1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十二 ) 函数模型及其应用 A 组 基础达标 一、选择题 1某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售 (即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价 )，则该家具的进货价是 ( ) A 118 元 B 105 元 C 106 元 D 108 元 D 设进货价为 a 元，由题意知 132(1 10%) a 10%a，解得 a 108，故选 D. 2在某个物理试验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表： 【导学号： 79140068】 x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则对 x
2、， y 最适合的拟合函数是 ( ) A y 2x B y x2 1 C y 2x 2 D y log2x D 根据 x 0.50， y 0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x 2.01， y 0.98，代入计算，可以排除 B， C；将各数据代入函数 y log2x，可知满足题意 3一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图 294 甲、乙所示某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示 图 294 给出以下 3 个论断： 0 点到 3 点只进水不出水； 3 点到 4 点不 进水只出水； 4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是 ( ) A B C D A 由甲、乙两
3、图知，进水速度是出水速度的 12，所以 0 点到 3 点不出水， 3 点到 4 点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低， 4 点到 6 点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是 . 4某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过 10 m3 的，按=【 ;精品教育资源文库 】 = 每立方米 m 元收费；用水超过 10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实际用 水为 ( ) A 13 m3 B 14 m3 C 18 m3 D 26 m3 A 设该职工用水 x m3时，缴纳的水费为 y 元，由题意得 y? mx(0
4、x10 )，10m (x 10)2 m(x 10)， 则 10m (x 10)2 m 16m， 解得 x 13. 5设某公司原有员工 100 人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产值 t 万元 (t 为正常数 )公司决定从原有员工中分流 x(0 x 100， x N )人去进行新开发的产品 B 的生产分流后，继 续从事产品 A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是 ( ) A 15 B 16 C 17 D 18 B 由题意，分流前每年创造的产值为 100t(万元 )，分流 x 人后，每年创造的产值为(100 x
5、)(1 1.2x%)t(万元 )，则由? 0 x 100，(100 x)(1 1.2x%)t100 t， 解得 0x 503. 因为 x N ，所以 x 的最大值为 16. 二、填空题 6西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销根据预算得羊皮手套的年利润 L 万元与年广告费 x 万元之间的函数解析式为 L 512 ? ?x2 8x (x 0)则当年广告费投入 _万元时，该公司的年利润最大 4 L 512 ? ?x2 8x 432 12 ? ?x 4x2(x 0)当 x 4x 0，即 x 4 时， L 取得最大值 21.5.故当年广告费投入 4 万元时，该公司的年利润最大 7
6、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 13，至少应过滤 _次才能达到市场要求 (已知 lg 20.301 0 ，lg 30.477 1) 【导学号： 79140069】 8 设过滤 n 次才能达到市场要求， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 2%? ?1 13n0.1% ，即 ? ?23n 120， 所以 nlg23 1 lg 2，所以 n7.39 ，所以 n 8. 8某食品的保鲜时间 y(单位 ：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足函数关系 y ekx b(e2.718 为自然对数的底数， k， b 为常数 )若该食
7、品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 _小时 24 由已知条件，得 192 eb， b ln 192.又 48 e22k b e22k ln 192 192e22k192(e11k)2， e 11k ? ?4819212?1412 12.设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，则 te33k ln 192 192e33k 192(e11k)3 192 ? ?123 24. 三、解答题 9某企业生产 A， B 两种产品，根据市场调查与预测， A 产品的利润与投资成正比，其关 系如图 295(1)； B 产品的利润与投资的算术平方
8、根成正比，其关系如图 295(2) (注：利润和投资单位：万元 ) (1) (2) 图 295 (1)分别将 A， B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， B 两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 解 (1)f(x) 0.25x(x0) ， g(x) 2 x(x0) (2) 由 (1)得 f(9) 2.25， g(9) 2 9 6， 所以总利润 y 8.25 万元 设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入 (1
9、8 x)万元，该企业可获总利润为 y 万元 则 y 14(18 x) 2 x， 0 x18. 令 x t， t0,3 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y 14( t2 8t 18) 14(t 4)2 172. 所以当 t 4 时， ymax 172 8.5， 此时 x 16,18 x 2. 所以当 A， B 两种产品分别投入 2 万元、 16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5万元 10国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到
10、规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元 (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 解 (1)设旅行 团人数为 x，由题得 0x75( x N )， 飞机票价格为 y 元， 则 y? 900， 0 x30 ，900 10(x 30)， 30 x75 ， 即 y? 900， 0 x30 ，1 200 10x， 30 x75. (2)设旅行社获利 S 元， 则 S? 900x 15 000， 0 x30 ，x(1 200 10x) 15 000， 30 x75 ， 即 S? 900x 15 000， 0 x30 ，
11、 10(x 60)2 21 000， 30 x75. 因为 S 900x 15 000 在区间 (0,30上为单调增函数， 故当 x 30 时， S 取最大值 12 000 元， 又 S 10(x 60)2 21 000 在区间 (30,75上， 当 x 60 时，取得最大值 21 000. 故当 x 60 时，旅行社可获得最大利润 B 组 能力提升 11将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 a4 L，则 m的值为 ( ) A 5 B 8 C 9 D
12、 10 =【 ;精品教育资源文库 】 = A 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 y f(t) aent满足 f(5) ae5n 12a， 可得 n 15ln12， f(t) a ? ?12t5， 因此，当 k min 后甲桶中的水只有 a4 L 时， f(k) a ? ?12k5 14a，即 ?12k5 14， k 10， 由题可知 m k 5 5，故选 A. 12某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房当每套房月租金定为 3 000 元时，这 70套公寓能全租出去；当月租金每增加 50 元时 (月租金均为 50 元的整数倍 )，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司共
13、 100 元的日常维修等费用 (租不出的房子不需要花这些费用 )要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 ( ) A 3 000 元 B 3 300 C 3 500 元 D 4 000 元 B 设利润为 y 元，租金定为 (3 000 50x)元 (0 x70 ， x N )， 则 y (3 000 50x)(70 x) 100(70 x) (2 900 50x)(70 x) 50(58 x)(70 x)50 ? ?58 x 70 x22， 当且仅当 58 x 70 x，即 x 6 时，等号成立，故每套房月租金定为 3 000 300 3 300(元 )时，公司获得最大利润，故选 B. 13某
14、厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 (如图 296)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片 (如图阴影部分 )备用 ，则截取的矩形面积的最大值为_ 图 296 180 依题意知： 20 x20 y 824 8(0 x20,8 y 24)，即 x 54(24 y)， 阴影部分=【 ;精品教育资源文库 】 = 的面积 S xy 54(24 y) y 54( y2 24y) 54(y 12)2 180(8 y 24) 当 y 12 时， S 取最大值 180. 14已知某物体的温度 (单位： ) 随时间 t(单位： min)的变 化规律是 m2 t 21 t(t0且 m 0) (1)
15、如果 m 2，求经过多长时间物体的温度为 5 ； (2)若物体的温度总不低于 2 ，求 m 的取值范围 . 【导学号： 79140070】 解 (1)若 m 2，则 22 t 21 t 2? ?2t 12t ，当 5 时， 2t 12t 52，令 x 2t， x1 ，则 x 1x 52，即 2x2 5x 2 0，解得 x 2 或 x 12(舍去 )，当 x 2 时，t 1.故经过 1 min，物体的温度为 5 . (2)物体的温度总不低于 2 等价于对于任意的 t0 ， ) ， 2 恒成立，即 m2 t 22t2( t0) 恒成立，亦即 m2 ? ?12t 122t (t0) 恒成立 令 y 12t，则 0 y1 ，故对于任意的 y(0,1 ， m2( y y2)恒成立，因为 y y2?y 122 14 14，所以 m 12. 因此，当物体的温度总不低
