1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二节 两条直线的位置关系 考纲传真 (教师用书独具 )1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直 .2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 .3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离 (对应学生用书第 132 页 ) 基础知识填充 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1， l2，若其斜率分别为 k1， k2，则有 l1 l2?k1 k2. 当直线 l1， l2不重合且斜率都不存在时， l1 l2. (2)两条直线垂直 如果两条直线 l1， l2的斜率存在，设为 k1， k2，则有
2、l1 l2?k1 k2 1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时， l1 l2. 2两条直线的交点的求法 直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数 )，则l1与 l2的交点坐标就是方程组? A1x B1y C1 0，A2x B2y C2 0 的解 3三种距离 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点之间的距离 |P1P2| d (x2 x1)2 (y2 y1)2 点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax By C 0 的距离 d |Ax0 By0 C|A2 B2 平行线 Ax
3、By C1 0与 Ax By C2 0间的距离 d |C1 C2|A2 B2 4.线段的中点坐标公式 若点 P1， P2的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为 (x， y)， 则? x x1 x22 ，y y1 y22 ，此公式为线段 P1P2的中点坐标公式 .知识拓展 三种常见的直线系方程 (1)平行于直线 Ax By C 0 的直线系方程： Ax By 0( C) (2)垂直于直线 Ax By C 0 的直线系方程： Bx Ay 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = (3)过两条已知直线 A1x B1y C1 0， A2x B2y C2 0
4、 交点的直线系方程： A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0(不包括直线 A2x B2y C2 0) 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正 确的打 “” ，错误的打 “”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，一定有 k1 k2?l1 l2.( ) (2)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于 1.( ) (3)点 P(x0， y0)到直线 y kx b 的距离为 |kx0 b|1 k2 .( ) (4)已知直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0(A1， B1， C1， A2， B2， C2为常数 )，若
5、直线 l1 l2，则 A1A2 B1B2 0.( ) (5)若点 P， Q 分别是两条平行线 l1， l2上的任意一点，则 P， Q 两点的最小距离就是两条平行线的距离 ( ) (6)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2 (教材改编 )已知点 (a,2)(a0)到直线 l： x y 3 0 的距离为 1，则 a 等于 ( ) A 2 B 2 2 C 2 1 D. 2 1 C 由题意得 |a 2 3|2 1，即 |a 1| 2， 又 a0， a 2 1. 3已知直线 l1： ax (3 a)y 1 0， l2： x 2
6、y 0.若 l1 l2，则实数 a 的值为 _ 2 由 aa 3 2，得 a 2. 4已知点 P( 1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为 _ x y 4 0 线段 PQ 的中点坐标为 (1,3)，直线 PQ 的斜率 k1 1， 直线 l 的斜率 k2 1， 直线 l 的方程为 x y 4 0. 5直线 l1： x y 6 0 与 l2： 3x 3y 2 0 的距离为 _ 8 23 直线 l1可化为 3x 3y 18 0，则 l1 l2，所以这两条直线间的距离 d|18 2|32 328 23 . (对应学生用书第 133 页 ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
7、两条直线的平行与垂直 (1)设 a R，则 “ a 1” 是 “ 直线 l1： ax 2y 1 0 与直线 l2： x (a 1)y 4 0平行 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)若直线 l1： (a 1)x y 1 0 和直线 l2： 3x ay 2 0 垂直，则实数 a 的值为( ) A 12 B.32 C 14 D.34 (1)A (2)D (1)当 a 1 时，显然 l1 l2， 若 l1 l2，则 a(a 1) 21 0， 所以 a 1 或 a 2. 所以 a 1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件 (2)由已知得
8、 3(a 1) a 0，解得 a 34. 规律方法 1.已知两直线的斜 率存在，判断两直线平行、垂直的方法 两直线平行 ?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； 两直线垂直 ?两直线的斜率之积等于 1. 2.由一般式判定两条直线平行、垂直的依据 若直线 l1： A1x B1y C1 0， l2： A2x B2y C2 0，则 l1 l2?A1B2 A2B1 0，且 A1C2 A2C1或 B1C2 B2C1 ； l1 l2?A1A2 B1B2 0. 易错警示：当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况 ，同时还要注意 x，
9、 y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . 跟踪训练 (1)(2017 广东揭阳一模 )若直线 mx 2y m 0 与直线 3mx (m 1)y 7 0平行，则 m 的值为 ( ) A 7 B 0 或 7 C 0 D 4 (2)(2017 安徽池州月考 )已知 b 0，直线 (b2 1)x ay 2 0 与直线 x b2y 10 互相垂直，则 ab 的最小值等于 _ (1)B (2)2 (1) 直线 mx 2y m 0 与直线 3mx (m 1)y 7 0 平行， =【 ;精品教育资源文库 】 = m(m 1) 3m2 ， m 0 或 7， 经检验， 都符合题意故选 B. (2)由题意知 a0.
10、 直线 (b2 1)x ay 2 0 与直线 x b2y 1 0 互相垂直， b2 1a 1b2 1， ab b2 1b (a 0)， ab2bb 2，当且仅当 b 1 时取等号， ab 的最小值等于 2. 两条直线的交点与距离问题 (1)求经过两条直线 l1： x y 4 0 和 l2： x y 2 0 的交点，且与直线 2x y 1 0 垂直的直线方程为 _. 【导学号： 79140268】 (2)直线 l 过点 P( 1,2)且到点 A(2,3)和点 B( 4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为 _ (1)x 2y 7 0 (2)x 3y 5 0 或 x 1 (1)由? x y 4 0
11、，x y 2 0， 得? x 1，y 3， l1与 l2的交点坐标为 (1,3) 设与直线 2x y 1 0 垂直的直线方程为 x 2y c 0， 则 1 23 c 0， c 7. 所求直线方程为 x 2y 7 0. (2)法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y 2 k(x 1)，即 kx y k 2 0. 由题意知 |2k 3 k 2|k2 1 | 4k 5 k 2|k2 1 ， 即 |3k 1| | 3k 3|， k 13， 直线 l 的方程为 y 2 13(x 1)，即 x 3y 5 0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x 1，也符合题意 法二：当 A
12、B l 时，有 k kAB 13，直线 l 的方程为 =【 ;精品教育资源文库 】 = y 2 13(x 1)，即 x 3y 5 0. 当 l 过 AB 中点时， AB 的中点为 ( 1,4)， 直线 l 的方程为 x 1. 故所求直线 l 的方程为 x 3y 5 0 或 x 1. 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 . 2.处理距离问题的两大策略 点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求 . 动点到两定点距离相等，一般不直接利用 两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的
13、垂直平分线上，从而简化计算 . 跟踪训练 (1)(2017 河北省 “ 五个一名校联盟 ” 质检 )若直线 l1： x ay 6 0 与 l2：(a 2)x 3y 2a 0 平行，则 l1与 l2间的距离为 ( ) A 2 B.8 23 C 3 D.8 33 (2)已知点 P(4， a)到直线 4x 3y 1 0 的距离不大于 3，则 a 的取值范围为_ (1)B (2)0,10 (1)因为 l1 l2，所以 1a 2 a3 62a，所以? a(a 2) 3，2a218 ，a2 ，a0 ，解得 a 1，所以 l1： x y 6 0， l2： x y 23 0，所以 l1与 l2之间的距离 d?
14、6 23 2 8 23 ，故选 B. (2)由题意得，点 P 到直线的距离为 |44 3 a 1|5 |15 3a|5 . |15 3a|5 3 ，即 |15 3a|15 ， 解得 0 a10 ，所以 a 的取值范围是 0,10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 对称问题 (1)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1： 2x y 8 0 和 l2： x 3y 10 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 _ (2)平面直角坐标系中直线 y 2x 1 关于点 (1,1)对称的直线 l 方程是 _ (1)x 4y 4 0 (2)y 2x 3 (1)设 l1与 l 的交点为 A(
15、a,8 2a)，则由题意知，点 A关于点 P的对称点 B( a,2a 6)在 l2上，把 B点坐标代入 l2的方程得 a 3(2a 6) 10 0， 解得 a 4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x 4y 4 0. (2)法一：在直线 l 上任取一点 P( x， y)，其关于点 (1,1)的对称点 P(2 x,2 y)必在直线 y 2x 1 上， 2 y 2(2 x) 1，即 2x y 3 0. 因此，直线 l 的方程为 y 2x 3. 法二：由题 意， l 与直线 y 2x 1 平行，设 l 的方程为 2x y c 0(c1) ，则点(1,1)到两平行线的距离相等， |2 1 c|22 1 |2 1 1|22 1 ，解得 c 3. 因此所求直线 l 的方程为 y 2x 3. 法三：在直线 y 2x 1 上任取两个点 A(0,1)， B(1,3)，则点 A 关于点 (1,1)对称的点 M(2,1)，点 B 关于点 (1,1)对称的点 N(1， 1)由两点式求出对称直线 MN的方程为
