1、第1章 波 动 1.1 波波 1.2 波的表示形式波的表示形式 1.3 正弦波正弦波 1.4 波阵面波阵面 1.5 反射和折射反射和折射 1.6 色散色散 1.7 多普勒效应多普勒效应 1.8 驻波驻波 1.9 复数表示方法复数表示方法 1.1 波波 图1-1 物体的相互作用(a)直接碰撞传递能量；(b)通过波动传递能量 1.1.横波横波将长绳的一端固定，另一端抖动，就有一个波向固定端运动，如图1-2(a)所示。图1-2(b)表示在波前进过程中的两个很靠近的波形，图上实线是前一位置的波形，虚线是后一位置的波形。比较这两个波形可知，如要从前一波形转变为后一波形，则绳上的一部分质点必然依次向上运动
2、，另一部分质点必然依次向下运动。正是由于绳上各质点相继地做这种有规则的上下运动，才使波前进。在这种绳波中，质点运动的方向和波的传播方向垂直，称为横波。图1-2 绳上的横波 2.2.纵波纵波将弹簧的一端固定，在另一端加力压缩，然后放开。由于压缩使一部分弹簧得到了能量，压力去掉后，被压的一部分弹簧向邻近的弹簧释放能量，又使其受到压缩。这种过程依次进行就得到如图1-3所示的弹簧圈之间距离变化的疏密波。在这种波中，弹簧的运动方向与波的传播方向平行，称为纵波。对这种波，弹簧是传播介质。外力引起的质点纵向运动，通过它以波的形式把能量传下去。图1-3 弹簧上的纵波 空气中的声波和这种弹簧上的纵波相似。人的声
3、带或收音机中喇叭纸盆的运动相当于图13中对弹簧的压缩和放松。由此，造成空气密度变化的疏密波。图1-4是管中空气脉冲波的示意图。横波和纵波是两种最基本的波动形式。实际上发生的波动过程，有的并不这样单纯。例如，地震波既包含横波，又包含纵波。图1-4 管中的气体纵波 1.2 波的表示形式波的表示形式 为了把波动用适当的数学形式表示出来，应先确定波速。仍以绳波为例，如图1-5所示。有一脉冲波沿长绳向右传播。图上表示两个不同时刻波的位置。如果在传播过程中波的形状不变，就能够在波形上确定一个相对位置固定的点P。P点前进的速度就是波速。用v表示波速，则从图1-5可得 1212ttxxv(1-1)在此式中，距
4、离的基本单位用m；时间的基本单位用s；波速的单位就是m/s。这是波形前进的速度，不是传播介质的质点运动速度，不可将两者混淆。波速的大小决定于传播物质的特性和状态。不论用什么方式产生何种形式的波，只要传播物质的特性和状态不变，波速都是一样的。图1-5 确定波速 在温度为0、一个大气压的干空气中，声波的速度是331.45m/s。在020左右的范围内，大约温度每升高1，速度增加0.6m/s。在液体和固体中声速显著增大。例如：在海水中，当温度为17时，声速为15101550m/s在铁杆中，当温度为20时，声速为5170 m/s。在真空中的电磁波，不论是无线电波或光波，它的波速都是3108m/s。在普通
5、物体中，波速要减小。例如在土壤中，无线电波的波速有可能减小到真空中波速的一半。但电磁波在气体中的减小极为微小，故在空气中计算时常用真空的波速。在x轴的原点0放一个记录仪A，在与原点相距x处再放一个记录仪B。设有一个脉冲波自左向右沿x轴的正方向传播，如图1-6(a)所示。当波经过A时记下了0点处质点运动随时间变化的曲线。然后，波继续传下去到达B处时，也记下了x点处质点运动随时间变化的曲线。只要在传播中波的形状不变，这两条曲线随时间变化的规律是完全相同的。换句话说，如果只以各记录仪自己的时间为自变量来表示质点运动的函数图形，则两个图形恒等。如果将两者用共同的时间坐标表示出来，就会得到如图1-6(b
6、)所示的两条曲线。由于波从0点传到x点需要一段时间，因此记录仪B的记录要迟后一段时间才会重复记录仪A记下的变化。这段迟后时间等于x/v。这里，v表示波速，x是A至B的距离。如果用Y表示记录仪A的结果，则为 Y=F(t)令y表示记录仪B的结果，则从图上的坐标关系可知它必然应该写成 vxtFy(1-2)可见，只要把Y中的自变量t换成，Y就变成了y。vxt 式(1-2)说明：如果在x=0处有一波源，产生了一个用F(t)表示的扰动，则当它传到x处时，就应该用来表示。换句话说，表示在x=0点发出而沿x轴正方向以速度v传播的波。在这个表示式中，自变量被称为推迟时间。这说明t时刻在x点观测到的扰动是以前在x
7、=0处的扰动。vxtFvxtFvxt vxt 图1-6 波的函数表示 问题问题1.由于光速比声速快得多，可利用这个差别来粗略地测定声波。问：用什么方法?2.船向海底发出声波，1.6s后得到回波。如海水中的声速为1520 m/s。问：船所在地的海底有多深?3.表示自x=0点发出沿x轴负方向传播的波。问：为什么?vxtF1.3 正正 弦弦 波波 1.1.谐振波谐振波某个物理量随时间按正弦函数或余弦函数变化，就称为谐振动。由于以后在讲到波动时主要用余弦函数的形式，因此，在这里我们也用余弦函数来表示谐振动，即 tAycos(1-3)图1-7 谐振动 它的函数图形如图1-7所示。在此式中，函数y的最大值
8、A称为振幅。函数的两个相邻重复数值所经历的时间称为周期，用T表示。它的基本单位为s。在图1-7中就是t从0变到2所经过的时间。单位时间(1s)内的周期数称为频率，用f表示。它的基本单位为Hz。显然，周期和频率的关系为 Tf1在式(1-3)中，称为角频率。它的数值乘以时间就得角度。振动在一个周期内经历的角度为2弧度。因此，T=2。再把式(1-4)代入即得角频率与频率的关系为=2f(1-5)在谐振动中=t称为相位或相角。一般来说，两个同一频率的谐振动，不一定有相同的相位。如果以其中一个为准，另一个与之相对有一固定的相移，则这两个谐振动可以写为)cos(cos2211tAytAy(1-6)在此式中，
9、如果0，则表示y2滞后于y1；如果=0，则表示y1与y2同相。在正弦交流电路中讨论过的电流和电压都是谐振动的实际例证。2.2.周期波周期波如果使长绳的一端做有规则的周期振动，则将得到如图1-8所示的连续周期波。波动的最高点称为波峰，最低点称为波谷。图上显示了振动在一个周期内波运动的情况。图1-8 周期波如在传播波形上选一固定点，如图1-8中的P点，则这一点在振动进行一个周期时将前进一段距离。这一段距离叫做一个波长，通常用表示。它的基本单位为m。在图中，所选的固定点恰好是波峰点，所以，波长也就是相邻两个波峰点的距离。既然，在一个周期的时间内波前进的距离为一个波长，那么，波长与周期之比必然等于波速
10、。再考虑到式(1-4)就能得到下面的公式：fTv(1-7)这个公式适用于所有的周期波，并不限于绳上的横波。例如，已知在真空中的无线电波波速为v=3108m/s，某一电台广播的频率为540kHz，则由式(1-7)可知广播的波长为 m5601054010338fv又如，已知声速为343m/s，某声波的波长为1cm，则此声波的频率由式(17)算出为 kHz3.34Hz3430001.0343vf它属于人耳听不见的超声波。通常可见光的波长范围约为0.40.76m；可听见的声波波长范围约为0.1717m。表1-1是无线电波的频率和波长。表表1-1 无线电波的频率和波长无线电波的频率和波长 3.正弦波正弦
11、波设在波源处的振动为F(t)=Acost，则由式(1-2)可知，在距波源x处的振动为)cos(cosxtAvxtAvxtF其中,=/v。这是沿x轴正方向传播的正弦波。在此式中，A为波的振幅；是角频度，它与频率f的关系由式(1-5)决定；称为相移常数，它的单位为rad/m，它和频率、波长、波速之间的关系为 2v4.4.相位滞后与相移常数相位滞后与相移常数比较两个谐振动的表示式，例如比较交流电路中两条支路的电流，可以把它们分别写为)cos(cos022011tIitIi这里，电流i2总是滞后i1一个固定的相位角。另一方面，由式(1-8)可知，在波源处(x=0)和空间任一点x处的两个振动分别为 xt
12、AvxtFtAtFcoscos)(1-10)把这一结果和上面两个电流的表示式相对照，可以看出，当波沿x的正方向传播时，在空间任一点x的振动总是滞后于波源一个相位角x。与波源相距越远的点，x越大，滞后的相位角也越大。如果在同一时间坐标中把上两式画出，则将得到如图1-9所示的两条曲线。它表明相对于波源的振动相位滞后角度由观察点的位置(即波经过的路程)来确定。从式(1-9)可知，如果x等于半个波长，则相位滞后为，即180。在正弦波传播中，这种由路程而引起的相移，在分析电磁波的辐射时是经常要用到的基本概念。图1-9 传播波的相移 弄清了式(1-10)中x的意义之后，的意义也就清楚了。表示x=1的相移角
13、，即代表传播一个单位长的相移，所以，称它为相移常数，或相位常数。它的大小与波长，亦即与传播介质有关。例如，前述广播电台的频率为540kHz，已算出其波长为560 m，由式(1-9)算出其相移常数=2/560=0.01rad/m。如在距电台50 km处收听广播，则接收点的振动相对于发射点的相位滞后大约为35.72rad或1.21104。5.相速相速在正弦波中，由图1-5和式(1-1)确定的波速有进一步的意义。在确定波速时波形上的固定点是使余弦函数式(1-10)为定值的点。为此，t-x必须为常数。这就是说，波形上某一固定点前进的速度，也是相位t-x为常数的点前进的速度。因为设x1是该点在t1时的位
14、置，x2是该点在t2时的位置，则由t-x=常数，必然有 vttxxxtxt12122211常数问题问题1.我国第一颗人造地球卫星用20.009 MHz的频率播送东方红乐曲，问此无线电波的波长是多少米?2.当温度为20时，声波在三种介质中的速度如下：空气 343 m/s 水 1540 m/s 铁杆 5170 m/s设声振动的频率为1000 Hz，求在此三种情况下它的波长。3.已知黄光的波长范围为0.570.6m，试计算其相应的频率范围。4.一频率为500Hz的正弦波，其相速为350m/s，问相位差为/3、/2、和2两点之间的距离各为多大?5.已知在一正弦波传播方向上某一点A的振动表示式为 tyA
15、2cos6式中各量的单位为cm、s等。设波的传播相速为200cm/s。问与A点相距为500cm处的B点上的振动表示式yB应如何写出?B点和A点相对相移为多大?1.4 波波 阵阵 面面 波阵面是从表示波动的函数关系中得到的几何曲面。它有助于人们想像波在传播中的空间结构和解释传播的物理过程。设一位于坐标原点的波源做谐振动，振动的方式是发出以原点为中心沿着半径方向传播的波，则仿照式(1-8)可以把这种波的数学形式写成 A(r)cos(t-r)在此式中，r表示波阵面到原点的距离；A(r)表示在这样传播的波中，其振幅也可能是r的函数。但波阵面的形状由cos(t-r)来判定。从cos(t-r)的函数式，按
16、照波阵面的意义，可知这个波的波阵面在某个一定的时刻，即t一定时，是r=常数的曲面。显然，它是球面，如图1-10(a)所示。因此，上式表示球面波。另一方面，在式(1-8)中，当cos(t-x)表示沿x轴正方向传播的波时，在直角坐标系中，它的波阵面在某一定的时刻是x=常数的面，这是垂直于x轴的，也就是垂直于传播方向的平面，如图1-10(b)所示。所以，Acos(t-x)表示平面波。在此波中，振幅A是常数。图1-10 球面波与平面波的波阵面(a)球面波；(b)平面波 除以波阵面表示波动的空间形象外，还可以用射线来表示波的传播。我们不在此讨论射线的严密理论，而只把射线理解为自波源画出的垂直于波阵面的空
17、间几何曲线，它表示波的传播方向，如图1-11所示。利用波面和射线，可使波动过程形象化，使我们容易认识波在空间传播的物理过程。因为，波在传播中只要不受阻碍，不受其他物质影响，它总是直线传播的。在这种情况下，射线是直线。如果在传播过程中受到阻碍或其他影响，则射线必然发生弯曲，相应地波面在空间的分布也会发生改变。图1-11 射线 图1-12 球面波与平面波的波面和射线(a)球面波；(b)平面波 问题问题1.“相速也是波阵面前进的速度。”这句话对吗?2.声源如何发射球面声波?这种纵振动的球面声波其物理过程大致如何?3.图1-13表示两种波的传播情况。试由相速的概念解释波面和射线为什么有这样的形象。图1
18、-13 弯曲射线 1.5 反反 射射 和和 折折 射射 将长绳的一端固定，另一端抖动，就有一个脉冲波沿绳向固定端传播。这种情形如图12所示。当这个波到达固定端之后，如果它所携带的能量不被墙壁吸收或不被完全吸收，则必然有一个波从固定端朝反方向传播。这个反方向传播的波称为反射波，原方向传播的波称为入射波，如图1-14所示。这种绳波的反射是最简单的反射情形。图1-14 绳波的反射 一般情况下，波在传播中如碰到介质的性质发生突变，就会产生反射现象。图1-14的绳波中介质性质突变处是长绳一端的固定点。水面上的圆形波在传播介质突变面上的反射见图1-15。在山谷中大声喊叫听到的回声也是声波的反射现象。不论是
19、绳波、水波还是其他的波反射时产生的反射波，都好像在突变面后的某处有一波源在发出反方向传播的波。图1-15 水面波的反射 在交界面上波的反射规律是：入射波传播方向与面法线之间的入射角i和反射波传播方向与面法线之间的反射角r相等；而且入射线、反射线和突变面的法线三者在同一平面内，这个平面称为入射面(如图1-16所示)，即 i=r(1-11)图1-16 反射 图1-17(a)表示一根通过原点O并以Ox为对称轴的抛物线。在此抛物线上任取一点P，通过它作切线BB和法线NN。又通过抛物线的焦点F作与y轴平行的线AA。把P点与焦点F连接起来，再以P点作垂直于AA的线段PM。显然，PM平行于Ox轴。由解析几何
20、的原理可知抛物线有下列两个重要的特性：(1)抛物线上任一点P与焦点之间的距离PF以及它与直线AA的垂直距离PM两者之和为常数，即PF+PM=常数。在图1-17(a)中可以证明：PF+PM=2OF。这里OF是抛物线顶点O与焦点F之间的距离，称为焦距。(2)在P点的法线NN平分FPM。如果把这个抛物线围绕Ox轴旋转，会得到如图1-17(b)所示的旋转抛物面。这时，通过焦点F的直线AA成为垂直于Ox轴的平面。图1-17 抛物面 在这种情形下，上述两个特性仍然是成立的。根据上述特性，对于这样的抛物面，如在焦点F处放一个波源，则不论它在面上哪一点发生反射，依照反射定律i=r，反射后的射线都平行于抛物面的
21、轴Ox。此外，在AA平面上的波有相同的相位。这是因为从波源F出发经过任一点反射到达AA平面时波经过的路程相同(即PF+PM=常数)。由此可见，经抛物面反射之后，从焦点处波源发出的球面波变成了平面波，它的波面平行于AA平面，它的射线平行于抛物面的轴，这样就能够把原来扩散到各个方向的能量集中到一个方向传播出去。所以，增加抛物反射面就会使波源有定向反射的能力。定向照射的聚光灯或抛物反射面天线都是应用这个原理。反过来，如果有平面波平行于抛物面的轴入射，在经过反射之后，将变成聚集于焦点F处的球面波。这样一来，波的能量将集中于焦点。实际上，在交界面上除反射外，还有透入界面的一个方面，就是折射。由于两种介质
22、的性质不同，透入的波前进的速度不一样，因此会引起透射波传播方向的改变。这种现象称为折射。在界面附近取一部分极小的波阵面，研究它的变化即可求得折射的规律。由于所取的波阵面很小，可以把它看作平面波。如图1-18所示，在投射到界面上的平面波中取两条平行射线之间的波阵面AB来看。设介质2中的波速v2小于介质1中的波速v1，则此波面进入介质2之后，A端的速度变慢，B端仍然是原来在介质1中的波速，比A端快。因此进入介质2之后波阵面AB自然会折转。当B点前进到C点时，A点前进到了D点。在介质2中的波阵面成为DC。相应的射线方向也改变了。从图1-18中的几何关系可知 t1sinsinACADACBC这里，i是
23、入射角，t称为折射角。由于BC和AD是在同一段时间内波在不同介质中走过的距离，因此应该有 21vvADBC将前两式相除，再把这一结果代入，则得到如下的折射定律：21tisinsinvv(1-12)这一结果虽然是从v1v2导出的，但在v1v2时，折射方向偏离界面靠近法线，即ti；当v1i，如图1-19所示。在图1-19(a)中把射线方向倒过来，也就是图1-19(b)所示的情形。在折射中方向倒转之后，射线路径不变的现象称为射线方向的可逆性。图1-18 折射定律的导出 图1-19 两种折射情况(a)v1v2;(b)v1n2)时，加大入射角i有可能使折射角t达到90以至超过90，如图1-22所示。这时
24、，入射波完全反射而不透入介质2。这种现象称为全反射。使t达到90的i角称为全反射的临界角。如用i0表示，则由式(1-14)可知它由下式决定：120isinnn如果介质2是空气，则n21，于是 n1arcsin0i图1-22 全反射这里n是入射面介质(即介质1)的折射率。通常在玻璃杯内水面的背面能看到像镜子一样发亮的反射面就是全反射现象。这种现象又是近代集成光学和光缆通信所依据的基本原理之一。上面我们讲述了波的反射和折射定律。实际上在一般情况下，反射和折射是同时存在的，如图1-23所示。也就是说，在交界面上，入射波分成了两部分。一部分反射回来，一部分通过折射透射过去。只是在不同的介质面上这两部分
25、的比例不同罢了。就光波来说，当我们需要良好的反射镜时就采用反射强而透射弱的材料，例如通常用来制造镜面的水银；当我们需要良好的透镜时，就采用透射强而反射弱的材料，例如玻璃。图1-23 反射和折射 问题问题1.一个平面反射镜至少要多长才能使一个人看见自己的全身?2.图1-24所示是一凹面透镜。它由折射率n1的材料做成。在焦点F处放一光源，则光通过此透镜后会更加扩散。试由折射原理来解释。3.如要求图1-24所示的凹面透镜能把在焦点F处发出的球面电磁波变成定向传播的平面波，应该用具有何种性质的材料？图1-24 凹面透镜 1.6 色色 散散 色散是波的相速随频率而变的现象。这个现象在光波的传播中可以看得
26、见。如图125 所示，将一束白光(例如日光)通过三棱镜，会发现光束进入棱镜之后要散开。把棱镜另一面射出的光束投射到屏上，可以看到它已不再是白光，而分成了从红色到紫色的各种颜色，如同雨过天晴时空中出现的彩虹颜色一样。这就是光的色散。为什么会有这种现象呢?因为白光是不同颜色的光合成的结果。不同的颜色相当于不同的波长。波长不同的光进入三棱镜的玻璃介质之后，有不同的相速，因而有不同的折射率n。根据光的折射定律(即式(1-15)可知，对同样的入射角i，折射率n不同，必然使折射角t不一样。在图1-25所示的实验中，红光相速最大，折射率最小，所以它的折射角小；紫光相速最小，折射率最大，所以它的折射角也最大。
27、这样一来，当光从棱镜另一面出来的相对折射角差别也就更大。于是在屏上显出了颜色的差别。表12是几种不同颜色的光波在玻璃中的折射率数据。图1-25 光的色散 表表1-2 几种不同颜色的光波在玻璃中的折射率数据几种不同颜色的光波在玻璃中的折射率数据 折射率随波长而变，也就是相速随频率而变。这种现象不仅光波有，水波和声波也有。以后我们会看到，当无线电波在半导电介质中，在波导管中以及在高空电离层中传播时，都有这种色散现象。使用无线电波传播信息时，由于所采用的信号包含许多频率，因此，让这种信号通过色散介质，就会因其中各频率的相速不一样而使合成波发生变形，结果产生信号失真。如图1-26所示，通过色散介质的路
28、程越长，这种失真越严重。由于波在传播中波形发生了变化，因此在1.2节中用以确定波速的概念在此已不适用了。因此，在色散介质中传播的波，不便于用相速来表示波的能量传播速度。图1-26 色散介质使波变形 1.7 多多 普普 勒勒 效效 应应 1.波源静止，接收器运动波源静止，接收器运动如图1-27所示，设波源不动，接收器以速度u相对于波源运动。频率为f0的波源发出波长为的声波以速度v0在空气中传播。如果以接收器1s内收到的波峰数来表示实际收到的声波频率，则在接收器不动时，波在1s内走过v0那样长的距离，它收到的频率必然也是f0。亦即在1s内通过的波长数为f0=v0/。如果接收器以速度u向波源运动，则
29、每秒会多收到u/个波峰，因此，实际收到的频率将为 uvf0或 0001vufuvf或写为 00vuff(1-17)(1-16)其中f=f-f0，称为多普勒频移。这是波源不动，接收器运动时的结果。图1-27 接收器运动 2.波源运动，波源运动，接收器静止接收器静止这种情况如图1-28所示。这时，只要波离开了波源，则在空气中仍以v0的速度传播。波源不动时，1s内在距离v0上有f0个长度为的波长。如波源对观察者以速度u运动，每秒仍然发出了这样多的波，但f0个波长应挤在更短的距离v0-u中，这必然使波长变为=(v0-u)/f0。这时，接收器收到的频率决定于波长，即 00000011vufuvvfvf(
30、1-18)图1-28 波源运动 例如一辆汽车在远处正对观察者开过来，喇叭的频率为2000 Hz，车速为120km/h(即33.3 m/s)，声速为333 m/s，则由式(1-18)可算出 Hz22003333.33112000f这是波源运动，接收器不动时的结果。如果运动的速度u比波传播的速度v0小得多，即uv0，则式(1-18)将转化为式(1-16)和式(1-17)。如果考虑到一般情形，即两者的相对运动速度的方向不在连接两者的直线上时，应该用相对速度在连接线上的分量ucos去代替公式中的u，如图1-29所示。这时，式(1-17)可写为 00cosvuff(1-19)这是在uv0的条件下计算多普
31、勒效应的一般公式。不论是波源运动，还是接收器运动，在此条件下，都用这个公式计算。图1-29 相对运动方向不同 在满足条件uZc时，终端是电压的波腹，电流的波节。当ZL=RL0),下半圆面上各点表示电感性导纳(B1,它是Zmax=max的点；在实轴左边Z=Rd)(见2.2节表2-1)dDZ2ln120c可知，要得到这样的特性阻抗，双线的中心距离和线径之比大约要为 00018dD这样的传输线在结构上不易实现。为此，必须改在相当于Q点的位置接入。在这一点Rmin=6000.24=144，于是所需的匹配线特性阻抗为 295144600cZ这时，双线的中心距离和线径之比约为 8.5dD这是容易实现的结构
32、。因此，在第一个电压的波节处接入匹配线较好。这一点的位置在=20m时与天线距离为0.45720=9.14 m。也就是说，在距天线9.14m处串入一个长度为5m特性阻抗为Zc=294的一段传输线就可使匹配线和发射机之间是单一的行波。但在/4线上仍然存在着驻波。这个例子是双导线的。在同轴线的情况下，如果要串入1/4波长阻抗变换器，则可以改变其内导体的粗细或填充厚度为l的介质，以得到所需的特性阻抗数值，如图2-32所示。l的大小决定于波长和介质的相对介电常数r。它的计算公式为。这是因为在介质中比在空气中波长要缩短，缩短至原来的，所以，用介质填充的长度l比在空气中的/4短。)4/(rlr/1图2-32
33、 同轴线的串联匹配 2.2.单枝节匹配单枝节匹配串联匹配在实用上不如并联匹配方便，所以在实际工作中大多使用并联匹配。其基本方法是把负载阻抗化为相对导纳，再利用圆图确定匹配线接入的位置和匹配线的长度。这种方法称为枝节匹配。用作匹配的枝节是与主线有相同特性阻抗的短路线，图2-33所示是单枝节匹配示意图。我们仍用上例来说明单枝节匹配的方法。图2-33 单枝节匹配 先把负载阻抗变为导纳，由于给定的负载阻抗为ZL=150+j150，在Zc=600时相对阻抗为ZL=0.25+j0.25。这在圆图上是A点，将此点与圆图中心相连延长到对称位置得到B点。B点的值就是相对导纳值，即YL=2-j2。单枝节匹配方法的
34、第一步就是自负载端起找相对电导G=1的位置。为此把OB向电源转到与G=1的圆相交的一点C，两点之间的距离为0.321-0.292=0.029。这就是说在=20 m时，距负载端为d=0.02920=0.58 m处，传输线相对导纳为Y=1-j1.6，匹配枝节应在此处接入。第二步是决定匹配的短路枝节长短。它在接入处应有j1.6的相对电纳，才能使合成Y=1+j0，以达到匹配。为此，把应接入的短路枝点看成另一个传输线。由于其终端短路，因此它的终端导纳为+j0。这在导纳圆图上是P点。这个相对导纳值变到0+j1.6的位置在何处呢?它应为G=0的圆与B=+1.6的圆的交点，即在圆图上的Q点。P点顺时针转至Q点
35、所经历的波长为(0.25+0.161)，即0.411=0.41120=8.22m。这就是说用于匹配的单枝节短路线长度应为l=8.22 m。单枝节接入的位置不止一个，而有两个，因为从B点继续转下去到D点也会和G=1的圆相交。由这一点的电纳B也能决定枝节的长度。既然传输线和负载匹配的本质是消除反射波，那么，上述频带匹配就是要求在一定的工作频段内消除反射波或者使行波系数达到设计要求。上述的串联匹配元件和并联匹配枝节的物理实质也是引入新的等幅反相的反射波去抵消原来的反射波，使主传输线上是行波。图2-34(a)表示不匹配时沿线电压(对时间)平均值的分布；图2-34(b)表示接入匹配枝节后的沿线电压平均值
36、的分布。图2-34 匹配元件的作用(a)行、驻波传输线；(b)匹配传输线 由图2-35可知，当两段传输线的特性阻抗Zc1和Zc2相差很大时，用多段1/4波长变换器会减弱Zc1和Zc2之间阻抗突变的程度。这样也就是减弱了反射波。另一方面，多段变换器连在一起时，每一连接处都有反射。在匹配时这些反射波都是完全抵消的。图2-35(a)表示单段变换器情况下匹配时在A端的反射波矢量和。显然在A处的反射波UA是从A到B，在B处反射又回到A处的反射波UB(经历了两个/4)，两者要相位相反、振幅相等才能保证在A端左方没有反射波。图2-35(b)中两段的情况也是一样的。图2-35/4变换器(a)单段变换；(b)两
37、段变换 图2-36所示为渐变形匹配器的结构。对中心频率和上下两边频率的计算方法和前面讲的一样，然后在计算结果中权衡，选一个或几个适当地满足要求的枝节长短和接入的位置，构成要求阻抗和频率的匹配器。图2-36 渐变线(a)直线式；(b)指数式 问题问题1.设传输线特性阻抗Zc=50，终端接入负载阻抗ZL=100+j50，波长为50cm，求匹配短路单枝节接入的位置和长度。2.设传输线特性阻抗Zc=75，负载阻抗为纯电阻ZL=250，计算匹配单枝节的位置的长度(以波长表示)。3.图2-37是/4短路枝节和/4变换器同时应用以使匹配频带展宽的一种方法，试说明其作用原理。4.图2-38是开路枝节和/4变换
38、器同时应用以使匹配频带展宽的一种方法，试说明其作用原理。图2-37 并联枝节的/4变换器 图2-38 串联枝节的/4变换器 2.7 有损耗传输线有损耗传输线 在波的传输过程中，如它所携带的能量不断地转化为其它形态(例如热能)，则它的振幅在传播中会连续减小。图2-39就是这种衰减波在某一瞬间的情况。随着时间的推移，波继续沿z轴方向行进，但振幅连续下降。在最简单的正弦波情况下振幅的衰减依e-z而下降。这时要在表示行波的函数式中引入指数因子以反映有能量转移而引起的振幅衰减，即等幅波 A0 cos(t-z)衰减波 A0e-zcos(t-z)在衰减波中，称为衰减常数。它等于传播一个单位距离(即z=1)振
39、幅衰减值的自然对数值。它的单位是Np/m或dB/m(奈培/米或分贝/米)。(1 Np=8.686 dB。)图2-39 衰减波 如果用复数表示正弦稳态波，则上两式可改为等幅波 A0e-jz 衰减波 A0e-j(-j)z 由此可见，要想描述衰减波，只要用-j代替等幅波中的即可。在传输线中，如果考虑到线的电阻和线间的漏电电导，则沿线传播的电压波、电流波也是衰减波，也应该表示为上述形式，即 电压波 电流波 U0e-ze-jz I0e-ze-jz(2-37)在这种情形下，衰减常数和相位常数都与传输线的参数有一个确定的关系。这个关系比无损耗情况要复杂得多。我们现在从等效的观念来导出这些关系。参考图2-40
40、对正弦变化有下列关系：UCUGCCUGUIILIRLLIRIUjjjjjjjj其中，RCCRLLjj(2-38)图2-40 计算等效关系 计入单位长电阻R和单位长电导G之后，传输线的分布参数可表示为图2-41所示的电路。将式(2-38)中的L、C、R和G都看作单位长度上的数值，则在以式(2-38)代替式(2-2)中的L和C之后，可以算出计入损耗的特性阻抗表示式：CGLRGCRLCLZjjj-jc(2-39)从这个结果可知，在有损耗时，行波电流与电压不再同相。图2-41 有耗线的分布参数 如果一方面用-j代替，一方面用式(2-38)代替L和C，则可由式(2-4)得到 21jjjGCRL将此式两边
41、平方，再令实部和虚部相等，则得)(2222GLRCRGLC由此能够解出 212222222212222222)()(21)()(21LCRGCGLRLCRGCGLR(2-40)可见，在考虑到传输线的损耗时，表示传播的一些参量不仅和单位长的电阻R以及单位长的电导G有关，也和频率有关。在这种情况下，如果用v=/计算相速，则相速也将与频率有关。这种现象常称为色散。这样一来，信号在沿线传播过程中由于其中含有各种不同频率，会因各频率的相速不同而引起失真。但因传输线当作馈线传播距离不会很长，由这种色散而引起的失真很小，可以忽略。(1)频率较低使RL，且线间绝缘良好G=0，则 4jce2RRZCR(2-41
42、)(2-42)可见，在此情况下行波的电流和电压有45的固定相移。(2)频率较高使RL,G C，则 CLZCLGLCRLCc22(2-43)(2-44)(2-45)由此可见，在高频的情况下，行波的电流与电压仍旧是同相的，线上电流波、电压波的相位常数和特性阻抗也与无损耗时是一样的。传输损耗的问题由式(2-44)的衰减常数计算。通常由于线间绝缘较好，还可认为G=0，这时 LCR2(2-46)利用式(2-43)、式(2-45)和式(2-46)就能处理高频传输线的问题，这时相速可近似为v=/，也和频率无关，不会发生失真。但是衰减常数却与频率有关。由于集肤效应频率越高，电流越趋于导体表面，其结果相当于导线
43、的截面变小使单位长的电阻增加。增加的规律是单位长电阻R和频率的平方根成正比。至于有耗传输线的阻抗，可以一方面利用式(2-39)计算Zc，另一方面用-j代替无损耗传输线阻抗表示式中的(或2/)，就可获得需要的结果。例如无损耗终端开路线的阻抗已知为式(2-13)所示，即Z=-jZccotz。在其中对Zc使用式(2-39)并采用高频近似且认为G可忽略，则 LRZLRLLCLRZj1j1jjc0c在此式中，表示无损耗时的特性阻抗值。CLZ/0c再把第二个根式在RL的条件下展开，略去高阶项，则 LRZZ2j1c0c再由式(2-43)和式(2-46)可把上式写为 j1c0cZZ另一方面，在函数cotz中把
44、换为-j可得 cot(-j)=cotj(-j-)z=-jcoth(-j-)z=j coth(+j)z 于是，有损耗开路传输线的阻抗在高频条件下，可近似写为 zZZ)jcoth(j10c(2-47)其中，coth是和余切函数相当的双曲余切函数。在可以用传输线等效的条件下，常用此式来计算天线的阻抗。利用cothA与sinhA及coshA等的关系，上式还可写为 llllZZ2cos2cosh2sinj2sinhj10c(2-48)在此式中，l是自开路终端至电源端的长度。图2-42 有耗线的瞬时波形 2.8 传输功率和效率传输功率和效率 如果不计入传输线本身的损耗，则通过线上任一点的功率就是负载吸收的
45、功率。由电路计算平均功率的一般关系式P=UI*/2，再利用式(2-20)、式(2-22)和式(2-30)可算出传输功率(计算过程从略)为)1(21)1(|212020c2020cIZUYP其中，U0+和I0+分别为终端处入射波电压和电流的振幅大小。上式也可写为 maxminmaxmax2121IUIUP 如果计入传输线本身的损耗，则在波的表示式中应引入因子e-z。如以终端为z=0，z的正值增加方向指向电源端，则正号代表入射波的振幅衰减，负号代表反射波的振幅衰减。计入传输线损耗引起的衰减时，在应用式(2-20)和式(2-30)时，应以-j代替。这样便有)e1(ee)eee1(eej2-0j0-j
46、2z-220j0zzzzzzzIIUU而)ee(|21)ee(|2121220220c20220c*zzzzIZUYUIP在这些算式中，由式(2-44)或式(2-46)计算。传输线的效率由送入负载的功率PL与电流输出功率P之比来决定。设线的全长为l，则)ee(21)1(21220220c2020cLttUYPUYP若令表示效率，则 ttPP220220Le|e|1在高频馈线中常能满足l1(例如lAB=1,且有AC=AB/cos=1/cos，因此，如果用一个相移常数z来表示波沿z轴传播的相移值，就必须有 AB=zAC 则得 cosACABz(3-12a)同理可得波沿x轴传播的相移常数x为 x=s
47、in(3-12b)图3-14(b)是第二个横电磁波S2的相距为单位长1的两个波阵面。只要波的传播方向S2和矩形波导窄边夹角仍是，所得结果仍为式(3-12)。图3-14 计算传播特性 在图3-11中，这两个横电磁波沿z轴的传播方向相同，两者相加后仍为行波。沿x轴的传播方向相反，故在波导的宽边a上形成驻波。这个驻波至少在a边两端是两个波节。在此两波节间的距离(即是a)的长度相当于半个波长，与之相应的相移值为，于是，由式(3-12b)可得 sinax(3-13)因为 2所以得 2sin(3-14)式中，为横电磁波的工作波长。式(3-14)表明，如果用两个斜向对称传播的横电磁波之和来得到图3-12中的
48、TE10波，则对于不同工作波长应有不同的投射角，并不是任何投射角都可得到TE10波。公式还表明，工作波长短时，投射角小；工作波长长时，投射角大，如图3-15所示。图3-15 工作波长和投射角的关系(a)大，大；(b)小，小 当工作波长增大至某值时(=2a)，将有 2此时，由式(3-12a)可知，有 0z这意味着波根本不再沿z轴传播。因此，和=/2相对应的工作波长=2a是矩形波导中TE10波的最大工作波长，称为截止波长或临界波长，记为c，则有 c=2a(对于TE10波)(3-15)与截止波长相应的工作频率称为截止频率(或临界频率)，记为fc，两者的关系是 c0cvf 或 c0cfv式中，v0为自
49、由空间波速，v0=3108 m/s。必须记住，当工作波长大于TE10波的截止波长c(=2a)时，TE波不能在矩形波导内传输，只有当工作波长小于TE10波的截止波长c时，TE波才能在矩形波导内传输。截止波长的存在，是波导管内的电流和TEM波不相同的重要特性之一。至于对图3-13(a)中的TE20波，在宽边上形成的驻波沿a有三个波节点，两相邻波节点相距a/2，相应的相移仍为，于是，与TE10波同样分析，可得 c=a (对于TE20波)对于TE02波，其截止波长为 bc(对于TE02波)归纳不同波型的截止波长表达式，可用下列公式来统一表示：22c2bnam(3-16)2.2.波导波长波导波长g g式
50、(3-12)给出了波沿z轴的行波的相移常数为 cosz仿照在自由空间那样，波长与相移常数间的关系为 2现令g表示与z相应的波长，则有 g2z考虑到 2212sin12coscz可见，有 2cg1(3-17)在微波技术中，人们常称g为波导波长或相波长，由上式可知，波导波长大于工作波长。这显然是波导传播的又一特征。3.3.能速能速由公式 vz可得到相应的相速为 221sin1cosczvvv(3-18)由式可知，相速v大于TEM波的波速v，且相速v与工作波长有关。因而，波导相当于一种色散介质，这时相速v不能代表能量传输的速度，而必须另外确定能量在波导中沿z轴的传输速度。图3-16画出了前述两个TE
