1、=【 ;精 品教育资源文库 】 = 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲传真 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 .2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 .3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想 (对应学生用书第 116 页 ) 基础知识填充 1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： dr?相离 (2)代数法：联立直线 l 与圆 C 的方程，消去 y(或 x)，得一元二次方程，计算判别式 b2 4ac， 0?相交 ， 0?相切 ， 0)， 圆 O2： (x a2
2、)2 (y b2)2 r22(r20) 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与r1， r2的关系 代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况 相离 dr1 r2 无解 外切 d r1 r2 一组实数解 相交 |r2 r1|0)截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系是 ( ) A内切 B相交 C外切 D 相离 (2)(2018 汉中模拟 )若圆 x2 y2 4 与圆 x2 y2 2ay 6 0(a 0)的公共弦长为 2 3，则 a _. (1)B (2)1 (1)法一：由? x2 y2 2ay 0，x y 0 得两交点为
3、(0,0)， ( a， a) 圆 M=【 ;精 品教育资源文库 】 = 截直线所得线段长度为 2 2， a2 a 2 2 2.又 a0， a 2. 圆 M 的方程为 x2 y2 4y 0，即 x2 (y 2)2 4，圆心 M(0,2)，半径 r1 2. 又圆 N： (x 1)2 (y 1)2 1，圆心 N(1,1)，半径 r2 1， |MN| 2 2 2. r1 r2 1， r1 r2 3,10)?x2 (y a)2 a2(a0)， M(0， a)， r1 A 圆 M 截直线 x y 0 所得线段的长度为 2 2， 圆心 M 到直线 x y 0 的距离 d a2 a2 2，解得 a 2. 以下
4、同法一 (2)方程 x2 y2 2ay 6 0 与 x2 y2 4. 两式相减得： 2ay 2，则 y 1a. 由已知条件 22 3 2 1a，即 a 1. 规律方法 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系 2若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x2， y2项得到 3若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦 变式训练 2 (1)圆 x2 y2 6x 16y 48 0与圆 x2 y2 4x 8y 44 0的公切线条数为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 (2)(2017 山西太原模拟 )若圆 C1： x2 y2 1 与圆 C2： x2 y2
5、6x 8y m 0 外切，则 m ( ) A 21 B 19 C 9 D 11 (1)B (2)C (1)将两圆 x2 y2 6x 16y 48 0 与 x2 y2 4x 8y 44 0 化为标准形式分别为 (x 3)2 (y 8)2 112， (x 2)2 (y 4)2 82.因此两圆的圆 心和半径分别为 O1(3， 8)， r1 11； Q2( 2,4)， r2 8.故圆心距 |O1O2| 2 8 213.又 |r1 r2| |O1O2| |r1 r2|，因此两圆相交，公切线只有 2 条 (2)圆 C1的圆心为 C1(0,0)，半径 r1 1，圆 C2的方程可化为 (x 3)2 (y 4)
6、2 25 m，所以圆 C2的圆心为 C2(3,4)，半径 r2 25 m(m 25)从而 |C1C2| 32 42 5.由两圆外切得 |C1C2| r1 r2，即 1 25 m 5，解得 m 9，故选 C =【 ;精 品教育资源文库 】 = 直线与圆的综合问题 (2016 江苏高考改编 )如图 841，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y2 12x 14y 60 0 及其上一点 A(2,4) (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且
7、 BC OA，求直线 l 的方程 【导学号： 00090281】 图 841 解 圆 M 的标准方程为 (x 6)2 (y 7)2 25， 所以圆心 M(6,7)，半径为 5. 1 分 (1)由圆心 N 在直线 x 6 上，可设 N(6， y0) 因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切， 所以 0y07，圆 N 的半径为 y0，从而 7 y0 5 y0，解得 y0 1. 4 分 因此，圆 N 的标准方程为 (x 6)2 (y 1)2 1. 5 分 (2)因为直线 l OA， 所以直线 l 的斜率为 4 02 0 2. 设直线 l 的方程为 y 2x m， 即 2x y m 0， 则圆心 M
8、 到直线 l 的距离 d |26 7 m|5 |m 5|5 . 8 分 因为 BC OA 22 42 2 5， 而 MC2 d2 ? ?BC2 2， 所以 25 m25 5， 解得 m 5 或 m 15. 故直线 l 的方程为 2x y 5 0 或 2x y 15 0. 12 分 规律方法 1.(1)设出圆 N 的圆心 N(6， y0)，由条件圆 M 与圆 N 外切，求得圆心与半径，=【 ;精 品教育资源文库 】 = 从而确定圆的标准方程 (2)依据平行直线，设出直线 l 的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解 2求弦长常用的方法： 弦长公式； 半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾
9、股定理求解 (几何法 ) 变式训练 3 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为圆心的圆与直线： x 3y 4 相切 (1)求圆 O 的方程； (2)若圆 O 上有两点 M， N 关于直线 x 2y 0 对称，且 |MN| 2 3，求直线 MN 的方程 解 (1)依题意，圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x 3y 4 的距离， 则 r 41 3 2. 所以圆 O 的方程为 x2 y2 4. 5 分 (2)由题意，可设直线 MN 的方程为 2x y m 0. 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d |m|5. 7 分 由垂径分弦定理，得 m25 ( 3)2 22， 即 m 5. 10 分 所以直线 MN 的方程为 2x y 5 0 或 2x y 5 0. 12 分
