式可写为：k ky 0,kykykykFnn阶差分方程阶差分方程。由于各阶差分均可写成由于各阶差分均可写成 及其各移位序列的线及其各移位序列的线性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形
5、式：ky 0,1,nkykykykGn阶差分方程阶差分方程。kfkykyky 2213例如例如5、线性常系数差分方程线性常系数差分方程如果如果 及其各移位序列及其各移位序列 均为均为一次式，就称其为线性的一次式，就称其为线性的。ky nkyky ,1 如果如果 及其各移位序列的系数均为常数及其各移位序列的系数均为常数，就称就称其为常系数差分方程。其为常系数差分方程。ky*描述描述LTILTI离散系统的是离散系统的是线性常系数差分方程线性常系数差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。条件和激励
6、，利用迭代法可求得差分方程的数值解。kfkykyky 2213例如例如已知初始条件已知初始条件 ，激励激励 ，求求 。例例 3.1-1 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2213 21,00 yy kkfk 2 ky 10312233 fyyy 10422334 fyyy 2202132 fyyy解解：kkykykyk 22213 kkykykyk 22213 类似地，依次迭代可得类似地，依次迭代可得对于对于2 k将初始条件将初始条件 代入，得代入，得 21y 00 y便于计算机求解，但无法写出闭合表达式。便于计算机求解，但无法写出闭合表达式。)()1
7、()()()1()(0101mkfbkfbkfbnkyakyakymmn 差分方程的一般形式差分方程的一般形式：式中式中 都是常数都是常数。mjbniaji,2,1,2,1 、kykykyph )(它的解它的解：齐次解齐次解特解特解二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解齐次解：齐次差分方程齐次解：齐次差分方程0)()1()(01 nkyakyakyn的解，称为齐次解的解，称为齐次解。齐次解由形式为齐次解由形式为 的序列组合而成的序列组合而成。为特征方为特征方程程 的根的根，称为差分方称为差分方程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。见下页表
8、见下页表3-13-1。kC 00111 aaannn kaCkyakykykayky 10)1()(例例公比为（公比为（-a-a）的等比级数。）的等比级数。特征根特征根齐次解齐次解 单实根单实根 重实根重实根一对共轭复根一对共轭复根 或或 重共轭复根重共轭复根 jejba 21、kyhkC kkkkCkCkCkC 012211 kDkCk sincos jDCAekAjk ,cos 00222111coscoscos kAkkAkkAkkk表表3-1不同特征根所对应的齐次解（书不同特征根所对应的齐次解（书8787页页）特解：特解的形式与激励的函数形式有关，表特解：特解的形式与激励的函数形式有关
9、，表3-23-2列出列出了几种不同激励所对应的特解。了几种不同激励所对应的特解。表表3-2 3-2 不同激励所对应的特解（书不同激励所对应的特解（书8787页）页）激励激励 特解特解 所有特征根均不为所有特征根均不为1 1 有有 重为重为1 1的特征根的特征根 当当 不等于特征根不等于特征根 当当 是特征单根是特征单根 当当 是是 重特征根重特征根。当所有的特征根均不等于当所有的特征根均不等于 kfmkka k cos k sin kyp0111pkpkpkpmmmm 0111pkpkpkpkmmmm kpaakkapkap01 aa kkkkapkapakpakp0111 je jQPAek
10、AkQkPj ,cossincos全解：全解：n n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：kyCkykykypnjkjphj 1)(各系数由给定的各系数由给定的n n个个初始条件初始条件 确定确定。1,1,0 nyyy例例3.1-2 若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 kfkykyky 2414已知初始条件已知初始条件 激励激励 求方程的全解求方程的全解。;11,00 yy .0,2 kkfk解：首先求齐次解。特征方程为解：首先求齐次解。特征方程为：
11、0442 221 kkhCkCky2221 再求特解：根据激励的形式由表再求特解：根据激励的形式由表3-23-2可知特解可知特解 0 ,2 kPkykp将将 、和和 代入到原方程，得代入到原方程，得 kyp 1 kyp 2 kyp41 PkkkkPPP22424221 于是特解于是特解 0,241 kkykp差分方程的全解差分方程的全解 0,2412221 kCkCkykkk将初始条件代入，有将初始条件代入，有 12412210410212CCyCy 14112CC 0,2412412 kkkykkk 自由响应自由响应强迫响应强迫响应例例3.1-3 3.1-3 若描述某离散系统的差分方程为若描
12、述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2156已知初始条件已知初始条件 激励为有始的周期激励为有始的周期序列序列 求其全解求其全解。;11,00 yy .0,2cos10 kkkf 解：特征方程为解：特征方程为01562 31,2121 齐次解齐次解 kkhCCky 312121 2sin2cos kQkPkyp由表由表3-23-2根据激励的形式可设特解：根据激励的形式可设特解：2cos2sin1 kQkPkyp 2sin2cos2 kQkPkyp代入原方程整理得：代入原方程整理得：2cos102sin562cos56 kkQPQkPQP 0561056QPQPQP 11QP 42cos
13、2 2sin2cos 2sin2cos kkkkQkPkyp差分方程的全解差分方程的全解 0,42cos2312121 kkCCkykk 将初始条件代入，有将初始条件代入，有 11312110102121CCyCCy 3221CC 0,42cos2313212 kkkykk 自由响应自由响应（瞬态响应）（瞬态响应）强迫响应强迫响应（稳态响应）（稳态响应）当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根的模小于的模小于1 1时，系统的自由响应会随着时，系统的自由响应会随着k k的增大而衰减的增大而衰减到到0 0，因此自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应，因此
14、自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。部分称为稳态响应。LTI离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和.kykykyzszi 零输入响应零输入响应：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特征根均为单根，则零输入响应为：征根均为单根，则零输入响应为：kjnjzijziCky 1其中其中，为待定系数为待定系数zijC三、三、零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零状态响应零状态响应：若系统的初始状态为零，这时方程仍是非：若系统的初始状态为零，这时方程仍是非齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态
15、响应为：齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态响应为：kyCkypkjnjzsjzs 1其中其中，为待定系数为待定系数zsjC系统的全响应可分为系统的全响应可分为自由响应自由响应和和强迫响应强迫响应，也可分为，也可分为零零输入响应输入响应和和零状态响应零状态响应，它们的关系是：，它们的关系是：kyCCkyCkypkjnjzsjkjnjzijpkjnjj 111 自由响应自由响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应强迫响应强迫响应一般而言，如果激励是在一般而言，如果激励是在 时接入的，通常以时接入的，通常以 描述系统的初始状态描述系统的初始状态。0 k nyy ,2,1-y 021 nyyy
16、zszszs nynyyyyyzizizi ,22,11例例3.1-4，5 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2213已知初始条件已知初始条件 激励激励 求系统的零输入响应和零状态响应求系统的零输入响应和零状态响应。;212,01 yy .0,2 kkfk解解（1）零输入响应零输入响应 满足方程满足方程 kyzi 02213 kykykyzizizi由初始状态知由初始状态知：2122,011 yyyyzizi由方程利用迭代可得由方程利用迭代可得 312031122130ziziziziziziyyyyyy0232 2,121 kkziCCky2121
17、3110ziziyy将将 代入得代入得 321102121CCyCCyzizi 2121CC 0,221 kkykkzi（2）零状态响应零状态响应 满足方程满足方程 kyzs 02122213zszskzszszsyykykyky先求先求 和和 0zsy 1zsy由方程利用迭代可得：由方程利用迭代可得：11120311022130fyyyfyyyzszszszszszs kkkpkkzsCCkyCCky23121 212121 1110zszsyy将将 代入得代入得 1322113102121CCyCCyzszs 13121CC 0 ,2312131 kkykkkZs例例3.1-6 3.1-6
18、 若描述某离散系统的差分方程为若描述某离散系统的差分方程为 kfkykyky 2213已知初始条件已知初始条件 激励激励 求零输入响应的初值求零输入响应的初值 和零状态响应的初和零状态响应的初值值 。;21,00 yy .0,2 kkfk 1,0ziziyy 1,0zszsyy解：先求出解：先求出 1,0zszsyy 111000zszizsziyyyyyy 111000zszizsziyyyyyy零状态响应同上题零状态响应同上题：11,10 zszsyy 312111110000zszizsziyyyyyy 31,10 ziziyy3.2 3.2 单位序列和单位序列响应单位序列和单位序列响应
19、主要内容主要内容一、单位序列和单位阶跃序列一、单位序列和单位阶跃序列二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应 1 1、单位序列响应、单位序列响应 2 2、阶跃响应、阶跃响应 3 3、单位序列响应与阶跃响应的关系单位序列响应与阶跃响应的关系一一、单位序列和单位阶跃序列单位序列和单位阶跃序列1.1.单位序列定义为单位序列定义为：0 ,00 ,1kkk 0122 1 k1 k 单位序列也称作单位样值单位序列也称作单位样值序列、单位脉冲序列或单序列、单位脉冲序列或单位冲激序列。位冲激序列。ikikik ,0 ,1 单位序列的移位：单位序列的移位：ikifikkf 的取样性质的取样性质 k
20、k0122 1 1 ik i2.单位阶跃序列定义为单位阶跃序列定义为：0 ,00 ,1kkk 0122 1 k1 k ikikik ,0 ,1 0i1k ik 单位阶跃序列的移位单位阶跃序列的移位：3.阶跃序列与单位序列之间的关系阶跃序列与单位序列之间的关系 kkkk 1 0jkijkik 0122 1 k1 k 0122 1 k1 k tdtdt dtt 类似于类似于有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示有了阶跃序列和单位序列后，可简化序列的表示。如：如：2 ,02 ,2kkkfk 22 kkfk 可表示为可表示为：0122 1 k1 kf3可表示为可表示为：3 kkkf 21 kkk
21、1、单位序列响应单位序列响应 当当LTILTI离散系统的激励为单位序列离散系统的激励为单位序列 时，系统的时，系统的零状态响应称为单位序列响应，用零状态响应称为单位序列响应，用 表示。表示。k kh二、单位序列响应和阶跃响应二、单位序列响应和阶跃响应 （1）当方程右端仅含）当方程右端仅含 时，由于单位序列时，由于单位序列 仅仅在在 处等于处等于1，而在，而在 时为零，因而在时为零，因而在 时，时，系统的单位序列响应具有齐次解的形式，而在系统的单位序列响应具有齐次解的形式，而在 处的处的值可按零状态的条件由差分方程迭代确定。值可按零状态的条件由差分方程迭代确定。k 0 k0 k0 k0 k kf
22、 kfkykyky 2213 （2）当方程右端不仅含）当方程右端不仅含 ，而且还有其移位序列，而且还有其移位序列时，可利用系统的线性和时不变特性，先求出时，可利用系统的线性和时不变特性，先求出 单独单独作用的单位序列响应，再根据原方程右端的表达式求出作用的单位序列响应，再根据原方程右端的表达式求出系统的单位序列响应。系统的单位序列响应。kf kf 122213 kfkfkykyky 12221311111khkhkhkkhkhkh 例例3.2-1 求图示离散系统的单位序列响应求图示离散系统的单位序列响应。kfD D ky 1 ky 2 ky12 解解（1 1）写差分方程，求初值）写差分方程，求
23、初值。kfkykyky 221 kh满足满足 021221hhkkhkhkh 110 hh2,121 kkCCkh2121 代入初值得代入初值得 121102121CChCCh 323121CC kkhkk 2321312、求、求 kh 1100221hhkhkhkh当当 时时0 k例例3.2-2 求图示离散系统的单位序列响应求图示离散系统的单位序列响应。D D kf ky kx 1 kx 2 kx1121 解解（1 1）写差分方程）写差分方程 2221kxkxkykfkxkxkx 2221 kfkfkykyky 2221 kfkfkykyky（2）求单位序列响应求单位序列响应设设 单独作用产
24、生的单位序列响应为单独作用产生的单位序列响应为 k kh1则则：211 khkhkh kh1满足满足 01222111111hhkkhkhkh 由上题由上题 kkhkk 2321311 22321312221 kkhkk 223213123213122 kkkhkkkk 2.阶跃响应阶跃响应 当当LTILTI离散系统的激励为单位阶跃离散系统的激励为单位阶跃序列序列 时，时，系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响系统的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用应，用 表示。表示。k kg 若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的若已知系统的差分方程，用经典法可以求得系统的单位阶跃
25、响应。单位阶跃响应。另外，若已知系统的另外，若已知系统的 ，根据根据LTILTI系统的线性性质系统的线性性质和时不变性，系统的阶跃响应和时不变性，系统的阶跃响应 kh 0jkijkhihkg 0jkijkhihkg kgkgkgkh 1 0jkijkik 单位序列响单位序列响应与阶跃响应与阶跃响应的关系应的关系 dttdgthdhtgt 类似于连续系统冲类似于连续系统冲激响应与阶跃响应激响应与阶跃响应的关系的关系 1 kkk 3 3、单位序列响应与阶跃响应的关系、单位序列响应与阶跃响应的关系例例3.2-33.2-3 求例求例3.2-13.2-1中图中图3.2-33.2-3所示系统的单位阶跃响应
26、所示系统的单位阶跃响应。kfD D ky 1 ky 2 ky12 图图3.2-33.2-3解解（1 1）经典法）经典法所示系统的差分方程为所示系统的差分方程为：kfkykyky 221阶跃响应满足方程：阶跃响应满足方程：kkgkgkg 221 021 gg 由方程利用迭代得：由方程利用迭代得：112210 ggg 211201 ggg kkgkgkg 221 21,10 gg 阶跃响应满足方程：阶跃响应满足方程：2,121 0 ,212121 kCCkgkk 2212112102121CCgCCg 346121CC kkgkk 21234161（2 2）利用单位序列响应利用单位序列响应 kkh
27、kk 232131 kiiiikg 232131 kikiii00232131 21213211113111 kk 21213211113111 kkkg 121321161 kk kkk 21234161下表列出几种常用序列的求和公式。下表列出几种常用序列的求和公式。表表3-3 3-3 几种数列的求和公式几种数列的求和公式序号序号 公公 式式 说说 明明12 可为正或负可为正或负整数，但整数，但34 可为正或负可为正或负 整数整数 1 11 1110akaaaakkjj0 k 1 11 11212121akkaaaaakkkkjj21,kk12kk 1 110 aaajj1 111 aaaa
28、kkjj1k序号序号 公公 式式 说说 明明56 可为正或负整可为正或负整数，但数，但7 210 kkjkj0 k21,kk12kk 0 k 21122121 kkkkjkkj 612102 kkkjkj3.3 3.3 卷积和卷积和主要内容主要内容一、卷积和一、卷积和二、卷积和的图示二、卷积和的图示三、卷积和的性质三、卷积和的性质一、卷积和一、卷积和 kh对于一个对于一个LTILTI离散系统离散系统,假设我们已经知道它的单位序假设我们已经知道它的单位序列响应为列响应为 kf那么对任意序列那么对任意序列 作用于该系统的零状态响应能作用于该系统的零状态响应能否借用单位序列响应否借用单位序列响应 来
29、求呢来求呢？kh 0f kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 设任意序列设任意序列 ，只要设法用单位序列及其移位序列，只要设法用单位序列及其移位序列的线性组合来表示，那么根据线性和时不变性，就可的线性组合来表示，那么根据线性和时不变性，就可借用单位序列响应来表示此时的零状态响应。借用单位序列响应来表示此时的零状态响应。kf任意离散序列任意离散序列 可以表示为可以表示为：kf ikifkfkfkfkfkfkfi 22110 1122 0f kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 ikifkfkfkfkfkfkfi 22110 1122 ikhifkyizs 0f
30、 kfk 1f 2f 3f 1 f 2 f01231 2 ikhik khk 称为序列称为序列 和和 的卷积和。的卷积和。kf kh上式表明，上式表明，LTILTI离散系统对于任意离散系统对于任意激励激励 的零状的零状态响应是激励与单位序列响应态响应是激励与单位序列响应 的卷积和的卷积和。kf kh ikhifkyizs 一般而言，若有两个序列一般而言，若有两个序列 和和 ，和式和式 称为称为 和和 的卷积和，简称卷积。表示为的卷积和，简称卷积。表示为 kf1 kf2 iikfifkf21 kf1 kf2 iikfifkfkfkf2121 例例3.3-1 3.3-1 如如 ,1,2121 kk
31、fkkfk kfkfkfkfkkf312132 1 求求 解解：ikfifkfkfi 21211 02121iiiii 21121 kkfkf 221 ikiii 21 kii021 121211211211 kk显然，上式中显然，上式中0 k kfkf31 kk 12121 ikfifkfkfi 31312作图法求卷积和的步骤作图法求卷积和的步骤：iikfifkfkfkf2121（1 1）将）将序列序列 的自变量用的自变量用 代替，然后代替，然后将序列将序列 以纵坐标为轴反转，成为以纵坐标为轴反转，成为 。kfkf21,i if2 if 2 ikf 2（2 2）将）将序列序列 平移平移 个单
32、位个单位，成为成为 。if 2k当当 时，右移时，右移 个单位个单位。当当 时时，左移左移 个单位个单位。0 k0 kkk总之，原点处的序列值移到总之，原点处的序列值移到 点点。ki 二、卷积和的图示二、卷积和的图示（3 3）讨论）讨论k k的区间，并求乘积之和。的区间，并求乘积之和。例例3.3-2 3.3-2 如有两序列如有两序列 其余其余 ,02,1,0,11kkkf 其余其余 ,03,2,1,0 ,12kkf试求二序列的卷积和试求二序列的卷积和 kfkfkf21 解：画出序列解：画出序列 ikfif 21 、1if101 32i123 2if101 32i1 2if 101 3 2 i1
33、4 2ikf 0ki1 其余其余 ,02,1,0,11kkkf 其余其余 ,03,2,1,0 ,12kkf讨论讨论k的区间，并求的区间，并求 1if101 32i123 2ikf 0ki1当当 时时，0 k0)(kf iikfifkf21 1if101 32i123 2ikf 0ik1当当 时时，0 k0)(kf当当 时时，0 k 1000)0(212001 ffififfi 2ikf 0ik1当当 时时，1 k 301101)1(21212101 ffffififfi 1if101 32i123 2ikf 0ik1当当 时时，0 k0)(kf当当 时时，0 k 1000)0(212001 f
34、fififfi当当 时时，1 k 301101)1(21212101 ffffififfi当当 时时，2 k 60211202)2(2121212201 ffffffififfi 603122130)3(21212121 fffffffff依此可得依此可得 50413223140)4(2121212121 fffffffffff 60 kkf kf101 32k1334 5 6665 1if101 32i123 2ikf 0ik1 3)3(2)5(21 fff kf101 32k1334 5 6665*一个一个M点序列与一个点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长点序列卷积，其卷积的长度为度为 1
35、kf101 32k123 2kf101 32k1M+N-1。如果做卷积运算的两个序列都是因果序列如果做卷积运算的两个序列都是因果序列 )()()()(00)()(0212121 kiikfifkfkfkfkkfkf，则，则，即即:)0()0()0()(0 210021ffififfi )0()1()1()0()1()(1 21211021ffffififfi )0()2()1()1()2()0()2()(2 2121212021ffffffififfi )0()3()1()2()2()1()3()0()3()(3 212121212021ffffffffififfi 如果将各如果将各f f1
36、1(k)(k=0,1,2,(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将的值排成一行，将各各f f2 2(k)(k=0,1,2,(k)(k=0,1,2,)的值排成一列，如图的值排成一列，如图3.3-33.3-3所所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积.可见，求和符号内可见，求和符号内 的序号的序号i i与与 的序的序号号(k-i)(k-i)之和恰好等于之和恰好等于k k。if1 ikf 2 )()()()(02121 kiikfifkfkfkf因此，利用列表法计算卷积和更加简便。因此，利用列表法计算卷积和更加简便。可以发现，沿斜线（虚线）上各项可以发
37、现，沿斜线（虚线）上各项f f1 1(i)f f2 2(j)的序号之和也是常数，与两因果序列卷积的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式对照可知，沿斜线上各数值之和就是卷积和公式对照可知，沿斜线上各数值之和就是卷积和。如：和。如：图图3.3-33.3-3f1(k)f2(k)f1(0)f1(1)f1(2)f1(3)f2(0)f2(1)f2(2)f2(3)f1(0)f2(0)f1(0)f2(1)f1(0)f2(2)f1(0)f2(3)f1(1)f2(0)f1(1)f2(1)f1(1)f2(2)f1(1)f2(3)f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)f1(2)f2(2)f1(2)f2(3)f1
38、(3)f2(0)f1(3)f2(1)f1(3)f2(2)f1(3)f2(3)03122130321212121fffffffff 将例将例3.3-23.3-2的的f1(k)、f2(k)的各值排列如图的各值排列如图3.3-43.3-4所示所示1f1(0)f1(1)f1(3)f1(2)f1(k)f2(k)f2(0)f2(1)f2(2)f2(3)f2(4)1111011113222223333000000000图图3.3-40，k5f1(k)*f2(k)=图解过程的另一种形式：滑带法。图解过程的另一种形式：滑带法。当序列较短或只能由图示法得到时，使用滑带法计当序列较短或只能由图示法得到时，使用滑带法
39、计算卷积是很方便的。这个方法本质上与图示法相同，唯算卷积是很方便的。这个方法本质上与图示法相同，唯一的不同在于，数据不是用图形来表示，一的不同在于，数据不是用图形来表示，而是作为一个而是作为一个数的序列排列在一条带子上数的序列排列在一条带子上。除此之外，计算的过程是。除此之外，计算的过程是相同的。相同的。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。012341 2 2 123453 1 kf1k kf2k01231 1-2-10123411111111例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111-
40、2-10123411111111 0 k 321 kfkf-2-10123411111111 1 k 221 kfkf固定带固定带滑动带滑动带例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111 2 k 021 kfkf-2-10123411111111 3 k 321 kfkf-2-10123411111111 4 k 721 kfkf例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111 0 k 321 kfkf-2-10123411111111 1 k 321 kfkf例如：
41、用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。-2-10123411111111 1 k 221 kfkf依次可得依次可得 2 k 3 k 021 kfkf例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。例如：用滑带法对下面两个序列进行卷积。012341 2 2 123453 1 kf1k kf2k01231 10372 2 123453 1 kfkf21 k2 三、卷积和的性质三、卷积和的性质)()()()()()()()()()()()()()()()()(32132131213211221kfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkfkf 1 1、代数运算
42、、代数运算*两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统的单位序列响应之和等于两子系统的单位序列响应之和。由卷积的分配律得由卷积的分配律得：)(kf)(ky+)(1kh)(2kh(a)并联并联 khkhkfkhkfkhkfkyzs2121 khkhkh21 由卷积的结合律得由卷积的结合律得：khkhkfkhkhkfkyzs2121 )(1kh)(2kh)(1kh)(2kh(b)级联级联 kf kf ky ky khkhkh21 *两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统单位序列响应的
43、卷积和。等于两子系统单位序列响应的卷积和。2 2、与单位序列的卷积、与单位序列的卷积)()()()()()1(kfikifkkfi )()()()()()2(111kkfkikifkkkfi )()()()3(2121kkkkkkk )()()()()()()()()4(21212121kkkfkkkkfkkkkkfkkkkf )()()()()()()5(21221121kkkfkkfkkfkfkfkf 则则若若例例3.3-33.3-3 如图所示的复合系统由两个子系统级联如图所示的复合系统由两个子系统级联组成，已知子系统的单位序列响应分别为组成，已知子系统的单位序列响应分别为)b(a )()
44、()()(21为常数为常数，k bkhkakhkk 求复合系统的单位序列响应求复合系统的单位序列响应h(k)。例例3.3-3图图)(kh)(1kh)(2kh)(kf)(kyzs)(kxzs)()()(*)()(21ikbiakhkhkhikii kiikikkiikkbabbakbkakhba00)(*)()(）时时当当 ababbababkkkk 1111)(1 解解：kkikbkbkhba）（时时当当11)(0 例例3.3-3图图)(kh)(1kh)(2kh)(kf)(kyzs)(kxzs显然上二式仅在显然上二式仅在k0k0时成立。时成立。bakbkbakababkbkakhkkkkk,1
45、,(*)()(11 ）所以所以当当 ，有有1,1 ba kaakkakk 11()(1）当当 ，有有1 ba kkkk 1()(）解：系统的差分方程为解：系统的差分方程为 kfkykyky 221例例3.3-4 3.3-4 如图所示的离散系统，已知初始状态如图所示的离散系统，已知初始状态 ，激励激励 求系统的全响应求系统的全响应。612,01 yy kkkkfk 1cos kfD D ky 1 ky 2 ky12 kfkykyky 221（1 1）求系统的零输入响应）求系统的零输入响应 零输入响应满足零输入响应满足 6122,0110221yyyykykykyzizizizizi 311201
46、 312210 ziziziziziziyyyyyy2,121 kkziCCky2121 31213102121CCyCCyzizi代入初值代入初值 929121CC 0 292191 kkykkzi（2 2）求单位序列响应和零状态响应）求单位序列响应和零状态响应 021221hhkkhkhkh kh满足满足与例与例3.2-13.2-1相同相同 kkhkk 232131 kkkfkhkykkkzs 1232131 kkkkkkkk 12321131 kkkkkk 212132113111 kkkkk 294195131 0 2321231 294195131292191 kkkkykykykk
47、kkkkkzszi本章小结：本章小结：1 1、差分及序列求和的概念。、差分及序列求和的概念。2 2、差分方程的经典求解：全解、零输入响应、零状、差分方程的经典求解：全解、零输入响应、零状 态响应。态响应。3 3、单位序列响应及阶跃响应。、单位序列响应及阶跃响应。4 4、卷积和的引入、计算及卷积和的性质。、卷积和的引入、计算及卷积和的性质。例题：例题：3.15 3.15 若线性时不变离散系统的阶跃响应为若线性时不变离散系统的阶跃响应为 kkgk 21求其单位序列响应求其单位序列响应。解解:1 kgkgkh 1221 kkkhk 121211 kkkk 1221 kkk 121 kkk 121 k
48、kk kkkkkk 212221 kkkk 2221 例题：例题：3.183.183.183.18图示离散系统由二个子系统级联组成图示离散系统由二个子系统级联组成,已知已知 求系统的零状态响应求系统的零状态响应 。1 kakkf 4cos21 kkh kakhk 2 kyzs kf kh1 kh2 ky解解:khkhkfkhkfkyzs21 kakkakk 4cos21 4cos21 kkakakk 4cos24cos2 kkk例题：例题：3.233.23某人向银行贷款某人向银行贷款M=10M=10万元万元,月息月息 ,他他定于每月初还款定于每月初还款N N万元。设万元。设第第 月初还款数为月
49、初还款数为 ，尚未尚未还清的钱款为还清的钱款为 ，列出列出 的差分方程。如果他从贷的差分方程。如果他从贷款后的第一个月（可设为款后的第一个月（可设为 ）还款，则有还款，则有 万元和万元和 万元。（万元。（1 1）如每月）如每月还还款款 万元，求万元，求 ；（；（2）他还清贷款需要几个他还清贷款需要几个月？（月？（3 3）如他想在）如他想在1010个月内还清贷款，求每月应还钱款个月内还清贷款，求每月应还钱款数数N N？kf%1 k ky ky0 k kNkf 101 My5.0 N ky解解:先列写差分方程先列写差分方程:kfkyky 11 kfkyky 11%1 kNkf kNkyky 101.1 101 y Ny 1.100 NykNkyky1.100101.1 NCkyK10001.1 NNCy 1.101000NC1011.10 0 10001.11011.10 kNNkyK，0 5001.140.40.5N1 kkyK，万元，万元，若若 05001.140.42 Kky令令22 42.21 kk取取则则 NNkyK10001.11011.103 09 10 kyk时，时，个月内还清，则当个月内还清，则当若想在若想在 010001.11011.1099 NNy万元万元0588.1 N第三章全部讲完第三章全部讲完.
