1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 考纲传真 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 .2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 .3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 (对应学生用书第 110 页 ) 基础知识填充 1直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴 (正方向 )按 逆时针 方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角，当直 线 l 和 x 轴平行或重合时，
2、规定它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围为 0 ， 180) 2直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k tan_ ，倾斜角是 90 的直线斜率不存在 (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为 k y2 y1x2 x1. 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y y0 k(x x0) 不含直线 x x0 斜截式 y kx b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1不含直线 x x1(x1 x2)和直线
3、y y1(y1 y2) 截距式 xa yb 1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax By C 0， A2 B20 平面内所有直线都适用 知识拓展 1直线恒过定点问题 在直线方程中，若 x 或 y 的系数含有字母参数，则直线恒过定点 如直线 l： (2m 1)x (m 1)y 7m 4 0，可将 方程化为 m(2x y 7) x y 4 0，令? 2x y 7 0x y 4 0 ，得 ? x 3y 1 ，即直线恒过定点 (3,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2直线 “ 陡 ” 、 “ 缓 ” 与斜率 k 的关系 在平面直角坐标系中，直线越 “ 陡 ” ， |k|越大 3直线在
4、x， y 轴上的截距问题 当直线在 x， y 轴上的截距相等或互为相反数时，应分两种情况讨论：一是直线过原点；二是直线不过原点 (待定系数法 ) 基本能力自 测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 ( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 ( ) (3)过定点 P0(x0， y0)的直线都可用方程 y y0 k(x x0)表示 ( ) (4)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程 (y y1)(x2 x1)(x x1)(y2 y1)表示 ( ) 答
5、案 (1) (2) (3) (4) 2 (教材改编 )直线 3x y a 0(a 为常数 )的倾斜角为 ( ) A 30 B 60 C 150 D 120 B 直线的斜率为 k tan 3， 又因为 0 180 ，则 60. 3 (2018 泉州模拟 )已知直线 l 过圆 x2 (y 3)2 4 的圆心，且与直线 x y 1 0 垂直，则直线 l 的方程是 ( ) 【导学号： 00090264】 A x y 2 0 B x y 2 0 C x y 3 0 D x y 3 0 D 圆 x2 (y 3)2 4 的圆心为点 (0,3)，又因为直线 l 与直线 x y 1 0 垂直，所以直线 l 的斜
6、率 k 1.由点斜式得直线 l： y 3 x 0，化简得 x y 3 0. 4直线 l： ax y 2 a 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a _. 1 或 2 令 x 0，则 l 在 y 轴上的截距为 2 a；令 y 0，得直线 l 在 x 轴上的截距为1 2a. 依题意 2 a 1 2a，解得 a 1 或 a 2. 5 (2017 西安模拟 )过点 P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程为_ 3x 2y 0 或 x y 1 0 当直线过原点时，方程为 y 32x，即 3x 2y 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 当直线 l 不过原点时，设直线方
7、程为 xa ya 1. 将 P(2,3)代入方程，得 a 1， 所以直线 l 的方程为 x y 1 0. 综上，所求直线 l 的方程为 3x 2y 0 或 x y 1 0. (对应学生用书第 111 页 ) 直线的倾斜角和斜率 (1)直线 x ycos 1 0( R)的倾斜角 的取值范围是 _ (2)(2018 郑州模拟 )若直线 l 过点 P( 3,2)，且与以 A( 2， 3)， B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是 _ (1)? ? 4 ， 34 (2)? ? 5， 13 (1)当 k 2(k Z)时， cos 0，直线为 x 1 0，其倾斜角为 2 . 当 k
8、2(k Z)时，直线 l 的斜率为 tan 1cos ( ， 1 1， ) ， 所以直线 l 的倾斜角的取值范围是 ? ? 4 ， 2 ? ? 2 ， 34 . 综上， 的取值范围是 ? ? 4 ， 34 . (2)因为 P( 3,2)， A( 2， 3)， B(3,0)，则 kPA 3 2 2 5， kPB 0 23 13. 如图所示，当直线 l 与线段 AB 相交时，直线 l 的斜率的取值范围为 ? ? 5， 13 . 规律方法 1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是 0，) ，斜率的取值范围是 R. (2)正切函数在 0， ) 上不单调，借助 图像或单位圆数
9、形结合，确定倾斜角 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2第 (2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确应用； (2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为 k 5 或 k 13. 变式训练 1 (1)(2018 长沙模拟 )直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是( 3,3)，则其斜率 k 的取值范围是 ( ) A 1 k 15 B k 1 或 k 12 C k 15或 k 1 D k 12或 k 1 (2)直线 l 经过 A(3,1)， B(2， m2)(m R)两点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是_ 【导学号： 00090265】 (1)D (2)?
10、? 4 ， 2 (1)设直线的斜率为 k，则直线方程为 y 2 k(x 1)，直线在 x 轴上的截距为 1 2k. 令 3 1 2k 3，解不等式得 k 1 或 k 12. (2)直线 l 的斜率 k 1 m23 2 1 m21 ，所以 k tan 1. 又 y tan 在 ? ?0， 2 上是增函数，因此 4 2. 求直线的方程 (1)直线过点 ( 4,0)，倾斜角的正弦值为 1010 的直线方程为 _ (2) ABC 的三个顶点为 A( 3,0)， B(2,1)， C( 2,3)，则 BC 边上的中线 AD 所在直线的方程为 _ (3)若 A(1， 2)， B(5,6)，直线 l 经过 A
11、B 的中点 M 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程 (1)x 3y 4 0 或 x 3y 4 0 (2)2x 3y 6 0 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 1010 (0 ) ， 从而 cos 3 1010 ，则 k tan 13. 故所求直线方程为 y 13(x 4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 x 3y 4 0 或 x 3y 4 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标为 (x， y)， 则 x 2 22 0， y 1 32 2. BC 边上的中线 AD 过 A( 3,0)， D(0,2)两点， 由截距式得 AD 所在直线方程为
12、x 3 y2 1，即 2x 3y 6 0. (3)法一：设直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距均为 A 由题意得 M(3,2) 若 a 0，即 l 过点 (0,0)和 (3,2)， 所以直线 l 的方程为 y 23x， 即 2x 3y 0. 若 a 0，设直线 l 的方程为 xa ya 1， 因为直线 l 过点 M(3,2)，所以 3a 2a 1， 所以 a 5，此时直线 l 的方程为 x5 y5 1， 即 x y 5 0. 综上，直线 l 的方程为 2x 3y 0 或 x y 5 0. 法二：易知 M(3,2)，由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k0 ，则直线 l 的方程为 y 2
13、 k(x 3) 令 y 0，得 x 3 2k；令 x 0，得 y 2 3k. 所以 3 2k 2 3k，解得 k 1 或 k 23. 所以直线 l 的方程为 y 2 (x 3)或 y 2 23(x 3)， 即 x y 5 0 或 2x 3y 0. 规律方法 1.截距可正、可负、可为 0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意 “ 截距为 0” 的情况，以防漏解 2求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数利用此方法，注意各种形式直线方程的适用条件，选择适当的形式至 关重要 变式训练 2 (1)直线过点 ( 3,4)，且在两坐标轴上的截距
14、之和为 12 的直线方程为=【 ;精品教育资源文库 】 = _ 【导学号： 00090266】 (2)求过点 A( 1， 3)且倾斜角等于直线 y 3x 的倾斜角的 2 倍的直线方程 4x y 16 0 或 x 3y 9 0 (1)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为 xa y12 a1，又直线过点 ( 3,4)， 从而 3a 412 a 1，解得 a 4 或 a 9. 故所求直线方程 为 4x y 16 0 或 x 3y 9 0. (2)设直线 y 3x 的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为 2 . tan 3， tan 2 2tan 1 tan2 34. 又直线经过点 A( 1， 3)， 因此所求直线方程为 y 3 34(x 1)，即 3x 4y 15 0. 直线方程的综合应用 已知直线 l： kx y 1 2k 0(k R) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B， AOB 的面积为 S(O 为坐标原点 )，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 解 (1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x 2) (1 y) 0， 令? x 2 0，1 y 0， 解得 ? x 2，y 1.
